Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x - 2 & \ khi\ x < - 1 \\
\sqrt{x^{2} + 1} & \ khi\ x \geq - 1 \\
\end{matrix} ight.. Khi đó:

    a) Giới hạn\lim_{x ightarrow - 2}f(x) =
\sqrt{5}.

    b) Giới hạn\lim_{x ightarrow -
1^{-}}f(x) = - 3.

    c) Giới hạn\lim_{x ightarrow -
1^{+}}f(x) = \sqrt{2}.

    d) Hàm số tồn tại giới hạn khi x
ightarrow - 1 .

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x - 2 & \ khi\ x < - 1 \\
\sqrt{x^{2} + 1} & \ khi\ x \geq - 1 \\
\end{matrix} ight.. Khi đó:

    a) Giới hạn\lim_{x ightarrow - 2}f(x) =
\sqrt{5}. Sai

    b) Giới hạn\lim_{x ightarrow -
1^{-}}f(x) = - 3. Đúng

    c) Giới hạn\lim_{x ightarrow -
1^{+}}f(x) = \sqrt{2}. Đúng

    d) Hàm số tồn tại giới hạn khi x
ightarrow - 1 . Sai

    a) Ta có: Giới hạn\lim_{x ightarrow -
2}f(x) = - 4

    b) Xét dãy số \left( x_{n}
ight) bất kì sao cho x_{n} < -
1x_{n} ightarrow -
1, ta có: f\left( x_{n} ight) =
x_{n} - 2.

    Khi đó: \lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x)
= \lim f\left( x_{n} ight) = - 1 - 2 = - 3.

    c) Xét dãy số \left( x_{n}
ight) bất kì sao cho x_{n} > -
1x_{n} ightarrow -
1, ta có: f\left( x_{n} ight) =
\sqrt{x_{n}^{2} + 1}.

    Khi đó: \lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x)
= \lim f\left( x_{n} ight) = \sqrt{( - 1)^{2} + 1} =
\sqrt{2}.

    d) Vì \lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x)
eq \lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) (hay - 3 eq \sqrt{2} ) nên không tồn tại \lim_{x ightarrow - 1}f(x).

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}  {{x^2}\sin \dfrac{1}{x}}&{{\text{ }}khi{\text{ }}x e 0} \\   m&{{\text{ }}khi{\text{ }}x = 0} \end{array}} ight. liên tục tại x = 0

    Với mọi x e 0 ta có:

    0 \leqslant \left| {f(x)} ight| \leqslant \left| {{x^2}\sin \frac{1}{x}} ight| \leqslant {x^2} \to 0 khi x \to 0

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0

    Theo giả thiết ta phải có: \mathop {m = f\left( 0 ight) = \lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = 0

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}

    Ta có:

    \begin{matrix}  f\left( x ight) = \sqrt[3]{{4x - 1}} - 3 \hfill \\   = \dfrac{{4x - 28}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \frac{{4\left( {x - 7} ight)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}}

    g\left( x ight) = \sqrt {x + 2}  - 3 = \frac{{x + 2 - 9}}{{\sqrt {x + 2}  + 3}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt {x + 2}  + 3}}

    \begin{matrix}  h\left( x ight) = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}} \hfill \\   = \dfrac{{\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2}}{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2} ight)\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \frac{{\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2}}{{\sqrt {2x + 2}  - 4}} = \frac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2}  + 4} ight)}}{{\left( {\sqrt {2x + 2}  - 4} ight)\left( {\sqrt {2x + 2}  + 4} ight)}}

    \begin{matrix}   = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2}  + 4} ight)}}{{2x - 14}} \hfill \\   = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2}  + 4} ight)}}{{2\left( {x - 7} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \left\{ {\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight].h\left( x ight)} ight\}

    = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \{ \left[ {\frac{4}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}} - \frac{1}{{\sqrt {x + 2}  + 3}}} ight]

    .\frac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2}  + 4} ight)}}{x}\}

    = \left( {\frac{4}{{27}} - \frac{1}{6}} ight).\frac{{32}}{2} =  - \frac{8}{{27}}

    Vậy \mathop {\lim Ư}\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}=\dfrac{-8}{27}

  • Câu 4: Nhận biết

    Giá trị của C =
\lim\frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{1}{a} - 1

    Ta có:

    \left| \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n +
1} - 1 ight| < \left| \frac{n + 2}{n - 1} - 1 ight| <
\frac{1}{n_{a} + 1} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}

    Vậy C=1.

  • Câu 5: Vận dụng

    Kết quả giới hạn K = \lim_{x ightarrow
+ \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) =
\frac{a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản (a;b > 0). Tổng a + b bằng bao nhiêu?

    Đáp án:

    Đáp án là:

    Kết quả giới hạn K = \lim_{x ightarrow
+ \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) =
\frac{a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản (a;b > 0). Tổng a + b bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3

    Ta có

    K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left(
\sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight)

    = \lim_{x ightarrow +
\infty}x\left\lbrack \left( \sqrt{x^{2} + 2x} - x - 1 ight) + \left( x
+ 1 - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow +
\infty}\lbrack\frac{- x}{\sqrt{x^{2} + 2x} + (x + 1)} + \frac{3x^{2} + x}{(x + 1)^{2} + (x +
1)\sqrt[3]{x^{3} + 3x} + \sqrt[3]{\left( x^{3} + 3x
ight)^{2}}}brack

    = \lim_{x ightarrow +
\infty}\lbrack\frac{- 1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \left( 1 + \frac{1}{x}
ight)} + \frac{3 +
\frac{1}{x}}{\left( 1 + \frac{1}{x} ight)^{2} + \left( 1 + \frac{1}{x}
ight)\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt[3]{\left( 1 +
\frac{3}{x^{2}} ight)^{2}}}brack

    = - \frac{1}{2} + 1 =
\frac{1}{2}.

    Suy ra a + b = 3.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Giá trị của giới hạn \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  - n} ight) là:

    Ta có:

    \begin{matrix}  \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  - n} ight) \hfill \\   = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1}  + n} ight)}} \hfill \\   = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1}  + n}} \hfill \\   = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}  + 1} ight)}} =  - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 2x - 15}}{{2x - 10}} bằng

     \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{{x^2} - 2x - 15}}{{2x - 10}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{\left( {x - 5} ight)\left( {x + 3} ight)}}{{2\left( {x - 5} ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{x + 3}}{2} = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Giới hạn \lim_{}\frac{5n^{2} + 6n -
2025}{n^{2}} bằng

    Ta có:

    \lim\frac{5n^{2} + 6n -
2025}{n^{2}}

    = \lim\dfrac{n^{2}\left( 5 + \dfrac{6}{n}- \dfrac{2025}{n^{2}} ight)}{n^{2}}

    = \lim\left( 5 + \frac{6}{n} -
\frac{2025}{n^{2}} ight) = 5.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 2x + 3\ \ \ khi\ x > 3 \\1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\3 - 2x^{2}\ \ \ \ \ khi\ x < 3 \\\end{matrix} ight. . Khẳng định nào dưới đây sai?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{+}}\left( x^{2} - 2x + 3 ight) = 6

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{-}}\left( 3 - 2x^{2} ight) = - 15

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow3^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)

    => Không tồn tại giới hạn khi x dần đến 3.

    Vậy chỉ có khẳng định \lim_{x ightarrow3^{-}}f(x) = 6 sai.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Rút gọn S = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x + ... + {( - 1)^n}.{\sin ^{2n}}x + ... với \sin x e  \pm 1

    Ta có: 

     S = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x + ... + {( - 1)^n}.{\sin ^{2n}}x + ... là một dãy cấp số nhân với {u_1} = 1,q =  - {\sin ^2}x nên

    S = \frac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Hàm số nào trong các hàm số sau liên tục tại x = 1?

    Xét hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x + 1\ khi\ x \geq 1 \\
3x - 1\ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight. có:

    \left\{ \begin{matrix}
f(1) = 2 \\
\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}(x + 1) = 2
\\
\lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(3x - 1) = 2
\\
\end{matrix} ight.

    Vậy hàm số liên tục tại x =
1.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tính giới hạn E =
\lim_{x ightarrow + \infty}\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2}
ight)

    Ta có:

    E = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(
x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)

    E = \lim_{x ightarrow +
\infty}\frac{\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)\left( x + 1 +
\sqrt{x^{2} - x - 2} ight)}{x + 1 + \sqrt{x^{2} - x - 2}}

    E = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{(x + 1)^{2} - \left( x^{2} - x - 2 ight)^{2}}{x + 1 +\sqrt{x^{2} - x - 2}}

    E = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x\left( 3 + \dfrac{3}{x} ight)}{x\left( 1 + \dfrac{1}{x} +\sqrt{1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x^{2}}} ight)}

    E = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3+ \dfrac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} -\dfrac{2}{x^{2}}}} = \dfrac{3}{2}

  • Câu 13: Vận dụng

    Tính giới hạn \lim\sqrt{2.3^{n} - n +
2}.

