Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2023 tại một điểm thi có $5$ sinh viên tình nguyện được phân công trục hướng dẫn thí sinh ở $5$ vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng $1$ sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho $5$ người đó?
- A.
  120.
- B.
  125.
- C.
  312.
- D.
  100.
Mỗi cách xếp $5$ sinh viên vào $5$ vị trí thỏa đề là một hoán vị của $5$ phần tử.

Suy ra số cách xếp là $5! = 120$ cách.
Câu 2: Vận dụng
Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số $0,1,2,4,5,6,8$ .
- A.
  252
- B.
  520
- C.
  480
- D.
  368
Gọi $x = \overline{abcd};\ a,b,c,d \in \left\{ 0,1,2,4,5,6,8 ight\}$ .

Cách 1: Tính trực tiếp

Vì $x$ là số chẵn nên $d \in \left\{ 0,2,4,6,8 ight\}$ .

TH 1: $d = 0 \Rightarrow$ có 1 cách chọn $d$ .

Với mỗi cách chọn $d$ ta có 6 cách chọn $a \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}$

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a ight\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a,b ight\}$

Suy ra trong trường hợp này có $1.6.5.4 = 120$ số.

TH 2: $d eq 0 \Rightarrow d \in \left\{ 2,4,6,8 ight\} \Rightarrow$ có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn $d$ , do $a eq 0$ nên ta có 5 cách chọn

$a \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ d ight\}$ .

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a ight\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a,b ight\}$

Suy ra trong trường hợp này có $4.5.5.4 = 400$ số.

Vậy có tất cả $120 + 400 = 520$ số cần lập.
Câu 3: Nhận biết
Cho các số $1$ , $5$ , $6$ , $7$ . Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho?
- A.
  $\mathbf{54}$ .
- B.
  $\mathbf{24}$ .
- C.
  $\mathbf{356}$ .
- D.
  $\mathbf{18}$ .
Số các số tự nhiên có $4$ chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho là: $4! = 24$ số.
Câu 4: Nhận biết
Trong khai triển nhị thức Newton $(3x - 2)^{5}$ , hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ bằng:
- A.
  $1080x^{3}$
- B.
  $- 1080x^{3}$
- C.
  $- 1080$
- D.
  $1080$
Hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(3x - 2)^{5}$ là: $C_{5}^{3}.3^{3}.( - 2)^{2} = 1080$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho tập hợp $B = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7 ight\}$ . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số được lập từ B sao cho chữ số đằng sau luôn lớn hơn chữ số đẳng trước nó?
- A.
  $56$ số
- B.
  $84$ số
- C.
  $105$ số
- D.
  $68$ số
Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm có dạng $\overline{abc};(a \leq b \leq c)$

TH1: $a < b < c$ có $C_{7}^{3} = 35$ số thỏa mãn.

TH2: $a = b < c$ có $C_{7}^{2} = 21$ số thỏa mãn.

TH3: $a < b = c$ có $C_{7}^{2} = 21$ số thỏa mãn.

TH4: $a = b = c$ có $C_{7}^{1} = 7$ số thỏa mãn.

Vậy số các số được tạo thành là: $35 + 2.21 + 7 = 84$ số.
Câu 6: Thông hiểu
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $751$
- B.
  $736$
- C.
  $648$
- D.
  $684$
Gọi số tự nhiên có ba chữ số có dạng $\overline{abc};(a eq 0)$

