Đề thi học kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức Đề 1

Câu 1: Thông hiểu

Cho tam giác $ABC$ cân ở $A$ , đường cao $AH$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
B.
$\overrightarrow{HC} = - \overrightarrow{HB}.$
C.
$\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|.$
D.
$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HC}.$

Tam giác $ABC$ cân ở $A$ , đường cao $AH$ . Do đó, $H$ là trung điểm $BC$ .

Ta có:

$AB = AC \Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|$

$H$ là trung điểm $BC \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HC} = - \overrightarrow{HB} \\ \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HC} \\ \end{matrix} ight.$ .

Chọn đáp án sai là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$

Câu 2: Thông hiểu

Trong hệ tọa độ $Oxy$ , cho bốn điểm $A(3;0),B(4; - 3),C(8; - 1),D( - 2;1)$ . Các điểm nào trong các điểm đã cho thẳng hàng với nhau?

A.
$A,C,D$
B.
$A,B,C$
C.
$A,B,D$
D.
$B,C,D$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AC} = (5; - 1) \\ \overrightarrow{AD} = ( - 5;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AD}$

Vậy ba điểm $A,C,D$ thẳng hàng.

Câu 3: Thông hiểu

Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng:

A.
$\left\{ x \in \mathbb{R|}x^{2} - 4x -2 = 0 ight\}.$
B.
$\left\{ x \in \mathbb{R|}x^{2} - 4x -9 = 0 ight\}.$
C.
$\left\{ x \in \mathbb{Q|}x^{2} - 4x + 2 = 0 ight\}.$
D.
$\left\{ x\mathbb{\in R}|x^{2} - 4x + 3 = 0 ight\}.$

Xét: $\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x \in}\mathbf{Q} \\ \mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{x +}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ \end{matrix} ight.\ \mathbf{\Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x \in}\mathbf{Q} \\ \mathbf{x =}\mathbf{2}\mathbf{\pm}\sqrt{\mathbf{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \mathbf{\Leftrightarrow}$ Không có $x$ thỏa mãn.

Câu 4: Thông hiểu

Cho $\overrightarrow{u} = (3; - 2),\ \overrightarrow{v}= (1;6).$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
$\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{a} = ( - 4;4)$ ngược hướng.
B.
$\overrightarrow{u},\\overrightarrow{v}$ cùng phương.
C.
$\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{b} = (6; - 24)$ cùng hướng.
D.
$2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v},\ \overrightarrow{v}$ cùng phương.

Ta có $\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} = (4;4)$ và $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = (2; -8).$

Xét tỉ số $\frac{4}{- 4} eq\frac{4}{4}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{a} = ( - 4;4)$ không cùng phương. Loại đáp án $\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{a} = ( - 4;4)$ ngược hướng.

Xét tỉ số $\frac{3}{1} eq \frac{-2}{6}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{u},\\overrightarrow{v}$ không cùng phương. Loại đáp án Hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2; - 1)\ và\\overrightarrow{v} = ( - 2; - 1)$ đối nhau.

Xét tỉ số $\frac{2}{6} = \frac{- 8}{- 24}= \frac{1}{3} > 0\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{b} = (6; - 24)$ cùng hướng.

Chọn đáp án $\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{v}}$ và $\overrightarrow{b} = (6; - 24)$ cùng hướng.

Câu 5: Nhận biết

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
Trong đo đạc và tính toán, ta thường chỉ nhận được số gần đúng.
B.
Trong đo đạc và tính toán, ta thường nhận được số đúng chính xác
C.
Trong đo đạc và tính toán, ta thường chỉ nhận được số sai hoàn toàn
D.
Trong đo đạc và tính toán, ta không thể nhận được số gần đúng

Trong đo đạc và tính toán, ta thường chỉ nhận được số gần đúng.

Câu 6: Vận dụng

Cho $A = \lbrack 1;4brack,B = (2;6),C = (1;2).$ Tìm $A \cap B \cap C.$

A.
$\lbrack 0;4brack.$
B.
$\lbrack 5; + \infty).$
C.
$( - \infty;1).$
D.
$\varnothing.$

Vậy $A \cap B \cap C = \varnothing$ .

Câu 7: Thông hiểu

Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, $\cos A = \frac{3}{5}$ . Đường cao $h_{a}$ của tam giác ABC là:

A.
$\frac{7\sqrt{2}}{2}.$
B.
$8.$
C.
$8\sqrt{3}\ .$
D.
$80\sqrt{3}\ .$

Ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A =$ $7^{2} + 5^{2} - 2.7.5.\frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt{2}.$

Mặt khác: $sin^{2}A + cos^{2}A = 1 \Rightarrow sin^{2}A = 1 - cos^{2}A$ $= 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}$ (Vì $\sin A > 0$ ).

Mà: $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}b.c.sinA = \frac{1}{2}a.h_{a}$ $\Rightarrow h_{a} = \frac{bc\sin A}{a} = \frac{7.5.\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$ .

Câu 8: Thông hiểu

Một cửa hàng bán ra một loại áo với các cỡ được thống kê trong bảng sau:

Tìm mốt của mẫu số liệu này.

A.
40
B.
81
C.
41
D.
62

Vì cỡ áo 40 bán được 81 cái (nhiều nhất) nên mốt của mẫu số liệu là 40.

Câu 9: Nhận biết

Cho $A = \left\{ 0;1;2;3;4 ight\},$ $B = \left\{ 2;3;4;5;6 ight\}.$ Tập hợp $(A\backslash B \cap B)$ bằng

A.
$\left\{ 0;1;5;6 ight\}.$
B.
$\left\{ 1;2 ight\}.$
C.
$\varnothing.$
D.
$\left\{ 5;6 ight\}.$

Tập hợp $A\backslash B$ gồm những phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$

$\Rightarrow A\backslash B \cap B = \varnothing.$

Câu 10: Thông hiểu

Có bao nhiêu mệnh đề trong các câu sau?

Hôm nay trời đẹp quá!

Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới.

Năm 2018 là năm nhuận.

A.
$1.$
B.
$4.$
C.
$3.$
D.
$2.$

Câu “Hôm nay trời đẹp quá!” không phải là mệnh đề. Các câu còn lại đều là mệnh đề.

Câu 11: Nhận biết

Cho hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ .
B.
$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$ .
C.
$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ .
D.
$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ sai do $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$ .

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$ sai do $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} =2\overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} ight) - \left( \overrightarrow{AD} -\overrightarrow{AB} ight)\mathbf{=}2\overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AB} =2\overrightarrow{CD}$ .

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ sai do $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}$ .

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}$ đúng do $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}\mathbf{=}$ $2\overrightarrow{BC} + \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} ight) = 2\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{0} = 2\overrightarrow{BC}$ .

Câu 12: Thông hiểu

Điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ mấy nếu $\sin\alpha,\ tan\alpha$ trái dấu?

A.
Thứ $I.$
B.
Thứ $II$ hoặc $IV.$
C.
Thứ $II$ hoặc $III.$
D.
Thứ $I$ hoặc $IV.$

Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai thì $\sin\alpha > 0$ , $\cos\alpha < 0$ .

Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ tư thì $\sin\alpha < 0$ , $\cos\alpha > 0$ .

Vậy nếu $\sin\alpha,\ cos\alpha$ trái dấu thì điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ $II$ hoặc $IV.$

Câu 13: Thông hiểu

Cho tam giác $ABC$ , chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A.
$m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{4}.$
B.
$m_{a}^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}.$
C.
$m_{a}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}.$
D.
$m_{a}^{2} = \frac{2c^{2} + 2b^{2} - a^{2}}{4}.$

Ta có: $m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$ $= \frac{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}{4}.$

Câu 14: Thông hiểu

Điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ mấy nếu $\sin\alpha,\ cos\alpha$ cùng dấu?

A.
Thứ $II.$
B.
Thứ $IV.$
C.
Thứ $II$ hoặc $IV.$
D.
Thứ $I$ hoặc $III.$

Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất thì $\sin\alpha > 0$ , $\cos\alpha > 0$ .

Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất thì $\sin\alpha < 0$ , $\cos\alpha < 0$ .

Vậy nếu $\sin\alpha,\ cos\alpha$ cùng dấu thì điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ $I$ hoặc $III.$

Câu 15: Thông hiểu

Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix} x - 2y > 3 \\ - 3 + x - y < 0 \\ \end{matrix} ight.$ có tập nghiệm $S$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A.
$( - 3; - 2) \in S$ .
B.
$(1;6) \in S$ .
C.
$( - 6;1) \in S$ .
D.
$S = \varnothing$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x - 2y > 3 \\ - 2 + x - 2y < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > 2y + 3 \\ x < 2y + 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Do đó không có điểm nào thỏa mãn hệ phương trình.

Hệ này vô nghiệm.

Câu 16: Thông hiểu

Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ . Ba vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{BA}$ là:

A.
$\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{FO}$ , $\overrightarrow{ED}$ .
B.
$\overrightarrow{OC}$ , $\overrightarrow{OF}$ , $\overrightarrow{DE}$ .
C.
$\overrightarrow{FO}$ , $\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{DE}$ .
D.
$\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{OF}$ .

Ba vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{BA}$ là: $\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{OF}$ .

Câu 17: Thông hiểu

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?

A.
$\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ .
B.
$\overrightarrow{u} = \frac{3}{5}\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{5}\overrightarrow{b}$ .
C.
$\overrightarrow{u} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - 9\overrightarrow{b}$ .
D.
$\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$ .

Ta có $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} = - \frac{1}{6}\left( 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b} ight) = - \frac{1}{6}\overrightarrow{u}$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là cùng phương.

Chọn đáp án $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$ .

Câu 18: Vận dụng cao

Cho $A = \left\{x\in\mathbb{ R}||mx - 3| = mx - 3 ight\}$ , $B = \left\{ x\in\mathbb{ R}|x^{2} - 4 = 0ight\}$ . Tìm $m$ để $B\backslash A = B$ .

A.
$- \frac{3}{2} \leq m \leq \frac{3}{2}$
B.
$m < \frac{3}{2}$
C.
$- \frac{3}{2} < m < \frac{3}{2}$
D.
$m \geq - \frac{3}{2}$

Ta có:

$|mx - 3| = mx - 3$

$\Leftrightarrow mx - 3 \geq 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0,x \geqslant \dfrac{3}{m}} \\ {m < 0,x \leqslant \dfrac{3}{m}} \end{array}} ight.$

Do đó $m < 0$ thì $A = \left( - \infty;\frac{3}{m} ightbrack$ ; nếu $m > 0$ thì $A = \left\lbrack \frac{3}{m}; + \infty ight)$

Ta có: $x^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2\mathbb{\in R}$

Do đó $B = \left\{ - 2;2 ight\}$

Ta có: $B\backslash A = B \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A eq \varnothing(*) \\ \left\{ \begin{matrix} - 2 otin A \\ 2 otin A \\ \end{matrix}(**) ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

TH1: $(*) \Leftrightarrow M = 0$

TH2: Nếu $m < 0$ thì $\left( {**} ight) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 > \dfrac{3}{m}} \\ {2 > \dfrac{3}{m}} \end{array}} ight.$

$\Leftrightarrow - 2 > \frac{3}{m} \Leftrightarrow m > - \frac{3}{2}$

Tóm lại $- \frac{3}{2} < m < 0$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH3: Nếu $m > 0$ thì $\left( {**} ight) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 < \dfrac{3}{m}} \\ {2 > \dfrac{3}{m}} \end{array}} ight. \Rightarrow 2 < \dfrac{3}{m} \Rightarrow m < \frac{3}{2}$

Kết hợp ba trường hợp, vậy $- \frac{3}{2} < m < \frac{3}{2}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 19: Vận dụng

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác vuông $ABC$ với cạnh huyền $BC = 12.$ Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}$ .

