Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Câu 1: Vận dụng cao

Tổng S = sin(x) + sin(2x) + … + sin(nx) (với x ≠ kπ ) có công thức thu gọn là?

A.
$S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
B.
$S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n- 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$
C.
$S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2cos\frac{x}{2}}$
D.
$S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n- 1}{2}x}{2cos\frac{x}{2}}$

Ta có $2sin\frac{x}{2} \cdot S = 2sinx\cdot sin\frac{x}{2} + 2sin2x \cdot sin\frac{x}{2} + .. + 2sinnx \cdotsin\frac{x}{2}$

$= \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{3x}{2} +\cos\frac{3x}{2} - \cos{x\frac{5x}{2}} + \ldots + \cos{x\frac{2n -1}{2}x} - \cos{\frac{2n + 1}{2}x}$

$= cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n +1}{2}x$

Vậy $S = \frac{cos\frac{x}{2} - cos\frac{2n+ 1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$

Câu 2: Thông hiểu

Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6; x và y. Tìm y, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6

A.
$y=216$
B.
$y=\frac{216}{5}$
C.
$y=\frac{1296}{5}$
D.
$y=12$

Ta có x = 6(x – 6) => x = 36/5

Từ đó suy ra y = 6x = 216/5

Câu 3: Thông hiểu

Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $1;5;16;64$ . Gọi $S_{n}$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$S_{n} = 4^{n - 1}$
B.
$S_{n} = \frac{n\left( 1 + 4^{n - 1} ight)}{2}$
C.
$S_{n} = \frac{4^{n} - 1}{3}$
D.
$S_{n} = \frac{4.\left( 4^{n} - 1 ight)}{3}$

Cấp số nhân đã cho có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ q = 4 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 1.\frac{1 - 4^{n}}{1 - 4} = \frac{4^{n} - 1}{3}$

Câu 4: Nhận biết

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 5$ và $d = 3.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$u_{15} = 34.$
B.
$u_{15} = 45.$
C.
$u_{13} = 31.$
D.
$u_{10} = 35.$

Ta có

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 5 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{CTTQ}{ightarrow}u_{13} = u_{1} + (13 - 1)d = - 5 + 3(13 - 1) = 31$

Câu 5: Thông hiểu

Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là $2x + 1$ và $4x^{2} - 1$ . Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:

A.
$2x - 1$
B.
$2x + 1$
C.
$8x^{3} - 4x^{2} - 2x + 1$
D.
$8x^{3} + 4x^{2} - 2x - 1$

Công bội của cấp số nhân là: $a = \frac{4x^{2} - 1}{2x + 1} = 2x - 1$

Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là:

$\left( 4x^{2} - 1 ight)(2x - 1) = 8x^{3} - 4x^{2} - 2x + 1$

Câu 6: Nhận biết

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ biết $u_{n} = 3 - 5n$ . Tìm công sai của cấp số cộng?

A.
$d = 3$
B.
$d = - 5$
C.
$d = - 3$
D.
$d = 5$

Theo giả thiết ta có:

$u_{n + 1} = - 2 - 5n$

$\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = - 5;\forall n \geq 1$

Vậy $d = - 5$

Câu 7: Thông hiểu

Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành $10$ hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới $1$ khúc gỗ và hàng trên cùng có $1$ khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

Đáp án: 55

Đáp án là:

Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành $10$ hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới $1$ khúc gỗ và hàng trên cùng có $1$ khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?

Đáp án: 55

Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới $1$ khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có: $u_{1} = 1;d = 1;n = 10$ .

Khi đó, tổng số khúc gỗ là:

$S_{10} = \frac{n\left( 2u_{1} + (n - 1)d ight)}{2}$

$= \frac{10\left( 2.1 + (10 - 1)1 ight)}{2} = 55$ (khúc gỗ).

Câu 8: Nhận biết

Trong các dãy số $\left( u_{n} ight)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ , dãy nào là cấp số nhân?