Có 9 cách chọn a

Có 9 cách chọn b

Có 8 cách chọn c

=> Số các số được tạo thành là: $9.9.8 = 648$ số.
Câu 7: Nhận biết
Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ nhóm gồm 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ?
- A.
  $35$
- B.
  $300$
- C.
  $150$
- D.
  $70$
Số cách chọn một học sinh trong nhóm học sinh là: 15 + 20 = 35 cách.
Câu 8: Nhận biết
Khai triển nhị thức $(2x + 3)^{4}$ ta được kết quả là:
- A.
  $x^{4} + 216x^{3} + 216x^{2} + 96x + 81$
- B.
  $16x^{4} + 216x^{3} + 216x^{2} + 96x + 81$
- C.
  $16x^{4} + 96x^{3} + 216x^{2} + 216x + 81$
- D.
  $x^{4} + 96x^{3} + 216x^{2} + 216x + 81$
Ta có: $(2x + 3)^{4} =$ $16x^{4} + 96x^{3} + 216x^{2} + 216x + 81$ .
Câu 9: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ song song với nhau. Trên đường thẳng $d_{1}$ lấy 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng $d_{2}$ lấy 4 điểm phân biệt. Số tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm có được từ các điểm trên là bao nhiêu?
- A.
  $70$
- B.
  $45$
- C.
  $62$
- D.
  $58$
Th1: Chọn 2 điểm trên đường thẳng $d_{1}$ và 1 điểm trên đường thẳng $d_{1}$ suy ra ta có: $C_{5}^{2}.C_{4}^{1} = 40$

Th2: Chọn 1 điểm trên đường thẳng $d_{1}$ và 2 điểm trên đường thẳng $d_{1}$ suy ra ta có: $C_{5}^{1}.C_{4}^{2} = 30$

Vậy số tam giác được tạo thành là: 30 + 40 = 70 tam giác.
Câu 10: Thông hiểu
Trong khai triển nhị thức $(a + 2)^{2n+1}$ ( $n \in ℕ$ ). Có tất cả 6 số hạng. Vậy n bằng:
- A.
  2
- B.
  11
- C.
  10
- D.
  5
Khai triển có 6 hạng tử
=> $\left( {2n + 1} ight) + 1 = 6 \Rightarrow n = 2$
Câu 11: Thông hiểu
Cho biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{n}$ bằng $180$ . Tìm $n$ .
- A.
  $n = 12$ .
- B.
  $n = 14$ .
- C.
  $n = 8$ .
- D.
  $n = 10$ .
Ta có $(1 + 2x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1}.2x + C_{n}^{2}.(2x)^{2} + ... + C_{n}^{n}(2x)^{n}$ .

Hệ số của $x^{2}$ bằng $180 \Leftrightarrow 4.C_{n}^{2} = 180 \Leftrightarrow 4\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 180 \Leftrightarrow n(n - 1) = 90$

$\Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 9(l) \\ n = 10 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $n = 10$ .
Câu 12: Thông hiểu
Số các số có $6$ chữ số khác nhau không bắt đầu bởi $12$ được lập từ $1;\ \ 2;\ \ 3;\ \ 4;\ \ 5;\ \ 6$ là:
- A.
  $820$ .
- B.
  $926$ .
- C.
  $696$ .
- D.
  $699$ .
Lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau, ta tìm được: $6!$ số.
Lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau nhưng bắt đầu bằng $12$ , ta tìm được: $4!$ số.
Vậy số các số có $6$ chữ số khác nhau không bắt đầu bởi $12$ là $6! - 4! = 696$ số.
Câu 13: Thông hiểu
Từ tập hợp các chữ số $1,2,8,6,7,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?
- A.
  $30$
- B.
  $11$
- C.
  $12$
- D.
  $38$
Gọi số tự nhiên có hai chữ số $\overline{ab};(a eq 0)$

Số cách chọn a là 6 cách

Số cách chọn b là 5 cách

Vậy số các số tự nhiên có thể tạo thành từ tập hợp các chữ số đã cho là $6.5 = 30$ số.
Câu 14: Vận dụng
Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, 7, 9 lập được bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau chia hết cho 6?
- A.
  34.
- B.
  52.
- C.
  56.
- D.
  66.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 6 suy ra $\left\{ \begin{matrix} e = \left\{ 0;2 ight\} \\ (a + b + c + d + e) \vdots 3 \\ \end{matrix} ight.$

TH1. Với $e = 0$ suy ra $a + b + c + d \vdots 3$ , do đó gồm các bộ $(1;2;5;7)$ suy ra có 24 số.

