Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Nhận biết

Hàm số $y = f(x) = x^{3} - 7x^{2} + 11x - 2$ trên đoạn $\lbrack 0;2brack$ có giá trị nhỏ nhất bằng:

A.
$- 2$
B.
$0$
C.
$11$
D.
$3$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 14x + 11$

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{11}{3} \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $f(0) = - 2;f(1) = 3;f(2) = 0$ suy ra $\min_{\lbrack 0;2brack}f(x) = - 2$ .

Câu 2: Thông hiểu

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt {3 - 2x - {x^2}}$

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

Điều kiện xác định $3 - 2x - {x^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow - 3 \leqslant x \leqslant 1$

Xét hàm số $f\left( x ight) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}}$ trên $\left[ { - 3;1} ight]$ ta có:

$f'\left( x ight) = \frac{{ - 2 - 2x}}{{2\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }} = - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }}$

Phương trình $f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 < x < 1} \\ {x + 1 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow x = - 1$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 3} ight) = 0} \\ {f\left( { - 1} ight) = 2} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.$

$\Rightarrow \mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ { - 3;1} ight]} = f\left( { - 1} ight) = 2$

Câu 3: Nhận biết

Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ ?

A.
$A(3;2)$
B.
$B( - 3;2)$
C.
$C( - 1;3)$
D.
$D(1; - 3)$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{xightarrow + \infty}\dfrac{2x + 1}{x - 3} = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{3}{x}} = 2$ suy ra tiệm cận ngang là $y = 2$

$\lim_{x ightarrow 3^{+}}y = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{2x + 1}{x - 3} = + \infty$ suy ra tiệm cận đứng là $x = 3$

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $A(3;2)$ .

Câu 4: Thông hiểu

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x^{2} + x - 2}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A.
$1$
B.
$3$
C.
$2$
D.
$0$

Ta có: $y = \frac{x - 3}{x^{2} + x - 2} = \frac{x - 3}{(x - 1)(x + 2)}$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}y = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x - 3}{(x - 1)(x + 2)} = - \infty$ suy ra $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}y = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x - 3}{(x - 1)(x + 2)} = + \infty$ suy ra $x = - 2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận đứng.

Câu 5: Thông hiểu

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3x^{2} - 4x + 1}{x^{2} - 1}$ là:

A.
$4$
B.
$2$
C.
$1$
D.
$3$

Điều kiện xác định của hàm số $x^{2} - 1 eq 0 \Leftrightarrow x eq \pm 1$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}$

$\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{3x^{2} - 4x + 1}{x^{2} - 1} = 3$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 3$ .

$\lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}\frac{3x^{2} - 4x + 1}{x^{2} - 1} = \mp \infty$ suy ra $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$\lim_{x ightarrow 1}y = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(3x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1}{x + 1} = 1$ suy ra $x = 1$ không là tiệm cận đứng.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hám số là $2$ .

Câu 6: Nhận biết

Tìm giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{4} - (3 - m)x^{2} - 7$ đi qua điểm $A( - 2;1)$ ?

A.
$m = 5$
B.
$m = 0$
C.
$m = 1$
D.
$m = - 1$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A( - 2;1)$ nên ta có:

$1 = ( - 2)^{4} - (3 - m)( - 2)^{2} - 7 \Leftrightarrow m = 1$

Câu 7: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm giá trị của tham số thực $m$ để phương trình $f(x) = m$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt?

A.
$( - 1;3)$
B.
$( - 1;3brack$
C.
$\lbrack - 1;3brack$
D.
$\lbrack - 1;3)$

Phương trình $f(x) = m$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại ít nhất hai điểm phân biệt

$\Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 3$

Câu 8: Vận dụng

Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4\left( {{m^2} + {n^2}} ight) - m - n$ , biết $y = {\left( {x + m} ight)^3} + {\left( {x + n} ight)^3} - {x^3}$ với $m,n$ là tham số và hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ; + \infty } ight)$ .