A.
$u_{n} = \frac{1}{3^{n - 2}}$
B.
$u_{n} = \frac{1}{3^{n}} - 1$
C.
$u_{n} = n + \frac{1}{3}$
D.
$u_{n} = n^{2} - \frac{1}{3}$

Dãy $u_{n} = \frac{1}{3^{n - 2}} = 9.\left( \frac{1}{3} ight)^{n}$ là cấp số nhân có $\left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

Câu 9: Thông hiểu

Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng $S = 1 - 2 + 3 - 4+ ...- 2n + (2n+1)$

A.
1
B.
0
C.
n
D.
n + 1

Ta có:

Với $n=0=>S=1$

Với $n = 1 \Rightarrow S = 1 - 2 + 3 = 2$

Với $n = 2$ $\Rightarrow S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 3$

Dự đoán $S = n + 1\left( * ight)$ ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng phương pháo quy nạp.

Với $n = 0$ đương nhiên (*) đúng.

Giả sử (*) đúng với $n=k$ tức là:

$\begin{matrix} {S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} ight) \hfill \\ = k + 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$

Ta có:

$\begin{matrix} {S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} ight) + \left[ {2\left( {k + 1} ight) + 1} ight] \hfill \\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4... - 2k + 2k + 1} ight) - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = {S_k} + - \left( {2k + 2} ight) + \left( {2k + 3} ight) \hfill \\ = k + 1 + 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n tức là $S=n+1$

Câu 10: Nhận biết

Cho một cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 1;q = 2019$ . Tính $u_{2019}$ ?

A.
$u_{2019} = 2018^{2019}$
B.
$u_{2019} = 2019^{2018}$
C.
$u_{2019} = \frac{1}{2019^{2018}}$
D.
$u_{2019} = 2019^{2019}$

Ta có:

$u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} \Leftrightarrow u_{2019} = 1.2019^{2018} = 2019^{2018}$

Câu 11: Vận dụng

Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?

A.
$78$
B.
$156$
C.
$300$
D.
$48$

Kể từ lúc 1 (giờ) đến 24 (giời) số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với $u_{1} = 1$ , công sai $d = 1$ .

=> Số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là:

$\Rightarrow S = S_{24} = \frac{24}{2}.\left( u_{1} + u_{24} ight)$

$\Rightarrow S_{24} = 12.(1 + 24) = 300$

Câu 12: Vận dụng cao

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao $81m$ . Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng

Đáp án 405

Đáp án là:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao $81m$ . Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng

Đáp án 405

Gọi $r_{i}$ là khoảng cách lần rơi thứ $i$

Ta có $r_{1} = 81$ , $r_{2} = \frac{2}{3}.81$ ,…, $r_{n} = \left( \frac{2}{3} ight)^{n - 1}.81$ ,…

Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ $n$ bằng $81.\frac{1 - \left( \frac{2}{3} ight)^{n}}{1 - \frac{2}{3}}$ .

Gọi $t_{i}$ là khoảng cách lần nảy thứ $i$

Ta có $t_{1} = \frac{2}{3}.81$ , $t_{2} = \left( \frac{2}{3} ight).\frac{2}{3}81$ ,…, $t_{n} = \left( \frac{2}{3} ight)^{n - 1}\frac{2}{3}.81$ ,…

Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến đến lần nảy thứ $n$ bằng $\dfrac{2}{3}.81.\dfrac{1 - \left( \dfrac{2}{3}ight)^{n - 1}}{1 - \dfrac{2}{3}}$ .

Vậy tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng $S = \lim\left( 81.\frac{1 - \left( \frac{2}{3} ight)^{n}}{1 - \frac{2}{3}} + \frac{2}{3}.81.\frac{1 - \left( \frac{2}{3} ight)^{n - 1}}{1 - \frac{2}{3}} ight) = 405$ .

Câu 13: Nhận biết

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = - 2;q = - 5$ . Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

A.
$- 2;10;50; - 250$
B.
$- 2;10; - 50;250$
C.
$- 2; - 10; - 50; - 250$
D.
$- 2;10;50;250$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ q = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{2} = u_{1}q = 10 \\ u_{3} = u_{1}q^{2} = - 50 \\ u_{4} = u_{1}q^{3} = 250 \\ \end{matrix} ight.$

Câu 14: Thông hiểu

Cho cấp số cộng ${u_1} = - 3;d = 4$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. ${u_5} = 15$
B. ${u_5} = 8$
C. ${u_5} = 5$
D. ${u_5} = 2$

Ta có: ${u_3} = {u_1} + 2d = - 3 + 2.4 = 5$

Câu 15: Vận dụng

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n +n^{2}}}$ , ta thu được kết quả?

