Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân giác gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

    Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 với n \geqslant 1 là cấp số cộng.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{\begin{matrix}u_{1} = 3 \\u_{n + 1} = \dfrac{u_{n}}{2} + 2 \\\end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Ta có:

    u_{2} = \frac{u_{1}}{2} + 2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}

    u_{3} = \frac{u_{3}}{2} + 2 = \frac{7}{4} + 2 = \frac{15}{4}

    u_{4} = \frac{u_{3}}{2} + 2 = \frac{15}{8} + 2 = \frac{31}{8}

    u_{5} = \frac{u_{4}}{2} + 2 = \frac{31}{16} + 2 = \frac{63}{16}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)với u_{n} = 3n - 7. Tìm số hạng đầu u_{1} và công sai d của cấp số cộng trên.

    Ta có:

    u_{n} = 3n - 7 \Rightarrow u_{1} = 3.1 - 7 = - 4

    u_{n} - u_{n - 1} = (3n - 7) - (3n - 3 - 7) = 3 \Rightarrow d = 3

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    a) Xét dãy số đã cho ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số \left( u_{n} ight) không tăng không giảm.

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}" đúng bằng chứng minh quy nạp.

    c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng u_{1} = - 2020

    Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

    u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)

    \Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n

    d) Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2n + 1,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng tổng quát un là?

    Ta có u1 = 1; u2 = u1 + 3; u3 = u2 + 5; u4 = u3 + 7; …; un = un − 1 + (2n−1)

    Cộng từng vế với vế của các đẳng thức trên và rút gọn ta được

    un = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n−1) = n2.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    a) Xét dãy số đã cho ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số \left( u_{n} ight) không tăng không giảm.

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}" đúng bằng chứng minh quy nạp.

    c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng u_{1} = - 2020

    Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

    u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)

    \Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n

    d) Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 = 5; công bội q = -2. Số hạng thứ sáu của (un) là:

    Ta có: {u_6} = {u_1}.{q^{6 - 1}} = 5.{\left( { - 2} ight)^5} = - 160

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 1}, biết u_{k} = \frac{2}{13}. Hỏi uk là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?

    Ta có:

    u_{k} = \frac{k - 1}{k^{2} + 1} \Rightarrow \frac{k - 1}{k^{2} + 1} = \frac{2}{13} \Rightarrow k = 5 (do  k∈ℕ*)

  • Câu 9: Thông hiểu

    Với n \in \mathbb{N}^{*}, cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi hệ thức truy hồi u_{1} = 2, u_{n + 1} = 2u_{n} + 3. Giá trị của số hạng thứ 4 bằng

    Ta có:

    u_{2} = 2u_{1} + 3 = 2.2 + 3 = 7,

    u_{3} = 2u_{2} + 3 = 2.7 + 3 = 17,

    u_{4} = 2u_{3} + 3 = 2.17 + 3 = 37.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1} :

     

    Ta có u_{n} = \frac{n - 3}{n + 1};u_{n + 1} = \frac{n - 2}{n + 2}. Khi đó:

    u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n - 2}{n + 2} - \frac{n - 3}{n + 1} = \frac{4}{(n + 1)(n + 1)} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{n}{2}:

     

    Ta có u_{n} = \frac{n}{2};u_{n + 1} = \frac{n + 1}{2}. Khi đó u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{2} - \frac{n}{2} = \frac{1}{2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{2}{n^{2}}:

     

    Ta có u_{n} = \frac{2}{n^{2}};u_{n + 1} = \frac{2}{(n + 1)^{2}} \Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} < \frac{n^{2}}{n^{2}} = 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số giảm.

     

    • Xét đáp án u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{3^{n}}:

     

    Ta có u_{1} = \frac{- 1}{3};u_{2} = \frac{1}{9};u_{3} = \frac{- 1}{27}

    Vậy (un) là dãy số không tăng, không giảm.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi u_{n} = \frac{n - 1}{n^{2} + 2n + 3}. Giá trị u_{21} là

    Ta có: u_{21} = \frac{21 - 1}{21^{2} + 2.21 + 3} = \frac{10}{243}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

    Khẳng định sai là: “Số hạng tổng quát của cấp số cộng \left( u_{n} ight) là u_{n} = u_{1} + nd với công sai d và số hạng đầu u_{1}.”

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1;5;16;64. Gọi S_{n} là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Cấp số nhân đã cho có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ q = 4 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 1.\frac{1 - 4^{n}}{1 - 4} = \frac{4^{n} - 1}{3}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{2} = - 8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1}.q = - 8 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\\begin{matrix}q = - 4 \\S_{5} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{5}}{1 + 4} = 410 \\S_{6} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{6}}{1 + 4} = - 1638 \\u_{5} = u_{1}.q^{4} = 512 \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn trên?

    Ta có:

    \left( v_{n} ight):v_{n} = - n^{2} + 2 \leq 2.

    Vậy đây là dãy số bị chặn trên.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

    Ta có cấp số nhân (un) nên khi đó:

    \begin{matrix}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_m} = 16} \\ {{u_{m + 1}} = 36} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \dfrac{{{u_{m + 1}}}}{{{u_m}}} = \dfrac{{36}}{{16}} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow q = \dfrac{9}{4} \hfill \\ \Rightarrow {u_{m + 2}} = {u_{m + 1}}.q = 36.\dfrac{9}{4} = 81 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có u_1 = -4; d = \frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 4} \\ {d = \dfrac{1}{2}} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Một quả bóng rơi từ độ cao 6m với phương vuông góc với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng nảy lên với độ cao bằng \dfrac{3}{4} độ cao của lần rơi trước. Tính quãng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.

    Ta có: Quãng đường bóng bay bằng tổng quãng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống

    Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng \dfrac{3}{4} lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là:

    {S_1} = 6.\frac{3}{4} + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^2} + ... + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^n} + ...

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có {u_1} = 6.\frac{3}{4} = \frac{9}{1},q = \frac{3}{4}

    => {S_1} = \dfrac{{\dfrac{9}{2}}}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 18

    Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên là:

    {S_2} = 6 + 6.\frac{3}{4} + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^2} + ... + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^n} + ...

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với {u_1} = 6;q = \frac{3}{4}

    => {S_2} = \dfrac{6}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 24

    Vậy tổng quãng đường bóng bay là 42m

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Tổng S = {100^2} - {99^2} + {98^2} - {97^2} + ... + {2^2} - {1^2} là: 

    Ta có: S = {100^2} - {99^2} + {98^2} - {97^2} + ... + {2^2} - {1^2} = 199 + 15 + ... + 3

    Xét cấp số cộng (un) có:

    Số hạng đầu là u1 = 199

    Công sai d = u2 – u1 = 195 – 199 = -4

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Leftrightarrow 3 = 199 - 4\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow n = 50 \hfill \\ \Rightarrow S = \dfrac{{n\left( {{u_1} + {u_{50}}} ight)}}{2} = \dfrac{{50\left( {199 + 3} ight)}}{2} = 5050 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = \frac{1}{4};d = - \frac{1}{4}. Gọi S_{5} là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{4} \\d = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

    Và S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5u_{1} + \frac{5.4.d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5.\frac{1}{4} + 10.\left( - \frac{1}{4} ight) = - \frac{5}{4}

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81. Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số nhân đã cho.

    Các số hạng lần lượt là 3;9;27;81 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{9}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1}= 3^{n}

  • Câu 22: Vận dụng

    Một bệnh nhân hàng ngày phải uống 150mg thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn 6\% lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là 9(mg). Đúng||Sai

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 2 là 159(mg). Đúng||Sai

    c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 4 là 170(mg). Sai||Đúng

    d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là 159,57mg. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một bệnh nhân hàng ngày phải uống 150mg thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu. Sau một ngày hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể vẫn còn 6\% lượng thuốc của ngày hôm trước. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu còn trong cơ thể sau ngày đầu tiên uống thuốc là 9(mg). Đúng||Sai

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 2 là 159(mg). Đúng||Sai

    c) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 4 là 170(mg). Sai||Đúng

    d) Ước tính lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian 30 ngày là 159,57mg. Đúng||Sai

    a) Ta có hàm lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu có trong cơ thể sau ngày đầu còn 150 \times 6\%= 9(mg), suy ra mệnh đề đúng.

    b) Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 2 là: 150 \times 6\% + 150 = 159(mg) suy ra mệnh đề đúng.

    c) Gọi u_{n} là lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống ở ngày thứ n

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 1 là: u_{1} = 150(mg)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 2 là:

    u_{2} = u_{1} \times 6\% + 150= 150 \times 6\% + 150 = 150 \times (0,06 + 1)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 3 là:

    u_{3} = u_{2}.6\% + 150 = 150\times (0,06 + 1) \times 0,06 + 150

    = 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1)

    Lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu sau khi uống ở ngày thứ 4 là:

    u_{4} = u_{3} \times 6\% + 150= 150 \times (0,06^{2} + 0,06 + 1) \times 0,06 + 150

    = 150 \times (0,06^{3} + 0,06^{2} + 0,06 + 1) = 159,5724(mg)

    Suy ra mệnh đề sai.

    d) Nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong thời gian 30 ngày. Khi đó lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng là:

    S = 150 \times \left( 1 + 0,06 + 0,06^{2} + \ldots + 0,06^{29} ight)

    = 150 \times u_{1}\frac{1 - q^{30}}{1 - q} = 150 \times 1 \times \frac{1 - 0,06^{30}}{1 - 0,06}

    = \frac{7500}{47} \approx 159,57mg

    Vậy lượng thuốc kháng sinh đặc trị bệnh bạch hầu trong cơ thể được ước lượng trong 30 ngày là 159,57mg, suy ra mệnh đề đúng.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1.