A.
$\left| \overrightarrow{v} ight| = 2.$
B.
$\left| \overrightarrow{v} ight| = 2\sqrt{3}.$
C.
$\left| \overrightarrow{v} ight| = 8.$
D.
$\left| \overrightarrow{v} ight| = 4.$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$

Ta có $\left| \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight| = \left| 2\overrightarrow{GM} ight| = 2GM = 2.\frac{1}{3}AM = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}\left( \frac{1}{2}BC ight) = \frac{BC}{3} = 4.$

Câu 20: Vận dụng cao

Tính giá trị biểu thức $P = \left\lbrack \tan\frac{17\pi}{4} + \tan\left( \frac{7\pi}{2} - x ight) ightbrack^{2} + \left\lbrack \cot\frac{13\pi}{4} + \cot(7\pi - x) ightbrack^{2}$ .

A.
$\dfrac{1}{\sin^{2}x}$
B.
$\dfrac{1}{\cos^{2}x}$
C.
$\dfrac{2}{\sin^{2}x}$
D.
$\dfrac{2}{\cos^{2}x}$

Ta có:

$\tan\frac{17\pi}{4} = \tan\left( \frac{\pi}{4} + 4\pi ight) = \tan\frac{\pi}{4} = 1$

$\tan\left( \frac{7\pi}{2} - x ight) = \cot x$

$\cot\frac{13\pi}{4} = \cot\left( \frac{\pi}{4} + 3\pi ight) = \cot\frac{\pi}{4} = 1$

$\cot(7\pi - x) = - \cot x$

Khi đó:

$P = \left\lbrack \tan\frac{17\pi}{4} + \tan\left( \frac{7\pi}{2} - x ight) ightbrack^{2} + \left\lbrack \cot\frac{13\pi}{4} + \cot(7\pi - x) ightbrack^{2}$

$P = \left( 1 + \cot x ight)^{2} + \left( 1 - \cot x ight)^{2}$

$P = 2 + 2\cot^{2}x =\dfrac{2}{\sin^{2}x}$

Câu 21: Nhận biết

Số cam có trong các giỏ được ghi lại như sau: $2;8;12;16$ . Số trung vị của mẫu số liệu là:

A.
$5$
B.
$10$
C.
$14$
D.
$9,5$

Vì cỡ mẫu $N = 4$ là số chẵn nên trung vị bằng trung bình cộng của số liệu ở vị trí thứ hai và thứ ba.

=> Số trung vị của mẫu số liệu: $\frac{8 + 12}{2} = 10$

Câu 22: Nhận biết

Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}$
B.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$
C.
$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
D.
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$

Áp dụng quy tắc hình bình hành tại điểm B ta có:

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$

Câu 23: Nhận biết

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(3; - 1),B(2;10),C( - 4;2).$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$

A.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 40.$
B.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 40.$
C.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
D.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 26.$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1;11)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 7;3)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40.$

Câu 24: Nhận biết

Cho tam giác $ABC$ có $AB =4cm;AC = 12cm$ và góc $\widehat{BAC} = 120^{\circ}$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ .

A.
$12\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$ .
B.
$24\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$
C.
$12\left( {cm}^{2}ight)$ .
D.
$24\left( {cm}^{2}ight)$ .

$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin\widehat{BAC}$

$= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 \cdot \sin 120^{\circ}$

$= 12\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$

Câu 25: Nhận biết

Cho một mẫu dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm $x_1 ≤ x_2 ≤ x_3 ≤ ... ≤ x_n$ . Khi đó khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu bằng:

A.
$R = x_n – x_1$
B.
$R = x_1 - x_n$
C.
$R=\frac{x_n-x_1}{2}$
D.
$R=\frac{x_1-x_n}{2}$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bằng: $R = x_n – x_1$

Câu 26: Nhận biết

Cho hình bình hành $ABCD$ , vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình bình hành bằng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:

A.
$\overrightarrow{DC}$ .
B.
$\overrightarrow{BA}$ .
C.
$\overrightarrow{CD}$ .
D.
$\overrightarrow{AC}$ .

Ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\left\{ \begin{matrix} AB = CD \\ AB \parallel CD \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Câu 27: Thông hiểu

Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}$

A.
$\overrightarrow{MR}$
B.
$\overrightarrow{MN}$
C.
$\overrightarrow{PR}$
D.
$\overrightarrow{MP}$

Ta có:

$\begin{matrix} \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \hfill \\ = \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} } ight) + \left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} } ight) + \overrightarrow {RN} \hfill \\ = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PR} + \overrightarrow {RN} \hfill \\ = \left( {\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PR} } ight) + \overrightarrow {RN} \hfill \\ = \overrightarrow {MR} + \overrightarrow {RN} = \overrightarrow {MN} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 28: Nhận biết

Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $A(2; - 3),\ B(4;7).$ Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB.$

A.
$I(6;4).$
B.
$I(2;10).$
C.
$I(3;2).$
D.
$I(8; - 21).$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \\ y_{I} = \frac{- 3 + 7}{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}I(3;2).$

Câu 29: Thông hiểu

Bạn Bình ghi lại bảng thống kê số sách mà mà mỗi bạn học sinh lớp 10A đã đọc trong năm 2023. Hỏi trung bình mỗi bạn trong lớp đọc bao nhiêu cuốn sách?

A.
$3,325$
B.
$3,5$
C.
$3$
D.
$4$

Số học sinh lớp 10A là: $3 + 5 + 15 + 10 + 7 = 40$ (bạn).

Trung bình mỗi bạn đọc: $\overline{x} =$ $\frac{3.1 + 5.2 + 15.3 + 4.10 + 7.5}{40}$ $= 3,325$ (cuốn sách).

Câu 30: Nhận biết

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix} x - 2y < 0 \\ x + 3y > - 2 \\ y - x < 3 \\ \end{matrix} ight.$ chứa điểm nào sau đây?

A.
$A(3 ;0)$ .
B.
$B( - 2 ; 3)$ .
C.
$C(0; - 1)$ .
D.
$D(0 ; 1).$

Ta thấy $(0;1)$ là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm $(0;1)$ thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình.

Câu 31: Thông hiểu

Cặp nghiệm nào sau đây là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $x + 2y - 1 < 0$ ?

A.
$(x; y) = (2; 3)$
B.
$(x; y) = (1; 2)$
C.
$(x; y) = (0; 1)$
D.
$(x; y) = (-1; 0)$

$(x; y) = (2; 3)$ => $x = 2;{\text{ }}y = 3$ thay vào bất phương trình ta có:

$2 + 2.3 - 1 = 7 > 0$ => Đáp án sai

$(x; y) = (1; 2)$ => $x = 1;{\text{ }}y = 2$ thay vào bất phương trình ta có:

$1 + 2.2 - 1 = 4 > 0$ => Đáp án sai

$(x; y) = (0; 1)$ => $x = 0;{\text{ }}y = 1$ thay vào bất phương trình ta có:

$0 + 2.1 - 1 = 1> 0$ => Đáp án sai

$(x; y) = (-1; 0)$ => $x = -1;{\text{ }}y = 0$ thay vào bất phương trình ta có:

$-1 + 2.0 - 1 = -2 < 0$ => Đáp án đúng

Vậy $(x; y) = (-1; 0)$ là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $x + 2y - 1 < 0$

Câu 32: Thông hiểu

Cho bảng số liệu thống kê kết quả thi của một số học sinh như sau:

Học sinh	An	Hoa	Tuấn	Hùng	Quân	Linh
Điểm	9	8	7	10	8	6

Tìm phương sai của mẫu số liệu?

A.
$\frac{5}{3}$
B.
$\sqrt{\frac{5}{6}}$
C.
$\sqrt{\frac{5}{3}}$
D.
$\frac{5}{6}$

Ta có: $N = 6$

Điểm trung bình của các học sinh trong bảng số liệu là:

$\overline{x} = \frac{9 + 8 + 7 + 10 + 8 + 6}{6} = 8$

Ta có bảng sau:

Giá trị	Độ lệch	Bình phương độ lệch
9	9 – 8 = 1	1
8	8 – 8 = 0	0
7	7 – 8 = -1	1
10	10 – 8 = 2	4
8	8 – 8 = 0	0
6	6 – 8 = -2	4
Tổng		10

Suy ra phương sai của mẫu số liệu là: $s^{2} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Vậy phương sai cần tìm là $\frac{5}{3}$ .

Câu 33: Nhận biết

Cho mệnh đề: “Một tứ giác là hình thang cân khi và chỉ khi tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau”. Mệnh đề nào sau đây tương đương với mệnh đề đã cho?

A.
Điều kiện cần để tứ giác là hình thang cân là tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau;
B.
Điều kiện cần và đủ để một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là tứ giác đó là một hình thang cân;
C.
Điều kiện đủ để tứ giác là hình thang cân là tứ giác đó có hai cạnh bên bằng nhau;
D.
Có 2 đáp án đúng.

Mệnh đề tương đương với mệnh đề đã cho là: Điều kiện cần và đủ để một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là tứ giác đó là một hình thang cân.

Câu 34: Thông hiểu

Cho tam giác $ABC$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{BC}=0$ là:

A.
một điểm
B.
đường thẳng
C.
đoạn thẳng
D.
đường tròn

Vì $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} = 0$ , mà $A,B,C$ cố định nên suy ra tập hợp $M$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ .

Câu 35: Vận dụng cao

Một nhà máy gồm hai đội công nhân (đội 1 và đội 2) sản xuất nhôm và sắt. Muốn sản xuất một tấn nhôm thì đội 1 phải làm việc trong 3 giờ và đội 2 làm việc trong 1 giờ. Một đội không thể sản xuất đồng thời nhôm và sắt. Đội 1 làm việc không quá 6 giờ một ngày, đội 2 làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà nhà mhà máy thu về trong một ngày là bao nhiêu? Biết một tấn nhôm lãi 2 000 000 đồng, một tấn sắt lãi 1 600 000 triệu đồng.

A.
$6,8$ triệu đồng
B.
$7$ triệu đồng
C.
$6,6$ triệu đồng
D.
$6,9$ triệu đồng

Gọi x, y lần lượt là số tấn nhôm và sắt mà nhà máy này sản xuất trong một ngày

Điều kiện: x, y > 0

Khi đó số tiền lãi một ngày của nhà máy này là $f(x;y) = 2x + 1,6y$ (triệu đồng)

Số giờ làm việc trong ngày của đội 1 là $3x + y$ (giờ)

Số giờ làm việc trong ngày của đội 2 là $x + y$ (giờ)

Vì mỗi ngày đội 1 làm việc không quá 6 giờ và đội 2 làm việc không quá 4 giờ nên ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 3x + y \leq 6 \\ x + y \leq 4 \\ x,\ y \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ (*)$

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x;y)$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) là tứ giác OABC (kể cả biên).

Hình vẽ minh họa

Hàm số $f(x;y)$ sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) khi $(x;y)$ là toạ độ một trong các đỉnh $O(0;0),A(2;0),B(1;3),C(0;4)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(0;0) = 0 \\ f(2;0) = 4 \\ f(1;3) = 6,8 \\ f(0;4) = 6,4 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $max\ f(x;y) = 6,8$ khi $(x;y) = (1;3)$

Vậy số tiền lãi lớn nhất mà nhà máy thu được trong một ngày là: $6,8$ triệu đồng.

Câu 36: Nhận biết

Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.

A.
$\sin\alpha > 0.$
B.
$\cos\alpha < 0.$
C.
$\tan\alpha < 0.$
D.
$\cot\alpha < 0.$

Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất $ightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Câu 37: Vận dụng

Tam giác ABC có $AB = 10, AC = 24$ , diện tích bằng 120. Độ dài đường trung tuyến AM là:

A.
$7\sqrt{3}$
B.
13
C.
$11\sqrt{2}$
D.
26

Ta có:

Diện tích tam giác bằng 120

$\begin{matrix} S = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat A \hfill \\ \Rightarrow \sin \widehat A = \dfrac{{2S}}{{AB.AC}} = \dfrac{{2.120}}{{10.23}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$

$\Rightarrow \widehat A = {90^0}$

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$\begin{matrix} B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \hfill \\ \Rightarrow BC = \sqrt {{{10}^2} + {{24}^2}} = 26 \hfill \\ \end{matrix}$

=> Trung tuyến AM có độ dài là:

$AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.26 = 13$

Câu 38: Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai điểm $B( - 3;6),\ C(1; - 3)$ . Xác định điểm $E$ trên trục hoành sao cho ba điểm $B,\ \ C,\ \ E$ thẳng hàng.

A.
$E(5;\ - 10)$ .
B.
$E\left( - \frac{1}{3};0 ight)$ .
C.
$E\left( - \frac{1}{3}; - \frac{2}{3} ight)$ .
D.
$E(5;\ 10)$ .

Gọi $E(x;0)$ khi đó $\overrightarrow{BE}(x + 3; - 6),\ \ \overrightarrow{EC}(1 - x; - 3)$

Ba điểm $B,C,E$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{BE}$ cùng phương với $\overrightarrow{EC}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 3}{1 - x} = \frac{- 6}{- 3} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}$ .

Câu 39: Thông hiểu

Một túi gạo có ghi thông tin khối lượng là $5 \pm 0,2kg$ . Khi đó khối lượng thực của bao gạo nằm trong đoạn nào sau đây?

A.
$\lbrack 4,8;5,0brack$
B.
$\lbrack 4,9;5,1brack$
C.
$\lbrack 5;5,2brack$
D.
$\lbrack 4,8;5,2brack$

Khi một túi gạo có ghi thông tin khối lượng là $5 \pm 0,2kg$ thì khối lượng thực của bao gạo nằm trong đoạn $\lbrack 4,8;5,2brack$ .

Câu 40: Vận dụng

Cho hai biểu đồ chấm như hình dưới của mẫu A và mẫu B.

Không tính toán, hãy chọn kết luận đúng.

A.
Mẫu số liệu A có phương sai lớn hơn.
B.
Mẫu số liệu B có phương sai lớn hơn.
C.
Hai mẫu số liệu có phương sai như nhau.
D.
Không đủ cơ sở để kết luận.

Quan sát hai mẫu số liệu, ta thấy mẫu A có độ phân tán lớn hơn mẫu B. Suy ra mẫu A có phương sai lớn hơn. (Các số liệu ở mẫu B tập trung ở trung tâm)

Câu 41: Nhận biết

Trong các bất phương trình sau đây, đâu là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $4x+5y-t+1>0$
B.
$2x - y - 1 > 0$
C.
${x^2} + y < 1$
D.
$\frac{{5x}}{{6{y^2}}} - x > 0$

Xét đáp án $4x+5y-t+1>0$

$4x+5y-t+1>0$ là bất phương trình bậc nhất 3 ẩn $x, y, t$ , không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xét đáp án $2x - y - 1 > 0$

$2x - y - 1 > 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by + c > 0$ , $a = 2, b = -1, c = -1$ .

Xét đáp án ${x^2} + y < 1$

${x^2} + y < 1$ là bất phương trình có chứa $x^2$ nên không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xét đáp án $\frac{{5x}}{{6{y^2}}} - x > 0$

$\frac{{5x}}{{6{y^2}}} - x > 0$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì không có dạng $ax + by + c > 0$ .

Câu 42: Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $A(1; - \ 1)$ và $B(3;2).$ Tìm $M$ thuộc trục tung sao cho $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất.

A.
$M(0;1).$
B.
$M(0; - \ 1).$
C.
$M\left( 0;\frac{1}{2} ight).$
D.
$M\left( 0; - \frac{1}{2} ight).$

Vì $M \in Oy \Rightarrow M(0;b)$ .

Ta có: $\overrightarrow{MA} = (1; - 1 - b) \Rightarrow$ $\left| \overrightarrow{MA} ight| = \sqrt{1^{2} + ( - 1 - b)^{2}}$

Ta có: $\overrightarrow{MB} = (3;2 - b) \Rightarrow$ $\left| \overrightarrow{MB} ight| = \sqrt{3^{2} + (2 - b)^{2}}$

$MA^{2} + MB^{2}$ $= 1 + 1 + 2b + b^{2} + 9 + 4 - 4b + b^{2}$ $= 2b^{2} - 2b + 15$ $= 2\left\lbrack \left( b - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{29}{4} ightbrack$ $\geq \frac{29}{2}$

Suy ra $MA^{2} + MB^{2}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $b = \frac{1}{2} \Rightarrow M\left( 0;\frac{1}{2} ight)$ .

Câu 43: Vận dụng

Điểm kiểm tra môn Lịch Sử của một học sinh qua 8 lần thi được ghi lại như sau:

$5,5;\ 6;\ 6;\ x;\ 7;\ 7,5;\ 8;\ 9$

Biết số trung vị của mẫu số liệu trên bằng $6,5$ . Kết quả nào dưới đây đúng?

A.
$x = 6,5$
B.
$x = 6$
C.
$x = 7$
D.
$x = 6,75$

Vì $N = 8$ là số chẵn nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của số liện ở vị trí thứ 4 và thứ 5.

Suy ra $6,5 = \frac{x + 7}{2} \Leftrightarrow x = 6$

Vậy $x = 6$ .

Câu 44: Nhận biết

Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề toán học?

A.
“2 là số nguyên tố”;
B.
“2x + y = −5”;
C.
“− 2 < −5”;
D.
“ $x^{2} ≥ 0$ ”.

Đáp án “2x + y = −5” không phải mệnh đề vì nó không có tính đúng hoặc sai. Suy ra nó cũng không phải mệnh đề toán học.

Câu 45: Vận dụng cao

Tam giác $ABC$ là tam giác gì khi có các góc thỏa mãn biểu thức

$\sin2\widehat{A}.\cos2\widehat{A} +\sin2\widehat{B}.\cos2\widehat{B} + \sin2\widehat{C}.\cos2\widehat{C} =0$ ?

A.
Tam giác cân có góc ở đáy bằng $30^{0}$
B.
Tam giác đều
C.
Tam giác vuông
D.
Tam giác vuông cân

Ta có:

$\sin2\widehat{A}.\cos2\widehat{A} +\sin2\widehat{B}.\cos2\widehat{B} + \sin2\widehat{C}.\cos2\widehat{C} =0$

$\Leftrightarrow2\sin2\widehat{A}.\cos2\widehat{A} + 2\sin2\widehat{B}.\cos2\widehat{B} +\sin2\widehat{C}.\cos2\widehat{C} = 0$

$\Leftrightarrow \sin4\widehat{A} +\sin4\widehat{B} + 2\sin2\widehat{C}.\cos2\widehat{C} = 0$

$\Leftrightarrow 2\sin2\left( \widehat{A}+ \widehat{B} ight).\cos2\left( \widehat{A} - \widehat{B} ight) +2\sin2\widehat{C}.\cos2\left( \widehat{A} + \widehat{B} ight) =0$

$\Leftrightarrow -2\sin2\widehat{C}.\left\lbrack \cos2\left( \widehat{A} - \widehat{B}ight) - \cos2\left( \widehat{A} + \widehat{B} ight) ightbrack =0$

$\Leftrightarrow -4\sin2\widehat{C}.\sin2A.\sin2B = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\sin2\widehat{C} = 0 \\\sin2\widehat{A} = 0 \\\sin2\widehat{B} = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}2\widehat{C} = \pi \\2\widehat{A} = \pi \\2\widehat{A} = \pi \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\widehat{C} = \dfrac{\pi}{2} \\\widehat{A} = \dfrac{\pi}{2} \\\widehat{A} = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.$

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông.

Đề thi học kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức Đề 1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!