Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Câu 1: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = AC$ và $\widehat{SAB} = \widehat{SAC}$ . Góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là:

A.
$30^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$45^{0}$
D.
$60^{0}$

Ta có:

$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AS} = \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight).\overrightarrow{AS}$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AS} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AS}$

$= AC.AS.\cos\widehat{SAC} -AB.AS.\cos\widehat{SAB} = 0$ (vì $AB = AC$ và $\widehat{SAB} = \widehat{SAC}$ ).

Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng $90^{0}$ .

Câu 2: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.
Ba vectơ đồng phẳng thì có giá song song với nhau.
B.
Ba vectơ đồng phẳng thì có giá nằm trong một mặt phẳng.
C.
Nếu ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
D.
Nếu giá của ba vectơ đôi một vuông góc thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Câu 3: Nhận biết

Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khi đó $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'}$ bằng:

A.
$\overrightarrow{CA'}$ .
B.
$\overrightarrow{CB'}$ .
C.
$\overrightarrow{CD'}$ .
D.
$\overrightarrow{CA}$ .

Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}$ .

Câu 4: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A( - 1;2; - 3),B(1;0;2),C(x;y; - 2)$ thẳng hàng. Khi đó giá trị của biểu thức $x +y$ là:

A.
$1$
B.
$17$
C.
$- \frac{11}{5}$
D.
$\frac{11}{5}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (2; - 2;5) \\\overrightarrow{AC} = (x + 1;y - 2;1) \\\end{matrix} ight.$ . Vì A; B; C thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \dfrac{x + 1}{2} =\dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{3}{5} \\y = \dfrac{8}{5} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y = 1$

Câu 5: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCCD.A'B'C'D'$ . Biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Tọa độ điểm $B'$ là:

A.
$B'(8;4;10)$
B.
$B'(6;12;0)$
C.
$B'(10;8;6)$
D.
$B'(13;0;17)$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)$

Câu 6: Nhận biết

Trong không gian cho hai đường thẳng $a;b$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a;b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\alpha = \left| \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
B.
$\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
C.
Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \sin\alpha$
D.
Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

Khẳng định đúng: “Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$ ”.

Câu 7: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ có điểm $A(1; - 3;1),B(3;0; - 2)$ . Tính độ dài $AB$ ?

A.
$AB = 26$
B.
$AB = 22$
C.
$AB = \sqrt{26}$
D.
$AB = \sqrt{22}$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3 - 1;0 + 3; - 2 - 1) = (2;3; - 3)$

Suy ra $AB = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + ( - 3)^{2}} = \sqrt{22}$

Vậy đáp án cần tìm là $AB = \sqrt{22}$ .

Câu 8: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?

A.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
B.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
C.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
D.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$

Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$

Câu 9: Nhận biết

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , điểm nào dưới đây thuộc trục $Oy$ ?

A.
$H(2;0;0)$
B.
$K(0;3;2)$
C.
$U(2;0;3)$
D.
$T(0; - 3;0)$

Điểm $A(x;y;z) \in Oy \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra trong bốn điểm đã cho điểm $T(0; - 3;0) \in Oy$ .

Câu 10: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 11: Thông hiểu

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$ . $E$ là điểm trên đoạn $CD$ sao cho $ED = 2CE$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Có 6 vectơ (khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $60^{\circ}$ . Sai||Đúng

c) Nếu $\overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD}$ thì $m + n + p = \frac{2}{3}$ . Sai||Đúng

d) Tích vô hướng $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} = \frac{a^{2}}{6}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$ . $E$ là điểm trên đoạn $CD$ sao cho $ED = 2CE$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Có 6 vectơ (khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $60^{\circ}$ . Sai||Đúng

c) Nếu $\overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD}$ thì $m + n + p = \frac{2}{3}$ . Sai||Đúng

d) Tích vô hướng $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} = \frac{a^{2}}{6}$ . Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Sai: Các vectơ (khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CA},$ $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}$ .

Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu.

b) Sai: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ} - (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ} - ABC = 120^{\circ}$

c) Sai: $\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ $= \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}) =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ .

Do đó $m = 0,n = \frac{2}{3},p = \frac{1}{3}$ suy ra $m + n + p = 1$ .

d) Đúng: Ta có:

$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE}) - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB}$

$= \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$

Suy ra

$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{AD}.\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$ $=\frac{2}{3}.\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}.{\overrightarrow{AD}}^{2} -\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$

$= \frac{2}{3}.a.a.\cos 60^{\circ} +\frac{1}{3}a^{2} - a.a.\cos60^{\circ} = \frac{a^{2}}{6}.$

Câu 12: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A.
$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)$
B.
$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( - 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
C.
$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
D.
$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight)$

Hình vẽ minh họa

Vì M là trung điểm của BC nên suy ra $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Ta có: $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

$= \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)$

Câu 13: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vecto $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ cùng có độ dài bằng $2$ . Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng $120^{0}$ , giá trị của biểu thức $P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2}$ là

A.
$28$
B.
$- 25$
C.
$18$
D.
$- 12$

Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 2.2.cos120^{0} = 2.2.\left( - \frac{1}{2} ight) = - 2$

Do đó:

$P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{.a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2}$

$= 4 - 4.( - 2) + 4.4 = 28$ .

Câu 14: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , điểm đối xứng của điểm $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ có tọa độ là

A.
$(1; - 2; - 3)$ .
B.
$(1;0;0)$ .
C.
$(0;2;3)$ .
D.
$( - 1; - 2; - 3)$ .

Gọi $M'$ là điểm đối xứng của $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ .

Hình chiếu vuông góc của $M(1;2;3)$ lên trục $Ox$ là $H(1;0;0)$

Khi đó $H(1;0;0)$ là trung điểm của $M'M$ . Do đó tọa độ của $M'$ là $(1; - 2; - 3)$

Câu 15: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 1;3)$ , $B(0;2;0)$ và $C(5; - 2;1)$ . Điểm $D(a;b;c)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Tính $S = a + b + c$ ?

Đáp án: 3

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 1;3)$ , $B(0;2;0)$ và $C(5; - 2;1)$ . Điểm $D(a;b;c)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Tính $S = a + b + c$ ?

Đáp án: 3

Gọi $D = (x;y;z)$ $\Rightarrow \overrightarrow{DC} = (5 - x; - 2 - y;1 - z)$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1;3; - 3)$

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - x = 1 \\ - 2 - y = 3 \\ 1 - z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow D(4; - 5;4)$ .

Vậy $S = a + b + c = 3$ .

Câu 16: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ ?

A.
$A'(4;6; - 5)$
B.
$A'(2;0;2)$
C.
$A'(3;5; - 6)$
D.
$A'(3;4; - 6)$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k}$ hay $\overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)$

Suy ra $A'(3;5; - 6)$

Câu 17: Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Tính giá trị biểu thức $U = a - b + c$ ?

A.
$U = 1$
B.
$U = 3$
C.
$U = 2$
D.
$U = 0$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.$

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

$\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}$ . Do đó $D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}$

$\overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0$

Câu 18: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 3;5;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?

A.
$D( - 2;8; - 3)$
B.
$D( - 4;8; - 5)$
C.
$D( - 2;2;5)$
D.
$D( - 4;8; - 3)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 1 = - 3 - x \\ - 1 - 2 = 5 - y \\ 3 - ( - 1) = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4;8; - 3)$ .

Câu 19: Thông hiểu

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Số đo giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng:

A.
$45^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$30^{0}$
D.
$60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} ight) = \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$

Suu ra $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng $AB;CD$ bằng $90^{0}$ .

Câu 20: Vận dụng cao

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Đáp án là:

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Gọi hai lực tạo với nhau một góc $80^{\circ}$ là $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = 50$ N.

Lực còn lại là $\overrightarrow{F_{3}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{3}} ight| = 60$ N.

Gọi $\overrightarrow{F}$ là hợp lực của ba lực trên ta có

$\left| \overrightarrow{F} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}$

$= \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} ight)$

$+ \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}} ight)brack$

$= 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack 50.50.cos80^{0}$ $+ 50.60.cos60^{0} + 60.50.cos60^{0}brack \approx 15468$ .

$\Rightarrow |F| \approx 124$ N

Câu 21: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ trọng tâm $G$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$
B.
$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$
C.
$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight)$
D.
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

Hình vẽ minh họa

Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên suy ra:

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} ight) + \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC} ight) + \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AD} ight)$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$

Suy ra mệnh đề sai là $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$ .