A.
Dãy số tăng, bị chặn trên.
B.
Dãy số tăng, bị chặn dưới.
C.
Dãy số giảm, bị chặn.

Ta có u_n > 0, ∀n ≥ 1

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\frac{\sqrt{n^{2} + n + 1}}{\sqrt{(n + 1)^{2} + (n + 1) +1}}$

$= \sqrt{\frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 3n+ 3}} < 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} <u_{n},\forall n \geq 1$

⇒ dãy (u_n) là dãy số giảm.

Mặt khác 0 < u_n < 1⇒ dãy (u_n) là dãy bị chặn.

Câu 16: Thông hiểu

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $d = - 2;S_{8} = 72$ . Tìm số hạng đầu tiên $u_{1}$ .

A.
$u_{1} = 16$
B.
$u_{1} = - 16$
C.
$u_{1} = \frac{1}{16}$
D.
$u_{1} = - \frac{1}{16}$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}d = - 2 \\S_{8} = 72 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}d = - 2 \\8u_{1} + \dfrac{8.7.d}{2} = 72 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow 8u_{1} + 28.( - 2) = 72$

$\Rightarrow u_{1} = 16$

Câu 17: Nhận biết

Cho dãy số (u_n) có u_n = − n² + n + 1. Số − 19 là số hạng thứ mấy của dãy?

A.
5
B.
7
C.
6
D.
4

Giả sử u_n = − 19(n∈ℕ^*) Suy ra $- n^{2} + n + 1 = - 19 \Leftrightarrow - n^{2} + n + 20 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 5 \\ n = - 4 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow n = 5 ight.$ (do n∈ℕ^*).

Vậy số − 19 là số hạng thứ 5 của dãy.

Câu 18: Thông hiểu

Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ biết $u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1}$ . Dãy số $\left( u_{n} ight)$ bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

A.
$1$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{5}$
D.
$\frac{1}{2}$

Ta có: $u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1} = 1 - \frac{2}{3n + 1} < 1$

Mặt khác $u_{2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > 0$

=> Dãy số $\left( u_{n} ight)$ bị chặn trên bởi số $1$ .

Câu 19: Nhận biết

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ với công bội $q eq 1$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ .
B.
$S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n - 1} ight)}{1 - q}$ .
C.
$S_{n} = u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)$ .
D.
$S_{n} = \frac{u_{1}(1 - q)}{1 - q^{n}}$ .

Theo công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của CSN ta được $S_{n} = \frac{u_{1}\left( 1 - q^{n} ight)}{1 - q}$ .

Câu 20: Thông hiểu

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ . Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

A.
$\frac{u_{10} + u_{20}}{2} = u_{5} + u_{10}$
B.
$u_{90} + u_{210} = 2u_{150}$
C.
$u_{10}.u_{30} = u_{20}$
D.
$\frac{u_{10}.u_{30}}{2} = u_{20}$

Xét đáp án $\dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} =u_{5} + u_{10}$

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} = \dfrac{u_{1} + 9d + u_{1} + 29d}{2} \\u_{5} + u_{10} = u_{1} + 4d + u_{1} + 9d \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{10} + u_{20}}{2} = u_{1} + 19d \\u_{5} + u_{10} = 2u_{1} + 13d \\\end{matrix} ight.$

Xét đáp án $u_{90} + u_{210} = 2u_{150}$

$\left\{ \begin{matrix}u_{90} + u_{210} = 2u_{1} + 298d \\2u_{150} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{90} + u_{210} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\2u_{150} = 2\left( u_{1} + 149d ight) \\\end{matrix} ight.$

Vậy hệ thức đúng là $u_{90} + u_{210} = 2u_{150}$

Câu 21: Nhận biết

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = 3n - 7$ . Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng trên.

A.
$u_{1} = - 4;d = 3$ .
B.
$u_{1} = 4;d = 3.$
C.
$u_{1} = - 4;d = - 3.$
D.
$u_{1} = 4;d = - 3.$

Ta có:

$u_{n} = 3n - 7 \Rightarrow u_{1} = 3.1 - 7 = - 4$

$u_{n} - u_{n - 1} = (3n - 7) - (3n - 3 - 7) = 3 \Rightarrow d = 3$

Câu 22: Vận dụng

Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và công sai d = 2. Tổng ${S_{10}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}}$ bằng:

A. S₁₀ = 110
B. S₁₀ = 100
C. S₁₀ = 21
D. S₁₀ = 19

Ta có:

$\begin{matrix} {S_n} = \dfrac{{n\left( {{u_n} + {u_1}} ight)}}{2} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} ight)d} ight]}}{2} \hfill \\ \Rightarrow {S_{10}} = \dfrac{{10\left[ {2 + \left( {10 - 1} ight).2} ight]}}{2} = 100 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 23: Thông hiểu

Trong các dãy số $\left( u_{n} ight)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ sau, dã số nào là dãy số tăng?

A.
$u_{n} = \frac{2}{3^{n}}$
B.
$u_{n} = \frac{3}{n}$
C.
$u_{n} = 2^{n}$
D.
$u_{n} = ( - 2)^{n}$

Xét đáp án $u_{n} = 2^{n}$ ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = 2^{n + 1} - 2^{n} = 2^{n} > 0$

=> Dãy số $u_{n} = 2^{n}$ là dãy tăng.

Câu 24: Thông hiểu

Cho một cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 2;u_{8} = 16$ . Tìm $d;S_{10}$ ?

A.
$d = 2;S_{10} = 80$
B.
$d = 2;S_{10} = 120$
C.
$d = 2;S_{10} = 110$
D.
$d = 2;S_{10} = 100$

Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{8} = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1} + 7d = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S_{10} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + 9d ightbrack.n}{2} = 110$

Câu 25: Thông hiểu

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $\left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.$ . Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:

A.
$u_{n} = 5 - 2n$
B.
$u_{n} = 2 + n$
C.
$u_{n} = 3n + 2$
D.
$u_{n} = - 3n + 1$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) - \left( u_{1} + 5d ight) = 7 \\ \left( u_{1} + 3d ight) + \left( u_{1} + 7d ight) = - 14 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} - 2d = 7 \\ 2u_{1} + 10d = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow u_{n} = 3 + (n - 1)( - 2) = 5 - 2n$

Câu 26: Thông hiểu

Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

A. 160
B. 81
C. 64
D. 56

Ta có cấp số nhân (u_n) nên khi đó:

$\begin{matrix}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_m} = 16} \\ {{u_{m + 1}} = 36} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \dfrac{{{u_{m + 1}}}}{{{u_m}}} = \dfrac{{36}}{{16}} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow q = \dfrac{9}{4} \hfill \\ \Rightarrow {u_{m + 2}} = {u_{m + 1}}.q = 36.\dfrac{9}{4} = 81 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 27: Nhận biết

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu u_n = 5.2^3n − 2 + 3^3n − 1

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n = 1, ta có u₁ = 5.2¹ + 3² = 19 ⇒ u₁⋮19

Bước 2: Giả sử u_k = 5.2^3k − 2 + 3^3k + 1 chia hết cho 19 với k ≥ 1.

Khi đó ta có u_k + 1 = 5.2^3k + 1 + 3^3k + 2 = 8(5.2^3k − 2+3^3k − 1) + 19.3^3k − 1

Bước 3: Vì 5.2^3k − 2 + 3^3k − 1 và 19.3^3k − 1 chia hết cho 19 nên u_k + 1 chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ^*

Vậy u_n chia hết cho 19, ∀n ∈ ℕ^*

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

A.
Sai từ bước 1
B.
Sai từ bước 3
C.
Sai từ bước 2
D.
Lập luận hoàn toàn đúng

Lập luận hoàn toàn đúng!

Câu 28: Nhận biết

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_{n}=\frac{n^{2}}{3^{n}}$ với $\forall n\geq 1$ . Khi đó số hạng $u_{2n}$ của dãy $(u_{n})$ là

A.
$\frac{2n^{2}}{3^{n}}$
B.
$\frac{4n^{2}}{6^{n}}$
C.
$\frac{4n^{2}}{9^{n}}$
D.
$\frac{2n^{2}}{6^{n}}$

Ta có:

$\begin{matrix} {u_n} = \dfrac{{{n^2}}}{{{3^n}}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n}} = \dfrac{{{{\left( {2n} ight)}^2}}}{{{3^{2n}}}} = \dfrac{{4{n^2}}}{{{9^n}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 29: Thông hiểu

Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = \cos n + \sin n$ . Dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

A.
0
B.
1
C.
$\sqrt{2}$
D.
Không bị chặn trên.

Ta có:

$\begin{matrix} {u_n} = \cos n + \sin n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\sin \dfrac{\pi }{4}\sin n + \cos \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Với mọi n ta có:

$\begin{matrix} - 1 \leqslant \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant 1 \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \leqslant {u_n} = \sqrt 2 \cos \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \leqslant \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên bởi $\sqrt{2}$

Câu 30: Thông hiểu

Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

A.
$1;1;1;1;1;1...$
B.
$1;\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};\frac{1}{16};...$
C.
$1;3;5;7;9;....$
D.
$1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};...$

Xét đáp án $1;1;1;1;1;1...$ dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.