    Số hạng thứ ba của dãy số \left( u_{n} ight) là: u_{3} = \frac{5.3 + 2}{19.3 + 1} = \frac{17}{58}.

    Xét u_{n} = 9 - 2n ta có: u_{n + 1} - u_{n} = - 2 < 0,\forall n\mathbb{\in N} suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số giảm

    Lại có n\mathbb{\in N \Rightarrow}n \geq 0 \Rightarrow u_{n} = 9 - 2n \leq 9 suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số bị chặn trên.

    Suy ra phát biểu “Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới.” là phát biểu sai.

    Ta có: S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{1}{3^{n}} có số hạng đầu và công bội lần lượt là: u_{1} = \frac{1}{3};q = \frac{1}{3}

    \Rightarrow S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu u_{1} = 2 và công sai d = 3. Giá trị u_{2024} bằng

    Áp dụng công thức số hạng tổng quát

    u_{2024} = u_{1} + 2023d = 2 + 2023.3 = 6071.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng có u_{1} = 5, d = 2. Khi đó:

    a) u_{6} = 15. Đúng||Sai

    b) Số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng là u_{n} = 2n + 3. Đúng||Sai

    c) Tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng là S_{n} = n^{2} + 4n. Đúng||Sai

    d) Tổng S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20} = 310. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho cấp số cộng có u_{1} = 5, d = 2. Khi đó:

    a) u_{6} = 15. Đúng||Sai

    b) Số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng là u_{n} = 2n + 3. Đúng||Sai

    c) Tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng là S_{n} = n^{2} + 4n. Đúng||Sai

    d) Tổng S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20} = 310. Sai||Đúng

    a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng ta có:

    u_{6} = u_{1} + 5d = 5 + 5.2 = 15.

    b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát thứ n của cấp số cộng ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1).2 = 2n + 3.

    c) Áp dụng công thức tính tổng nsố hạng đầu tiên của cấp số cộng ta có:

    S_{n} = nu_{1} + \frac{(n - 1)n}{2}d = 5n + \frac{(n - 1)n}{2}.2 = n^{2} + 4n.

    d) Ta viết lại

    S = u_{10} + u_{11} + .. + u_{20}

    = \left( u_{1} + u_{2} + .. + u_{20} ight) - \left( u_{1} + u_{2} + .. + u_{9} ight)

    = S_{20} - S_{9} = 480 - 117 = 363.

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = 2u_{n - 1} + 3;(n \geq 2) \\ \end{matrix} ight.. Số hạng có ba chữ số lớn nhất của dãy là:

    Tìm số hạng tổng quát của dãy số

    Dự đoán u_{n} = 5.2^{n - 1} - 3;(n \geq 2)

    Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp

    Với n = 1 ta có: u_{2} = 5.2 - 3 = 7(tm)

    Giả sử u_{k} = 5.2^{k - 1} - 3, khi đó ta có:

    u_{k + 1} = 2u_{k} + 3

    = 2\left( 5.2^{k - 1} - 3 ight) + 3

    = 5.2^{k} - 3

    Vậy công thức tổng quát được chứng minh theo nguyên lí quy nạp.

    Ta có: u_{n} < 1000 \Rightarrow 2^{n - 1} < \frac{1003}{5} = 200,6

    Mà 2^{7} = 128;2^{8} = 256

    Nên ta chọn 2^{n - 1} = 2^{7} \Rightarrow n = 8

    Vậy u_{8} là số hạng cần tìm.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có số hạng đầu u_{1} = - 5và công sai d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = - 5 + (n - 1)3 \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho dãy số có các số hạng đầu là - 2;0;2;4;6;.... Số hạng tổng quát của dãu số này là đẳng thức nào dưới đây?

    Ta có: u_{1} = - 2 loại các đáp án u_{n} = n - 2 và u_{n} = - 2(n + 1). Ta kiểm tra u_{2} = 0

    Xét đáp án u_{n} = - 2n có u_{2} = - 4 eq 0

    Xét đáp án u_{n} = 2n - 4 có u_{2} = 2.2 - 4 = 0 là đáp án đúng.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu là u_{1} = 3;d = 5. Hỏi số hạng thứ tư là số nào dưới đây?