A. $4$
B. $\frac{1}{4}$
C. $-16$
D. $- \frac{1}{{16}}$

Ta có:

$\begin{matrix} y' = 3{\left( {x + m} ight)^2} + 3{\left( {x + n} ight)^2} - 3{x^2} \hfill \\ = 3\left[ {{x^2} + 2\left( {m + n} ight)x + {m^2} + {n^2}} ight] \hfill \\ \end{matrix}$

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\begin{matrix} y' \geqslant 0;\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + n} ight)^2} - {m^2} - {n^2} \leqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow mn \leqslant 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Ta lại có:

$\begin{matrix} P = 4\left( {{m^2} + {n^2}} ight) - \left( {m + n} ight) \hfill \\ = 4{\left( {m + n} ight)^2} - 8mn - \left( {m + n} ight) \hfill \\ \geqslant 4{\left( {m + n} ight)^2} - \left( {m + n} ight) \hfill \\ = 4{\left( {m + n} ight)^2} - 2.2\left( {m + n} ight).\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ = {\left[ {2\left( {m + n} ight) - \dfrac{1}{4}} ight]^2} - \dfrac{1}{{16}} \geqslant - \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \Rightarrow {P_{\min }} = - \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 9: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}$ trên đoạn $\left[ {0,2} ight]$ . Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tính giá trị biểu thức $3M + m$ .

A. $0$
B. $-4$
C. $-2$
D. $1$

Xét hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}$ trên đoạn $\left[ {0,2} ight]$ ta có:

$f'\left( x ight) = \frac{8}{{{{\left( {x - 3} ight)}^2}}} < 0$

=> $f\left( x ight)$ là hàm số nghịch biến trên $\left( {0;2} ight)$

=> $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0;2} ight]} = f\left( 2 ight) = - 5} \\ {\mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0;2} ight]} = f\left( 0 ight) = \dfrac{1}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow 3M + m = - 2$

Câu 10: Thông hiểu

Cho hàm số $y = - x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 3(2m - 1)x + 2020$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên $( - \infty; + \infty)$ ?

A.
$4$
B.
$6$
C.
$2$
D.
$5$

Ta có: $y' = - 3x^{2} - 6(m + 1)x + 3(2m - 1)$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên $( - \infty; + \infty)$

$\Leftrightarrow y' \leq 0 \Leftrightarrow \Delta' \leq 0$

$\Leftrightarrow 9\left( m^{2} + 2m + 1 ight) + 18m - 9 \leq 0$

$\Leftrightarrow 9m^{2} + 36m \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 0$

Do $m\mathbb{\in Z}$ nên có tất cả 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện.

Câu 11: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} - (2m - 3)x - m + 2$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A.
$5$
B.
$1$
C.
$2$
D.
$3$

Ta có: $y' = x^{2} - 2mx - 2m + 3$

Khi đó: $y' \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2mx - 2m + 3 \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \Delta' = m^{2} + 2m - 3 \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 1$

Do $m$ nguyên dương nên $m = 1$ .

Vậy có 1 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 12: Thông hiểu

Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + m}{x + 2}$ đồng biến trên từng khoảng xác định?

A.
$m \geq 2$
B.
$m < 2$
C.
$m \leq 2$
D.
$m > 2$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{2 - m}{(x + 2)^{2}}$ .

Để hàm số $y = \frac{x + m}{x + 2}$ đồng biến trên từng khoảng xác định

$\Leftrightarrow y' > 0;\forall x \in D \Leftrightarrow \frac{2 - m}{(x + 2)^{2}} > 0$

$\Leftrightarrow 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2$

Vậy giá trị cần tìm là $m < 2$ .

Câu 13: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 30;30} ight]$ để hàm số $f\left( {{x^3} - 3{m^2}x} ight)$ có đúng 11 điểm cực trị?

Tìm m để hàm số có 11 cực trị

A. 29
B. 23
C. 21
D. 22

Hàm số đạt cực trị tại $x = a < - 1;x = - 1;x = 4$

Xét hàm số $f\left( {\left| {{x^3} - 3mx} ight|} ight) = f\left( u ight)$

Bảng biến thiên của hàm số $u = \left| {{x^3} - 3mx} ight| \geqslant 0$ suy ra chỉ có phương trình $u = \left| {{x^3} - 3mx} ight| = 4$ cho ta nghiệm bội lẻ.

Nếu $m \leqslant 0$

=> Số điểm cực trị u là 1

=> Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)

Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số $u = \left| {{x^3} - 3mx} ight|$

Tìm m để hàm số có 11 cực trị

Áp dụng công thức:

Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u

=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {2m\sqrt m > 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m > \sqrt[3]{4}$ . Kết hợp với điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \in \mathbb{Z}} \\ {m \in \left[ { - 30;30} ight]} \end{array}} ight.$

=> Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.

Câu 14: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;5brack$ và có đồ thị như hình vẽ:

Xác định hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 1;5brack$ ?

A.
$4$
B.
$3$
C.
$5$
D.
$1$

Từ đồ thị hàm số ta có: $\max_{\lbrack - 1;5brack}y = 3;\min_{\lbrack - 1;5brack}y = - 2$

Khi đó $\max_{\lbrack - 1;5brack}y - \min_{\lbrack - 1;5brack}y = 5$ .

Câu 15: Nhận biết

Đồ thị hàm số nào sau đây nhận điểm $A(1;3)$ làm tâm đối xứng?

A.
$y = \frac{2x - 3}{x - 1}$
B.
$y = \frac{3x + 4}{x - 1}$
C.
$y = \frac{4x + 1}{x + 2}$
D.
$y = \frac{3x - 2}{x + 1}$

Đồ thị hàm số $y = \frac{3x + 4}{x - 1}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$ và tiệm cận ngang là $y = 3$ suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là $(1;3)$

Vậy điểm $A(1;3)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3x + 4}{x - 1}$ .

Câu 16: Vận dụng cao

Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng 3 km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 3(km),AM = NB = x(km)$ và $AX = BY = 3(km)$ (minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình $y = 50\log(t +2)$ . Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5km/h$ và $13km/h$ . Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng 3 km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 3(km),AM = NB = x(km)$ và $AX = BY = 3(km)$ (minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình $y = 50\log(t +2)$ . Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5km/h$ và $13km/h$ . Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 17: Nhận biết

Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{1 - x}{x + 1}$ ?

A.
Không tồn tại.
B.
$( - \infty; - 1) \cup ( - 1; + \infty)$
C.
$( - \infty;1),(1; + \infty)$
D.
$( - \infty; + \infty)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$

Ta có: $y = \frac{1 - x}{x + 1} \Rightarrow y' = \frac{- 2}{(x + 1)^{2}} < 0;\forall x \in D$

Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Câu 18: Vận dụng

Biết đồ thị hàm số $y = \frac{{\left( {2m - n} ight){x^2} + mx + 1}}{{{x^2} + mx + n - 6}}$ nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá trị m + n là:

A. 8
B. 9
C. 6
D. -6

Điều kiện ${x^2} + mx + n - 6 e 0$

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2m - n$

=> $2m - n = 0\left( * ight)$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = \left( {2m - n} ight){x^2} + mx + 1} \\ {g\left( x ight) = {x^2} + mx + n - 6} \end{array}} ight.$

Nhận thấy $f\left( x ight) e 0$ với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 làm tiệm cận đứng thì g(0) = 0

=> n – 6 = 0 => n = 6

Kết hợp với (*) => m = 3

Vậy m + n = 9

Câu 19: Nhận biết

Cho hàm số $y = x^{4} - mx^{2} + m$ có đồ thị $(C)$ . Tìm tham số $m$ để $(C)$ đi qua điểm $M(2;16)$ ?