TH2. Với $e = 2$ suy ra $a + b + c + d + 2 \vdots 3$ , do đó gồm các bộ $(0;1;5;7)$ , $(1;5;7;9)$ suy ra có 42 số.

Vậy có tất cả $24 + 42 = 66$ số cần tìm.
Câu 15: Nhận biết
Thầy giáo chủ nhiệm có 10 quyển sách khác nhau và 8 quyển vở khác nhau. Thầy chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau?
- A.
  10 .
- B.
  8 .
- C.
  80 .
- D.
  18.
Chọn một quyển sách có 10 cách chọn.

Chọn một quyển vở có 8 cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng có 18 cách chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi.
Câu 16: Vận dụng
Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $C_{n}^{0} + 2.C_{n}^{1} + 2^{2}.C_{n}^{2} + ... + 2^{n}.C_{n}^{n} = 59049$ . Biết số hạng thứ $3$ trong khai triển Newton của $\left( x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{n}$ có giá trị bằng $\frac{81}{2}n$ . Tìm giá trị của $x$ .
- A.
  $-1$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $\pm 1$ .
- D.
  $\pm3$ .
Ta có: $C_{n}^{0} + 2.C_{n}^{1} +2^{2}.C_{n}^{2} + ... + 2^{n}.C_{n}^{n} = 59049$

$\Rightarrow (2 + 1)^{n}= 59049 \Leftrightarrow 3^{n} = 3^{10} \Leftrightarrow n =10$ .

Ta được nhị thức $\left( x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{10}$ .

Số hạng thứ ba của khai triển là $T_{3} = C_{10}^{2}.\left( x^{2} ight)^{8}.\left( - \frac{3}{x} ight)^{2} = 405x^{14}$ .

Theo giả thiết ta có: $405x^{14} = \frac{81}{2}n$ $\Leftrightarrow$ $405x^{14} = 405$ $\Leftrightarrow$ $x^{14} = 1$ $\Leftrightarrow$ $x = \pm 1$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong khai triển nhị thức $(a + 2)^{n-5}$ (n ∈ ℕ). Có tất cả 6 số hạng. Vậy n bằng:
- A.
  17
- B.
  21
- C.
  25
- D.
  10.
Khai triển bậc (n-5) có 6 số hạng. Suy ra (n-5) = 5. Vậy n = 10.
Câu 18: Nhận biết
Từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau.
- A.
  36
- B.
  60
- C.
  120
- D.
  144
Gọi số cần lập có dạng $\overline {ABC}$ .
A: có 5 cách chọn.
B: có 4 cách chọn.
C: có 3 cách chọn.
Vậy có 5.4.3 = 60 (số) có 3 chữ số đôi một khác nhau.
Câu 19: Nhận biết
Cho tập A có n phần tử (n ∈ ℕ, n ≥ 2), k là số nguyên thỏa mãn 1 ≤ k ≤ n. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử trên là:
- A.
  $n.k$
- B.
  $n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)$
- C.
  $\frac{n}{k}$
- D.
  $\frac{k}{n}$
Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $A_n^k=n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)$ .
Câu 20: Vận dụng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8. Hỏi lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và 3?
- A.
  30 số.
- B.
  31 số.
- C.
  35 số.
- D.
  29 số.
Chữ số cuối cùng bằng 0; các cặp số có thể xảy ra là $(1;2),(1;5),(1;8),(2;4),(4;5),(4;8)$ .

Trường hợp này có 2!.6 số.

Chữ số cuối bằng 2 ta có các bộ $(1;0),(4;0),(1;3),(3;4),(5;8)$ , hoán vị được $2!.3 + 2$ số.

Chữ số cuối bằng 4 ta có các bộ $(2;0),(2;3),(3;5),(3;8)$ , hoán vị được $2!.3 + 1$ số.

Chữ số cuối bằng 8 ta có các bộ $(0;1),(0;4),(1;3),(2;5),(3;4)$ , hoán vị được $2!.3 + 2$ số.

Kết hợp lại ta có 35 số.

8 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm