Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ một hộp có 20 viên bi.
- A.
  $A_{20}^3$
- B.
  $P_3$
- C.
  $C_{20}^3$
- D.
  $C_{20}^4$
Chọn 3 viên bi từ 20 viên bi: $C_{20}^3$ cách.
Câu 2: Nhận biết
Từ thành phố A đến thành phố B có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 3 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C sao cho bắt buộc phải đi qua B.
- A.
  5
- B.
  3
- C.
  2
- D.
  6
Đi từ A đến B: 2 cách.
Đi từ B đến C: 3 cách.
Vậy đi từ A đến C (qua B) có: 2.3 = 6 cách.
Câu 3: Vận dụng
Từ các số $1,2,3$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau?
- A.
  $15$ .
- B.
  $20$ .
- C.
  $72$ .
- D.
  $36$ .
TH1: số có 1 chữ số thì có 3 cách.

TH2: số có 2 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có $3.2 = 6$ số.

TH3: số có 3 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có $3.2.1 = 6$ số

Vậy có $3 + 6 + 6 = 15$ số.
Câu 4: Nhận biết
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng $\overline{abc}$ với $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 0;1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ sao cho $a < b < c$ .
- A.
  $220$ .
- B.
  $60$ .
- C.
  $80$ .
- D.
  $20$ .
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng $\overline{abc}$ với $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 0;1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ sao cho $a < b < c$ nên $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ . Suy ra số các số có dạng $\overline{abc}$ là $C_{6}^{3} = 20$ .
Câu 5: Thông hiểu
Từ các chữ số $1;4;5;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n là số lẻ gồm năm chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số chính giữa thì giống nhau.
- A.
  $75$
- B.
  $62$
- C.
  $80$
- D.
  $36$
Vì n là số gồm năm chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số chính giữa thì giống nhau.

Gọi n có dạng $\overline{abcba}$ để n là số lẻ ta có

a có 3 lựa chọn là {1; 5; 9}

b có 5 lựa chọn.

c có 5 lựa chọn.

Vậy có $5.5.3 = 75$ số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 6: Thông hiểu
Từ khai triển biểu thức $(x + 1)^{10}$ thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:
- A.
  1023.
- B.
  512.
- C.
  1024.
- D.
  2048.
Xét khai triển $f(x) = (x + 1)^{10} = \sum_{k = 0}^{10}C_{10}^{k}.x^{k}$ .

Gọi $S$ là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có $S = f(1) = (1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024$ .
Câu 7: Nhận biết
Hệ số $x^{4}$ trong khai triển nhị thức $(3x - 4)^{5}$ bằng:
- A.
  $60$
- B.
  $- 60$
- C.
  $- 1620$
- D.
  $1620$
Hệ số của $x^{4}$ trong khai triển $(3x - 4)^{5}$ là: $C_{5}^{1}.(3x)^{4}.( - 4)^{1} = - 1620$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức $S = 2^{5}C_{5}^{0} + 2^{4}C_{5}^{1} + 2^{3}C_{5}^{2} + 2.C_{5}^{4} + C_{5}^{5}$
- A.
  $S = 32$
- B.
  $S = 243$
- C.
  $S = 81$
- D.
  $S = 121$
Áp dụng công thức $(a + b)^{n}$ cho $a = 2,b = 1,n = 5$ ta có:

$S = 2^{5}C_{5}^{0} + 2^{4}C_{5}^{1} + 2^{3}C_{5}^{2} + 2.C_{5}^{4} + C_{5}^{5}$

$S = (2 + 1)^{5} = 243$
Câu 9: Thông hiểu
Cho đa giác đều có $2020$ đỉnh. Số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong số 2020 điểm là đỉnh của đa giác đã cho là bao nhiều?
- A.
  $C_{2020}^{4}$
- B.
  $C_{1010}^{4}$
- C.
  $C_{2020}^{2}$
- D.
  $C_{1010}^{2}$
Đa giác đều có 2020 đỉnh có 1010 đường chéo qua tâm, cứ hai đường chéo qua tâm cho ta một hình chữ nhật. Vậy số cách chọn ra 4 đỉnh tạo thành hình chữ nhật là $C_{1010}^{2}$ .
Câu 10: Vận dụng
Có 8 nhà khoa học Toán (6 nam, 2 nữ) và 5 nhà khoa học Vật Lí (toàn nam). Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 nhà khoa học trong đó có cả nam, nữ, cả Toán, Vật Lí?
- A.
  340.
- B.
  210.
- C.
  375.
- D.
  450.
+TH1. Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn. Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight)$

+TH2. Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn. Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ .

Vậy số cách lập cần tìm là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight) + C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2} = 375$ .
Câu 11: Nhận biết
Cho biểu thức $(m + n)^{5}$ , khi khai triển nhị thức đã cho ta được bao nhiêu số hạng?
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Trong khai triển nhị thức Newton $(m + n)^{5}$ có $5 + 1 = 6$ số hạng.
Câu 12: Vận dụng
Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức $\left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5} ight)^{2019}$ ?
- A.
  133.
- B.
  333.
- C.
  135.
- D.
  234.
Ta có $\left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5} ight)^{2019} = \sum_{k = 0}^{2019}{C_{2019}^{k}.\left( \sqrt[3]{3} ight)^{2019 - k}.\left( \sqrt[5]{5} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{2019}{C_{2019}^{k}.3^{\frac{2019 - k}{3}}.5^{\frac{k}{5}}}$ .

Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì $\left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ \frac{2019 - k}{3}\mathbb{\in N} \\ \frac{k}{5}\mathbb{\in N} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ 673 - \frac{k}{3}\mathbb{\in N} \\ \frac{k}{5}\mathbb{\in N} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ k \vdots 15 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có $k \vdots 15 \Rightarrow k = 15m$ mà $0 \leq k \leq 2019 \Leftrightarrow 0 \leq 15m \leq 2019 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 134,6$ . Suy ra có $135$ số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.
Câu 13: Thông hiểu
Từ các chữ số $1;4;5;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n chia hết cho 55 và $555 < n < 5555$ ?
- A.
  $85$
- B.
  $63$
- C.
  $74$
- D.
  $77$
Trường hợp 1: n gồm ba chữ số.

Gọi n có dạng $\overline{abc}$ .

Vì n chia hết cho 5 nên c là chữ số 5.

Vì n gồm ba chữ số nên thỏa mãn n < 5555.

Để 555 < n ta có:

Nếu a là chữ số 5 thì b có 2 lựa chọn là {8; 9}

Nếu a có 2 lựa chọn là {8; 9} thì b có 5 lựa chọn

Có $2 + 2.5 = 12$

Trường hợp 2: n gồm bốn chữ số.

Gọi n có dạng $\overline{abcd}$

Vì n chia hết cho 5 nên d là chữ số 5

Vì n gồm bốn chữ số nên thỏa mãn 555 < n

Để n < 5555 ta có

Nếu a; b đều là chữ số 5 thì c có 2 lựa chọn là {1; 4}

Nếu a là chữ số 5 thì b có 2 lựa chọn là {1; 4} và c có 5 lựa chọn.

Nếu a có 2 lựa chọn là {1; 4} thì b; c có 5 lựa chọn.

Có $2 + 2.5 + 2.5.5 = 62$

Vậy có $12 + 62 = 74$ số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 14: Nhận biết
Cho tập hợp $X$ gồm $10$ phần tử. Số các hoán vị của $10$ phần tử của tập hợp $X$ là bao nhiêu?
- A.
  $10!$ .
- B.
  $10^{3}$ .
- C.
  $2^{10}$ .
- D.
  $10^{5}$ .
Số các hoán vị của $10$ phần tử: $10!$ .
Câu 15: Nhận biết
Cho tập A gồm 5 phần tử. Số tập con có 3 phần tử của A là:
- A.
  5
- B.
  10
- C.
  15
- D.
  20
Số tập con có 3 phần tử từ tập 5 phần tử là: $C_5^3 = 10$ .
Câu 16: Nhận biết
Một bài trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời. Có bao nhiêu phương án trả lời?
- A.
  4¹⁰.
- B.
  40.
- C.
  10⁴.
- D.
  4.
Mỗi câu hỏi có 4 cách chọn phương án trả lời.

Mười câu hỏi sẽ có số cách chọn phương án trả lời là 4¹⁰.
Câu 17: Nhận biết
Có tất cả bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức Newton của $(3 - 2x)^{5}$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $4$
- C.
  $5$
- D.
  $6$
Khi viết nhị thức $(3 - 2x)^{5}$ dưới dạng khai triển $5 + 1 = 6$ số hạng.
Câu 18: Vận dụng
Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{2n}$ nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong $2n$ của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong $2n$ đỉnh của đa giác. Tìm $n$ .
- A.
  $n = 6$
- B.
  $n = 11$
- C.
  $n = 10$
- D.
  $n = 8$
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ là $C_{2n}^{3}$

Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$

Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là $C_{n}^{2}$

Theo giả thiết ta có:

$C_{2n}^{3} = 20C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{(2n)!}{3!(2n - 3)!} = 20.\frac{n!}{n!(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow \frac{2n(2n - 1)(2n - 2)}{6} = 10n(n - 1)$

$\Leftrightarrow 4n^{3} - 36n^{2} + 32n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0(L) \\ n = 1(L) \\ n = 8(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $n = 8$ .
Câu 19: Thông hiểu
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác có 3 người, cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách?
- A.
  $78$
- B.
  $90$
- C.
  $110$
- D.
  $84$
Trường hợp 1: 2 nhà toán học nữ và 1 nhà vật lý nam có $C_{3}^{2}.C_{4}^{1} = 12$ cách

Trường hợp 2: 1 nhà toán học nữ và 2 nhà vật lý nam có $C_{3}^{1}.C_{4}^{2} = 18$ cách

Trường hợp 3: 1 nhà toán học nữ, 1 nhà toán học nam và 1 nhà vật lý nam có $C_{3}^{1}.C_{5}^{1}.C_{4}^{1} = 60$ cách

Theo quy tắc cộng có: $12 + 18 + 60 = 90$ cách lập.
Câu 20: Nhận biết
Bạn Công muốn mua một chiếc áo mới và một chiếc quần mới để đi dự sinh nhật bạn mình. Ở cửa hàng có 12 chiếc áo khác nhau, quần có 15 chiếc khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bộ quần và áo?
- A.
  27.
- B.
  180.
- C.
  12.
- D.
  15.
Số cách bạn Công chọn một chiếc áo mới là: 12 cách.

Số cách bạn Công chọn một chiếc quần mới là: 15 cách.

Theo quy tắc nhân, bạn Công có 12.15 = 180 cách để chọn một bộ quần và áo.

39 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!