Xét đáp án $1;\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};\frac{1}{16};...$ $\Rightarrow {u_1} > {u_2} < {u_3}$ (Loại)

Xét đáp án $1;3;5;7;9;....$ $\Rightarrow {u_n} < {u_{n + 1}};n \in {\mathbb{N}^*}$ (Chọn)

Xét đáp án $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};...$ $Rightarrow {u_1} > {u_2} > {u_3}.... > {u_n} > ...$ (Loại)

Câu 31: Thông hiểu

Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số $5;x;y;320$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
$\left\{ \begin{matrix} x = 25 \\ y = 125 \\ \end{matrix} ight.$
B.
$\left\{ \begin{matrix} x = 20 \\ y = 80 \\ \end{matrix} ight.$
C.
$\left\{ \begin{matrix} x = 15 \\ y = 45 \\ \end{matrix} ight.$
D.
$\left\{ \begin{matrix} x = 30 \\ y = 90 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

Các số hạng $5;x;y;320$ lập thành cấp số nhân

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 5 \\\begin{matrix}q = \dfrac{x}{5} \\y = u_{3} = u_{1}q^{2} = \dfrac{x^{2}}{5} \\320 = u_{4} = u_{1}q^{3} = \dfrac{x^{3}}{25} \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 20 \\y = 80 \\\end{matrix} ight.$

Câu 32: Vận dụng

Cho dãy số (a_n) được xác định bởi $\left\{ \begin{matrix} a_{1} = 1;a_{2} = 2 \\ a_{n + 2} - a_{n + 1} - a_{n} = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Phát biểu nào dưới đây về dãy số (a_n) là đúng?

A.
Dãy số (a_n) không tăng, không giảm.
B.
Dãy số (a_n) là một dãy giảm.
C.
Dãy số (a_n) là một dãy tăng.
D.
Dãy số (a_n) là một dãy không tăng.

Mỗi số hạng thứ ba trở đi luôn bằng tổng của hai số đứng ngay trước nó. Đồng thời số hạng đầu tiên và số hạng thứ hai của dãy là các số dương nên dễ thấy dãy số là một dãy tăng.

Câu 33: Thông hiểu

Cho một cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 5;q = \frac{1}{3}$ . Hỏi $\frac{5}{59049}$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?

A.
$9$
B.
$10$
C.
$11$
D.
$12$

Ta có: $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} \Leftrightarrow \frac{5}{59049} = 5.\left( \frac{1}{3} ight)^{n - 1} \Rightarrow n = 11$

Vậy số $\frac{5}{59049}$ là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.

Câu 34: Nhận biết

Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn $10$ theo thứ tự tăng dần?

A.
$0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
B.
$1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
C.
$2$ , $3$ , $5$ , $7$ .
D.
$1$ , $3$ , $5$ , $7$ .

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn $1$ và chỉ có hai ước số là $1$ và chính nó.

Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn $10$ là $2$ , $3$ , $5$ , $7$ .

Câu 35: Nhận biết

Biết bốn số $5;x;15;y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức $3x + 2y$ bằng

A.
$50$
B.
$70$
C.
$30$
D.
$62$

Ta có:

$x = \frac{5 + 15}{2} = 10 \Rightarrow y= 20$

$\Rightarrow 3x + 2y = 70$

Câu 36: Vận dụng cao

Tổng $S = {100^2} - {99^2} + {98^2} - {97^2} + ... + {2^2} - {1^2}$ là:

A. 5050
B. 5005
C. 2525
D. 2255

Ta có: $S = {100^2} - {99^2} + {98^2} - {97^2} + ... + {2^2} - {1^2} = 199 + 15 + ... + 3$

Xét cấp số cộng (u_n) có:

Số hạng đầu là u₁ = 199

Công sai d = u₂ – u₁ = 195 – 199 = -4

Ta có:

$\begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Leftrightarrow 3 = 199 - 4\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow n = 50 \hfill \\ \Rightarrow S = \dfrac{{n\left( {{u_1} + {u_{50}}} ight)}}{2} = \dfrac{{50\left( {199 + 3} ight)}}{2} = 5050 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 37: Nhận biết

Cho các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.