A.
$m = - 2$
B.
$m = 2$
C.
$m = 1$
D.
$m = 0$

Ta có: $M(2;16) \in (C) \Leftrightarrow 16 = 2^{4} - m.2^{2} + m \Leftrightarrow 3m = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy $m = 0$ .

Câu 20: Vận dụng

Anh H dự định sử dụng hết 5,5m² kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).

Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là $S = 2a^{2} + 6ah$ . Đúng||Sai

b) Ta có $h = \frac{5,5 + 2a^{2}}{6a}$ . Sai|| Đúng

c) Thể tích của bể là $V = \frac{5,5a}{3} + \frac{2a^{3}}{3}$ . Sai|| Đúng

d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng $\frac{11\sqrt{33}}{54}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Anh H dự định sử dụng hết 5,5m² kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).

Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là $S = 2a^{2} + 6ah$ . Đúng||Sai

b) Ta có $h = \frac{5,5 + 2a^{2}}{6a}$ . Sai|| Đúng

c) Thể tích của bể là $V = \frac{5,5a}{3} + \frac{2a^{3}}{3}$ . Sai|| Đúng

d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng $\frac{11\sqrt{33}}{54}$ . Đúng||Sai

a) Đúng. Kích thước đáy của bể lần lượt là 2a, a; chiều cao bể là h (a, h > 0). Tổng diện tích 5 mặt của bể là:

$S = 2a^{2} + 2ah + 4ah = 2a^{2} + 6ah$

b) Sai. Theo đề bài ta có: $2a^{2} + 6ah = 5,5 \Rightarrow h = \frac{5,5 - 2a^{2}}{6a};\left( 0 < a < \frac{5\sqrt{5}}{2} ight)$ .

c) Sai. Gọi V là thể tích của bể cá, ta có:

$V = 2a^{2}h = \frac{2a^{2}\left( 5,5 - 2a^{2} ight)}{6a} = \frac{5,5a}{3} - \frac{2a^{3}}{3}$

d) Đúng. Ta có: $V' = \frac{5,5}{3} - \frac{6a^{2}}{3}$

$V' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{5,5}{3}- \dfrac{6a^{2}}{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{\sqrt{33}}{6}(tm) \\a = - \dfrac{\sqrt{33}}{6}(ktm) \\\end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên:

Vậy dung tích lớn nhất của bể cá bằng $\frac{11\sqrt{33}}{54}$ .

Câu 21: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 9} ight){\left( {x - 4} ight)^2}$ . Khi đó hàm số $y = f\left( {{x^2}} ight)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (3; +∞)
B. (-3; 0)
C. (-∞; -3)
D. (-2; 2)

Ta có:

$\begin{matrix} y' = \left[ {f\left( {{x^2}} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {{x^2}} ight)'{x^4}\left( {x - 9} ight)\left( {{x^2} - 4} ight) \hfill \\ = 2{x^5}\left( {x - 3} ight)\left( {x - 3} ight){\left( {x - 2} ight)^2}.{\left( {x + 2} ight)^2} \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = \pm 2} \\ {x = \pm 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số $y = f\left( {{x^2}} ight)$ nghịch biến trên các khoảng (-∞; -3) và (-0; 3)

Câu 22: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ , đạo hàm $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm số điểm cực tiểu của hàm số $y = f(x)$ ?

A.
$0$
B.
$1$
C.
$2$
D.
$3$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương. Dựa vào đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu.

Câu 23: Nhận biết

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3x$ trên $\lbrack 1;2brack$ bằng:

A.
$0$
B.
$2$
C.
$\frac{14}{27}$
D.
$- 7$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\left\{ \begin{matrix} y(1) = - 2 \\ y(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack 1;2brack}y = 2 \\ \min_{\lbrack 1;2brack}y = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack 1;2brack$ bằng $0$ .

Câu 24: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)^{2}(x - 1)^{3}(2 - x)$ . Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$( - 1;1)$
B.
$(2; + \infty)$
C.
$( - \infty;1)$
D.
$(1;2)$

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu trên ta có hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(1;2)$ .

Câu 25: Thông hiểu

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{{{x^2} - 3x - 4}} + x$

A. 4
B. 3
C. 2
D. 5

Quy đồng biến đổi hàm số đã cho trở thành $y = \frac{{{x^3} - 3{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 3x - 4}}$

Tìm được tiệm cận đứng là x = -1 và x = 4 và không có tiệm cận ngang

=> Số tiệm cận là 2 đường

Câu 26: Thông hiểu

Tìm điều kiện của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = mx^{4} + (2m - 1)x^{2} + m - 2$ chỉ có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu?

A.
$\left\lbrack \begin{matrix}m \leq 0 \\m > \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$
B.
$m \leq 0$
C.
$\left\lbrack \begin{matrix}m \leq 0 \\m \geq \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$
D.
$m \geq \frac{1}{2}$

Xét $m = 0$ khi đó $y = - x^{2} - 2$ là hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên đồ thị của hàm số là parabol có bề lõm hướng xuống nên có 1 cực đại mà không có cực tiểu. Suy ra $m = 0$ thỏa mãn.

Xét $m eq 0$ khi đó $y = mx^{4} + (2m - 1)x^{2} + m - 2$ là hàm số bậc 4 dạng trùng phươn

Để đồ thị hàm số có một cực đại mà không có cực tiểu thì

$\left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m\left( {2m - 1} ight) \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m \leqslant 0 \hfill \\ m \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m < 0$

Vậy đáp án cần tìm là $m \leq 0$ .

Câu 27: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x) = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + m^{2} - 8$ (với $m$ là tham số) có đồ thị $(C)$ . Giả sử các điểm $A;B;C$ là các điểm cực trị của $(C)$ . Để tam giác $ABC$ đều thì giá trị của tham số $m$ nằm trong khoảng nào sau đây?

A.
$\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} ight)$
B.
$\left( 0;\frac{1}{4} ight)$
C.
$\left( \frac{1}{2};1 ight)$
D.
$(1;2)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 4x^{3} - 4(m + 1)x$

$y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m + 1)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt hay $x^{2} = m + 1$ có hai nghiệm khác 0

$\Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{m + 1} \\ x = - \sqrt{m + 1} \\ \end{matrix} ight.$

Đồ thị $(C)$ có ba điểm cực trị là $A\left( 0;m^{2} + 8 ight)$ ; $B\left( \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight)$ ; $C\left( - \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight)$ .

Ta có: $AB = AC = \sqrt{m + 1 + (m + 1)^{4}}$

Do đó tam giác $ABC$ đều $\Leftrightarrow AB = BC$

$\Leftrightarrow \sqrt{m + 1 + (m + 1)^{4}} = \sqrt{4(m + 1)}$

$\Leftrightarrow m + 1 + (m + 1)^{4} = 4(m + 1)$

$\Leftrightarrow (m + 1)^{4} - 3(m + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (m + 1)\left\lbrack (m + 1)^{3} - 3 ightbrack = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m + 1 = 0 \\ (m + 1)^{3} - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 1 + \sqrt[3]{3} \\ \end{matrix} ight.$

Kết hợp với điều kiện $m > - 1 \Rightarrow m = - 1 + \sqrt[3]{3}$ .

Vậy đáp án cần tìm là $m \in \left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} ight)$ .

Câu 28: Vận dụng

Giá trị của tham số m để bất phương trình $(x - 2 - m)\sqrt{x - 1} \leq m - 4$ có nghiệm là:

A.
$m \leq 3$
B.
$m \geq 2$
C.
$m \geq 0$
D.
$m < 2$

Đặt $t = \sqrt{x - 1};(t \geq 0)$

Khi đó bất phương trình ban đầu trở thành:

$\left( t^{2} - m - 1 ight).t \leq m - 4 \Leftrightarrow m \geq \frac{t^{3} - t + 4}{t + 1}$

Xét hàm số $f(t) = \frac{t^{3} - t + 4}{t + 1}$ trên $\lbrack 0; + \infty)$

Ta có: $f'(t) = \frac{2t^{3} + 3t^{2} - 5}{(t + 1)^{2}} = \frac{(t - 1)\left( 2t^{2} + 5t + 5 ight)}{(t + 1)^{2}}$

$f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Bảng biến thiên của $f(t) = \frac{t^{3} - t + 4}{t + 1};t \in \lbrack 0; + \infty)$

Từ bảng biến thiên suy ra để bất phương trình có nghiệm thì $m \geq 2$ .

Câu 29: Vận dụng

Cho hàm số đa thức bậc bốn $f(x)$ . Đồ thị hàm số $y = f'(3 - 2x)$ được biểu thị trong hình vẽ sau:

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trong khoảng nào?

A.
$( - \infty; - 1)$
B.
$(5; + \infty)$
C.
$( - 1;1)$
D.
$(1;5)$

Đặt $t = 3 - 2x$ . Ta có bảng xét dấu của $f'(3 - 2x)$ được mô tả lại như sau:

Từ đó suy ra bảng xét dấu của $f'(t)$

Vậy hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên các khoảng $( - \infty; - 1),(3;5)$ .

Câu 30: Thông hiểu

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = (x - 2)^{2}(x + 1)$ là

A.
$A(0;4),B(2;0)$ .
B.
$A(4;0),B(0;2)$ .
C.
$A(0; - 4),B( - 2;0)$ .
D.
$A( - 4;0),B(0; - 2)$ .

Ta có:

$f^{'}(x) = 2(x - 2)(x + 1) + (x - 2)^{2}$

$= 2x^{2} - 2x - 4 + x^{2} - 4x + 4 = 3x^{2} - 6x$

$f^{'}(x) = 0 = > x = 1;x = 2$

Vậy hai điểm cực trị cần tìm là: $A(0;4),B(2;0)$

Câu 31: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:

A.
$0$
B.
$3$
C.
$1$
D.
$2$

Quan sát bảng biến thiên dễ thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 3.

Câu 32: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới dây?

A.
$( - \infty;0)$
B.
$(1; + \infty)$
C.
$(0;1)$
D.
$( - 1;0)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ .

Câu 33: Thông hiểu

Có bao nhiêu số nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} + 3x^{2} - mx + 1$ đạt cực tiểu tại $x = 1$ ?

A.
$0$ .
B.
$1$ .
C.
$2$ .
D.
$3$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} + 6x - m \\ y'' = 6x + 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số $y = x^{3} + 3x^{2} - mx + 1$ đạt cực tiểu tại $x = 1$ :

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y'(1) = 0 \\ y''(1) > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3.1^{2} + 6.1 - m = 0 \\ 6.1 + 6 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 9 \\ 12 > 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có suy nhất một giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 34: Thông hiểu

Tìm điều kiện cần và đủ của tham số thực ủa tham số $m$ để đường thẳng $y = 3x + m - 2$ cắt đồ thị $y = (x - 1)^{3}$ tại ba điểm phân biệt là:

A.
$- 3 \leq m \leq 1$
B.
$- 3 < m < 1$
C.
$- 1 < m < 3$
D.
$- 1 \leq m \leq 3$

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

$(x - 1)^{3} = 3x + m - 2 \Leftrightarrow m = x^{3} - 3x^{2} + 1(*)$

(*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $(d):y = m,(C):y = x^{3} - 3x^{2} + 1$

Xét hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1$ có

$f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

Vậy theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow - 3 < m < 1$

Câu 35: Nhận biết

Hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 5}{4 - x}$ cắt nhau tại điểm $M$ . Xác định tọa độ điểm $M$ ?