    Ta có:

    \begin{matrix}
  \lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2}  \hfill \\
   = \lim \sqrt {{3^n}} \sqrt {2 - \dfrac{n}{{{3^n}}} + 2.{{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)}^n}}  \hfill \\ 
\end{matrix}

    \left\{ \begin{matrix}\lim\sqrt{3^{n}} = + \infty \\0 \leq \dfrac{n}{3^{n}} \leq \dfrac{n}{C_{2}^{n}} = \dfrac{2}{n - 1}ightarrow 0 \Rightarrow \lim\dfrac{n}{3^{n}} = 0 \\\lim\left( \dfrac{1}{3} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight. nên \left\{\begin{matrix}\lim\sqrt{3^{n}} = + \infty \\\lim\sqrt{2 - \dfrac{n}{3^{n}} + 2\left( \dfrac{1}{3} ight)^{n}} =\sqrt{2} > 0 \\\end{matrix} ight.

    Do đó \lim\sqrt{2.3^{n} - n + 2} = +
\infty

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) liên tục trên đoạn \lbrack -
1;2brack và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;2brack. Giá trị của M.n là:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack - 1;2brack.

    Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M = 3; m = -1

    Vậy M.n = -3

  • Câu 15: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} bằng

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} =  + \infty

    Do \left\{ \begin{gathered}  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} ight) = 2 > 0 \hfill \\  x \to {1^ + } \Rightarrow x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered}  ight.

  • Câu 16: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left| {x - 1} ight|}}{\text{   khi }}x e 1} \\   {{\text{m                  khi }}x = 1} \end{array}} ight. liên tục trên \mathbb{R}?

    Ta có:

    Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty). Khi đó hàm số đã cho liên tục trên \mathbb{R} khi và chỉ khi nó liên tục tại x = 1, tức là ta cần có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) =f(1)

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ (*)

    Ta lại có:

    f(x) = \left\{ \begin{matrix}x - 2\ \ \ khi\ x > 1 \\m\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\2 - x\ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{+}}(x - 2) = - 1

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 1^{-}}(2 - x) = 1

    Khi đó (*) không thỏa mãn với mọi m\mathbb{\in R}

    Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim\frac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n -
2}

    Ta có:

    \lim\dfrac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n -2} = \lim\dfrac{\dfrac{1}{n} - 4}{2 + \dfrac{5}{n^{2}} - \dfrac{2}{n^{3}}} =\dfrac{0 - 4}{2 + 0 - 0} = - 2

  • Câu 18: Nhận biết

    Hàm số f(x) =
\frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Ta có:

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x +
4} là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;4
ight\} nên hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( -
\infty;1),(1;4),(4; + \infty).

    Do đó f(x) liên tục trên (2;3).

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính giá trị của giới hạn sau \lim\frac{10}{\sqrt{n^{4} + n^{2} + 1}} là?

    Ta có:

    \lim\frac{10}{\sqrt{n^{4} + n^{2} + 1}}
= \lim\frac{10}{n^{2}\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} +
\frac{1}{n^{4}}}}

    Nhưng{\ \lim}\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} +
\frac{1}{n^{4}}} = 1\lim\frac{10}{n^{2}\ } = 0

    Nên \lim\frac{10}{\sqrt{n^{4} + n^{2} +
1}} = 0

  • Câu 20: Vận dụng

    Biết \lim_{x
ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5. Hỏi giá trị giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) -
10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3
ightbrack} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x
- 1} = 5

    \Rightarrow f(1) = 10

    Khi đó: \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x)
- 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3
ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left(
f(x) - 10 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1
ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3
ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left(
f(x) - 10 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{(x - 1)\left\lbrack
\sqrt{4f(x) + 9} + 3 ightbrack}

    = \frac{5.\left( \sqrt{1} + 1
ight)}{\left\lbrack \sqrt{4f(1) + 9} + 3 ightbrack} =
1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 30 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️