A.
x = 7
B.
x = 10
C.
x = 11
D.
x = 12

Ta có: d = 6 - 1 = 5

Các số -4; 1; 6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

=> x = 6 + 5 = 11

Vậy x = 11

Câu 38: Nhận biết

Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

A.
$128; - 64;32; - 16;8;...$
B.
$\sqrt{2};2;4;4\sqrt{2};...$
C.
$5;6;7;8;...$
D.
$15;5;1;\frac{1}{5};...$

Ta có:

Dãy số $\left( u_{n} ight)$ là cấp số nhân

$\Leftrightarrow u_{n} = q.u_{n - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{u_{3}}{u_{2}} = \frac{u_{4}}{u_{3}} = ... = q;\left( u_{n} eq 0 ight)$

Gọi $q$ là công bội.

Xét đáp án $128; - 64;32; - 16;8;...$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = - \frac{1}{2} = \frac{u_{3}}{u_{2}} = \frac{u_{4}}{u_{3}}$

Xét đáp án $\sqrt{2};2;4;4\sqrt{2};...$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} eq 2 = \frac{u_{3}}{u_{2}}$

Xét đáp án $5;6;7;8;...$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{6}{5} eq \frac{7}{6} = \frac{u_{3}}{u_{2}}$

Xét đáp án $15;5;1;\frac{1}{5};...$

$\Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{3} eq \frac{1}{5} = \frac{u_{3}}{u_{2}}$

Câu 39: Vận dụng

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống $150mg$ thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn $6\%$ lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là $9(mg)$ . Đúng||Sai

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $2$ là $159(mg)$ . Đúng||Sai

c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $4$ là $170(mg)$ . Sai||Đúng

d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là $159,57mg$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống $150mg$ thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn $6\%$ lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là $9(mg)$ . Đúng||Sai

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $2$ là $159(mg)$ . Đúng||Sai

c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ $4$ là $170(mg)$ . Sai||Đúng

d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là $159,57mg$ . Đúng||Sai

a) Ta có hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau ngày đầu còn $150 \times 6\%= 9(mg)$ , suy ra mệnh đề đúng.

b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $2$ là: $150 \times 6\% + 150 = 159(mg)$ suy ra mệnh đề đúng.

c) Gọi $u_{n}$ là lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $1$ là: $u_{1} = 150(mg)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $2$ là:

$u_{2} = u_{1} \times 6\% + 150= 150 \times 6\% + 150 = 150 \times (0,06 + 1)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $3$ là:

$u_{3} = u_{2}.6\% + 150 = 150\times (0,06 + 1) \times 0,06 + 150$

$= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1)$

Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ $4$ là:

$u_{4} = u_{3} \times 6\% + 150= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1) \times 0,06 + 150$

$= 150 \times (0,06^{3} + 0,06^{2} + 0,06 + 1) = 159,5724(mg)$

Suy ra mệnh đề sai.

d) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian 30 ngày. Khi đó lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng là:

$S = 150 \times \left( 1 + 0,06 + 0,06^{2} + \ldots + 0,06^{29} ight)$

$= 150 \times u_{1}\frac{1 - q^{30}}{1 - q} = 150 \times 1 \times \frac{1 - 0,06^{30}}{1 - 0,06}$

$= \frac{7500}{47} \approx 159,57mg$

Vậy lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng trong 30 ngày là $159,57mg$ , suy ra mệnh đề đúng.

Câu 40: Vận dụng

Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân(u_n) có ${u_1} = - 3;q = - 2$

A. ${S_{10}} = - 511$
B. ${S_{10}} = - 1025$
C. ${S_{10}} = 1025$
D. ${S_{10}} = 1023$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {q = - 2} \end{array}} ight. \Rightarrow {S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = - 3.\frac{{1 - {{\left( { - 2} ight)}^{10}}}}{{1 + 2}} = 1023$

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!