A.
$M( - 4;2)$
B.
$M(4;2)$
C.
$M( - 4; - 2)$
D.
$M(4; - 2)$

Đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 5}{4 - x}$ có đường tiệm cận đứng $x = 4$ và đường tiệm cận ngang $y = - 2$ . Do đó giao điểm của hai đường tiệm cận là $M(4; - 2)$ .

Câu 36: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{(2m + 1)x^{2} + 3}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ với $m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1; - 3)$ ?

A.
$m = 0$
B.
$m = 1;m = - 1$
C.
$m = 2$
D.
$m = - 2$

Ta có: $\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}y = 2m + 1$ suy ra $d:y = 2m + 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Do $A(1; - 3) \in d \Leftrightarrow 2m + 1 = - 3 \Leftrightarrow m = - 2$

Câu 37: Vận dụng cao

Cho hàm số bậc ba $f\left( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Hỏi đồ thị hàm số $g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} ight).f\left( x ight)}}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. 4
B. 3
C. 2
D. 6

Ta có: $f'\left( x ight) = 3a{x^2} + 2bx + c = 3a\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight) = 3x\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)$

Đồng nhất hai vế ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2b = - 9a} \\ {c = 6a} \end{array}} ight. \Rightarrow f\left( x ight) = a{x^3} - \frac{{9a}}{2}{x^2} + 6ax + d$

Mặt khác $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 ight) = 5} \\ {f\left( 2 ight) = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + \dfrac{9}{2}a + 6a + d = 5} \\ {8a - 18a + 12a + d = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{10}}{{49}}} \\ {d = \dfrac{{ - 20}}{{19}}} \end{array}} ight.$

Giải phương trình $f\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{1}{2}} \\ {x = 2} \end{array}} ight.$

Hàm số có tập xác định là $D = \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } ight)\backslash \left\{ {\frac{1}{2};1;2} ight\}$

Khi đó

$g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} ight).f\left( x ight)}}$

$= \frac{{\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^2} - 1} ight)\left( {{x^2} - 4} ight).f\left( x ight)}}$

$= \frac{{\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)f\left( x ight)}}$

=> Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = \frac{1}{2};x = 2$

Câu 38: Thông hiểu

Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

Chọn đáp án đúng

Chọn khẳng định đúng?

A. $b < 0;c < 0$
B. $b > 0;c > 0$
C. $b > 0;c < 0$
D. $b < 0;c > 0$

Quan sát bảng biến thiên ta suy ra a < 0

Ta có: có hai nghiệm dương nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2b}}{{3a}} > 0} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{{3a}} > 0} \end{array}} ight. \Rightarrow b > 0;c < 0$

Câu 39: Thông hiểu

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt { - {x^2} + 4x}$ trên khoảng (0; 3)

A. 4
B. 2
C. 0
D. 2

Tập xác định $D = \left[ {0;4} ight]$

Xét hàm số $y = \sqrt { - {x^2} + 4x}$ trên khoảng (0;3)

Ta có:

$\begin{matrix} y' = \frac{{ - x + 2}}{{\sqrt { - {x^2} + 4x} }} \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có bảng biến thiên:

Tìm GTLN của hàm số

Trên khoảng (0; 3) giá trị lớn nhất của hàm số y = 2

Câu 40: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = x^{4} - 2x^{2} - 3$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = −3$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số đã cho có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là $−4, −3$ . Sai|| Đúng

d) Đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + 3$ có điểm cực đại là $(0; 0)$ . Sai|| Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = x^{4} - 2x^{2} - 3$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = −3$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số đã cho có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là $−4, −3$ . Sai|| Đúng

d) Đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + 3$ có điểm cực đại là $(0; 0)$ . Sai|| Đúng

Ta có:

$f'(x) = 4x^{3} - 4x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 0$

b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x = −3$

c) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là $−4, −3$

d) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $g(x) = f(x) + 3$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị $y = f(x)$ lên trên 3 đơn vị. Suy ra đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + 3$ có điểm cực đại là $(0; 0)$ .

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!