Câu 22: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ ?

A.
$C'(10;4;4)$
B.
$C'( - 13;4;4)$
C.
$C'(13;4;4)$
D.
$C'(7;4;4)$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k}$ mà $A( - 3;0;0)$

$\Rightarrow C'(7;4;4)$

Suy ra $C'(7;4;4)$

Câu 23: Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;3);\overrightarrow{b} = (0;2; - 1);\overrightarrow{c} = (3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}$ ?

A.
$\overrightarrow{u} = (10; - 2;13)$
B.
$\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)$
C.
$\overrightarrow{u} = ( - 2; - 2;7)$
D.
$\overrightarrow{u} = ( - 2;2;7)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 2\overrightarrow{a} = (4; - 6;6) \\ 3\overrightarrow{b} = (0;6; - 3) \\ - 2\overrightarrow{c} = ( - 6;2; - 10) \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = ( - 2;2; - 7)$

Vậy $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)$

Câu 24: Nhận biết

Tích vô hướng của 2 vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ trong không gian được tính bằng:

A.
$\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
B.
$\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.sin\left( \overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b} ight)$ .
C.
$\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b} ight)$ .
D.
$\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.\left( \overrightarrow{a}\ ,\ \ \overrightarrow{b} ight)$ .

Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .

Câu 25: Vận dụng

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng $Q(1400;800;16)$ . Xác định tọa độ vị trí điểm $N$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng $Q(1400;800;16)$ . Xác định tọa độ vị trí điểm $N$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

Gọi $N(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MQ} = (400;200;2)$ .

$\overrightarrow{NQ} = (1400 - x;800 - y;16 - z)$ .

Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M$ đến $Q$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N$ đến $Q$ nên $MQ = 4NQ$ .

Suy ra: $\overrightarrow{MQ} = 4\overrightarrow{NQ}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 400 = 4(1400 - x) \\ 200 = 4(800 - y) \\ 2 = 4(16 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1300 \\ y = 750 \\ z = 15,5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow N(1300;750;15,5)$

Câu 26: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ ?

A.
$(2;2;0)$
B.
$(3; - 1;3)$
C.
$(3; - 1;2)$
D.
$(0;0;2)$

Do điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên điểm đó có tọa độ dạng $(x;y;0)$

Suy ra điểm $(2;2;0)$ là đáp án cần tìm.

Câu 27: Vận dụng

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

a) Sai

Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5)$ .

b) Đúng

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là $(2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7)$ .

Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

$\sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}$

$= \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)$

c) Sai

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

$\sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)$

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

$\sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)$

Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

d) Đúng

Vị trí của chiếc flycam là

$\left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6)$ .

Khoảng cách bay của flycam là:

$\sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)$

Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ là

$\sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)$

Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ .

Câu 28: Thông hiểu

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $\overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{B'C}$ theo các vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ ?

A.
$\overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}$
B.
$\overrightarrow{B'C} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}$
C.
$\overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c}$
D.
$\overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{a} +\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Câu 29: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0;1; - 2),B(3; - 1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}$ ?

A.
$M(9; - 5;7)$
B.
$M(9;5;7)$
C.
$M( - 9;5; - 7)$
D.
$M(9; - 5; - 5)$

Gọi tọa độ độ điểm $M(x;y;z)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x;y - 1;z + 2) \\ \overrightarrow{AB} = (3; - 2;3) \\ \end{matrix} ight.$

Lại có: $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 9 \\ y - 1 = - 6 \\ z + 2 = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 9 \\ y = - 5 \\ z = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(9; - 5;7)$

Vậy đáp án cần tìm là: $M(9; - 5;7)$ .

Câu 30: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a}(2;m - 1;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;3; - 2n)$ . Xác định giá trị của $m;n$ để hai vectơ đã cho có cùng hướng?

A.
$m = 7;n = - \frac{3}{4}$
B.
$m = 4;n = - 3$
C.
$m = 1;n = 0$
D.
$m = 7;n = - \frac{4}{3}$

Ta có: Hai vectơ $\overrightarrow{a}(2;m - 1;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;3; - 2n)$ cùng hướng nên

$\overrightarrow{a} =k.\overrightarrow{b};(k > 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m - 1 = 3k \\3 = k( - 2n) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m = 7 \ = - \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $m = 7;n = - \frac{3}{4}$ là đáp án cần tìm.

Câu 31: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;1;2)$ , $N(4; 2; 1)$ , tọa độ điểm $P$ thuộc trục $Oz$ sao cho $M;N; P$ thẳng hàng là

A.
$P(0;0;3)$ .
B.
$P(0;0; - 3)$ .
C.
$P(3;0;0)$ .
D.
$P(0;3;0)$ .

Vì điểm $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P$ có tọa độ $P(0;0;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN}(2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)$

$M;\ N;\ P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3$

Vậy điểm $P(0;0;3)$ .

Câu 32: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Giả sử $\overrightarrow{u} = (x,y,z)$ .

Ta có $\overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)$

$cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

$= \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2}$

$= \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1$

Vậy $T = 1$

Câu 33: Thông hiểu

ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm $I(3;4;5)$ là tâm của nguồn phát âm với bán kính $10\ m$ . Để kiểm tra một điểm ở vị trí $\ M(7;10;17)$ có nhận được cường độ âm phát ra tại $I$ hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ . Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ là bao nhiêu mét?

Đáp án: 14 (m)

Đáp án là:

ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm $I(3;4;5)$ là tâm của nguồn phát âm với bán kính $10\ m$ . Để kiểm tra một điểm ở vị trí $\ M(7;10;17)$ có nhận được cường độ âm phát ra tại $I$ hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ . Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ là bao nhiêu mét?

Đáp án: 14 (m)

Ta có

$IM = \sqrt{(7 - 3)^{2} + (10 - 4)^{2} + (17 - 5)^{2}}$

$= \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 12^{2}} = \sqrt{196} = 14$ (m).

Đáp số 14(m).

Câu 34: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;0)$ và $B(0;1;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:

A.
$(0;1;0)$
B.
$(1;2;2)$
C.
$(1;0; - 2)$
D.
$( - 1;0;2)$

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (0 - 1;1 - 1;2 - 0) = ( - 1;0; - 2)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .

Câu 35: Vận dụng

Trong không gian cho tam giác $ABC$ . Tìm $M$ sao cho giá trị của biểu thức $P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất?

A.
$M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .
B.
$M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .
C.
$M$ là trực tâm tam giác $ABC$ .
D.
$M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra G cố định và $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

$P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$P = \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight)^{2}$

$P = 3{\overrightarrow{MG}}^{2} + 2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

$P = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2} \geq GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $M \equiv G$

Vậy $P_{\min} = GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$ với $M \equiv G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Câu 36: Nhận biết

Cho hai đường thẳng $a$ và $a'$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u'}$ . Nếu $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $a'$ thì:

A.
$\varphi = \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
B.
$\varphi = \pi - \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
C.
$\cos\varphi = \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
D.
$\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$

Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$ .

Câu 37: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng: $\left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{MR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\overrightarrow{SN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{MR} =\overrightarrow{SN}$ .

b) Đúng: Vi $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}$

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}$

Vì $G$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$

Do đó: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$

c) Sai: $\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}$

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{IG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 4\overrightarrow{IG}$ .

$\Rightarrow |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| = |4\overrightarrow{IG}| = 4IG$ .

Do đó: $|\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}|$ nhỏ nhất khi $IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G$

Câu 38: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;0;3),B(0;0; - 1),C(1;0; - 1),D(0;1; - 1)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
$AB\bot BD$
B.
$AB\bot BC$
C.
$AB\bot AC$
D.
$AB\bot CD$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0;0; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 16 eq 0$ suy ra $AB$ và $AC$ không vuông góc với nhau.

Vậy mệnh đề sai là: “ $AB\bot AC$ ”.

Câu 39: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0),A'(0;0;2a)$ với $a eq 0$ . Độ dài đoạn thẳng $AC'$ là:

A.
$|a|$
B.
$|2a|$
C.
$3|a|$
D.
$\frac{3}{2}|a|$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (a;0;0) \\ \overrightarrow{AD} = (0;2a;0) \\ \overrightarrow{AA'} = (0;0;2a) \\ \end{matrix} ight.$