    Ta có: u_{4} = u_{1} + 3d = 3 + 3.5 = 18

    Vậy u_{4} = 18

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; … Tìm số hạng tổng quát un của cấp số nhân đã cho.

     Cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; …

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {q = \dfrac{9}{3} = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = {3.3^{n - 1}} = {3^n}

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight). Tìm số hạng tổng quát của dãy số?

    Ta có:

    u_{n + 1} - u_{n} = n,\forall n \in \mathbb{N}^{*} suy ra

    u_{2} - u_{1} = 1

    u_{3} - u_{2} = 2

    u_{4} - u_{3} = 3

    …

    u_{n + 1} - u_{n} = n

    Cộng các vễ theo đẳng thức trên ta được

    u_{n + 1} - u_{n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}

    \Leftrightarrow u_{n + 1} = 2020 + \frac{n(n + 1)}{2};\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)

  • Câu 32: Nhận biết

    Tìm b > 0 để các số \frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Các số \frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{b};\sqrt{2} theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow \left( \sqrt{b} ight)^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}

    \Rightarrow b = 1

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}}. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.

    S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}} = 3.\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack

    Mặt khác

    \Rightarrow S_{n} = u_{1}.\dfrac{1 -q^{n}}{1 - q} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3(1 - q) \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{5} = u_{1}.q^{4} = \frac{2}{3^{4}}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \sin n - \cos n. Dãy số (u_{n}) bị chặn dưới bởi số nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \sin n - \cos n \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\cos \dfrac{\pi }{4}\sin n - \sin \dfrac{\pi }{4}\cos n} ight) \hfill \\ = \sqrt 2 \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \hfill \\ \Rightarrow 1 \geqslant \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \geqslant - 1 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt 2 \geqslant \sqrt 2 \sin \left( {n - \dfrac{\pi }{4}} ight) \geqslant - \sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{2} + u_{8} + u_{9} + u_{15} = 100. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.

    Ta có:

    u_{2} + u_{8} + u_{9} + u_{15} = 100

    \Leftrightarrow 4u_{1} + 30d = 100

    \Leftrightarrow 2u_{1} + 15d = 50

    \Rightarrow S_{16} = \frac{16}{2}.\left( u_{1} + u_{16} ight) = 8.50 = 400

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{7} = 26 \\ {u_{2}}^{2} + {u_{6}}^{2} = 466 \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{7} = 26 \\ {u_{2}}^{2} + {u_{6}}^{2} = 466 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2u_{1} + 6d = 26 \\ \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 5d ight)^{2} = 466 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 13 - 3d \\ \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 5d ight)^{2} = 466 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó:

    \Rightarrow (13 - 2d)^{2} + (13 + 2d)^{2} = 466

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} d = 4 \Rightarrow u_{1} = 1 \\ d = - 4 \Rightarrow u_{1} = 25 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 3 và công bội q = 3. Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1} = 3^{n}.

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với \left\{\begin{matrix}u_{1} = 1 \\u_{n + 1} = \dfrac{u_{n} + 2}{u_{n} + 1};(n \geq 1) \\\end{matrix} ight.. Chọn đáp án đúng.

    Ta chứng minh 1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1 bằng phương pháp quy nạp.

    Với n = 1 ta có: 1 \leq u_{1} \leq \frac{3}{2}

    Giả sử 1 \leq u_{k} \leq \frac{3}{2};k \geq 1. Ta cần chứng minh 1 \leq u_{k +} \leq \frac{3}{2}.

    Thật vậy u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1}

    Vì u_{k} + 1 > 0 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} > 1

    Vì u_{k} + 1 \geq 2 \Rightarrow u_{k + 1} = 1 + \frac{1}{u_{k} + 1} \leq 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

    Vậy 1 \leq u_{n} \leq \frac{3}{2};n \geq 1 hay dãy \left( u_{n} ight) bị chặn trên bởi \frac{3}{2} và bị chặn dưới bởi 1.

  • Câu 39: Nhận biết

    Khẳng định nào dưới đây sai?

    Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d với công sai d và số hạng đầu u1

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = 2n - 1. Dãy số \left( u_{n} ight) là dãy số

    Ta có:

    u_{n + 1} - u_{n} = \left\lbrack 2(n + 1) - 1 ightbrack - (2n - 1)

    = 2n + 2 - 1 - 2n + 1 = 2 > 0

    Vậy dãy số \left( u_{n} ight) là dãy số tăng.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 4 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Toán 11 Chương 2 Chân trời sáng tạo
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập