Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 1

Mô tả thêm: Đề thi HK1 Toán 11 được biên soạn gồm các câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề với 4 mức độ giúp học sinh củng cố, nắm vững kiến thức và khả năng giải toán lớp 11 sách Chân trời sáng tạo

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $M$ là trung điểm của $AB$ , $BC \cap (MA'C') = \left\{ N ight\}$ . Tính tỉ số độ dài hai cạnh $MN$ và $A'C'$ .
- A.
  $\frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{MN}{A'C'} = \frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{MN}{A'C'} = 1$
Hình vẽ minh họa

Ba mặt phẳng phân biệt $(ABCD), (ACC’A’), (MA’C’)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến $AC, A’C’$ và $MN$ .

Theo tính chất hình hộp ta có $AC // A’C’$ nên $MN // AC // A’C’$

Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC.

Vậy $MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}A'C'$ hay $\frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{2}$ .

Câu 2: Vận dụng

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 3: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$ . Lấy $I \in AB,M \in AD$ sao cho $AI = IB;AD = 3AM$ . Đường thẳng qua $M$ và song song với $AB$ cắt $CI$ tại $J$ . Xác định mặt phẳng song song với đường thẳng $GJ$ ?
- A.
  $(SCD)$
- B.
  $(SAD)$
- C.
  $(SBC)$
- D.
  $(SAC)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\frac{IJ}{IC} = \frac{AM}{AD} = \frac{1}{2} = \frac{IG}{IS}$

$\Rightarrow JG//SC$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}JG\bot(SCD) \\JG\bot(SAC) \\SBC \\\end{matrix} ight.$
Câu 4: Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là các điểm nằm trên ba cạnh $AA',\ \ BB',\ \ CC'$ sao cho $AM = \frac{1}{2}AA',\ \ BN = \frac{1}{3}BB',\ \ CP = \frac{1}{4}CC'$ . Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với đường thẳng $DD'$ . Khi đó tỉ số $\frac{D'Q}{DD'}$ bằng bao nhiêu?

Đáp án: 5/12 (Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản).

Hình vẽ minh họa

Lấy $M'$ , $N'$ lần lượt là các cạnh trên $DD'$ và $CC'$ sao cho $MA = M'D$ và $NB = N'C$ .

Vì $(ABB'A')\ //\ (CDD'C')$ nên 2 giao tuyến giữa mặt phẳng $(MNP)$ lần lượt với các mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$ sẽ song song với nhau.

Do đó, ta sẽ lấy $Q$ nằm trên cạnh $DD'$ sao cho $MN\ //\ PQ$ .

Ta có:

$D'Q = D'M' - QM' = \frac{DD'}{2} - (N'C - PC)$

$= \frac{DD'}{2} - \left( \frac{DD'}{3} - \frac{DD'}{4} ight) = \frac{5DD'}{12}$ .

Khi đó, $\frac{D'Q}{DD'} = \frac{5}{12}$ .
Câu 5: Nhận biết
Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?
- A.
  $2;8;32$
- B.
  $3;7;11;16$
- C.
  $\left( u_{n} ight):u_{n} = 4 + 3n$
- D.
  $\left( v_{n} ight):v_{n} = n^{3}$
Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n}$

$= \left\lbrack 4 + 3(n + 1) ightbrack - (4 + 3n)$

$= 3$

=> Dãy số $\left( u_{n} ight):u_{n} = 4 + 3n$ là cấp số cộng.
Câu 6: Thông hiểu
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = 3cosx + 4$ là
- A.
  7
- B.
  5
- C.
  8
- D.
  6
Do $- 1 \leq cosx \leq 1\forall x \in \mathbb{R}$ nên $1 \leq 3cosx + 4 \leq 7,\forall x \in \mathbb{R}$ .

Nên $\max_{\mathbb{R}}\mspace{2mu} y = 7$ đạt được khi $cosx = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})$ .

$\min_{\mathbb{R}}\mspace{2mu} y = 1$ đạt được khi $cosx = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi(k \in \mathbb{Z})$ .

Suy ra $\max_{\mathbb{R}}\mspace{2mu} y + \min_{\mathbb{R}}\mspace{2mu} y = 8$ .
Câu 7: Thông hiểu
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để ba số $a^{4};a^{2};3a^{2} - 9$ lập thành một cấp số cộng?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Để ba số $a^{4};a^{2};3a^{2} - 9$ lập thành một cấp số cộng thì $a^{4} + 3a^{2} - 9 = 2a^{2}$

Đặt $t = a^{2};(t \geq 0)$ phương trình trở thành

$t^{2} + t - 9 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = \dfrac{- 1 + \sqrt{37}}{2} \\t = \dfrac{- 1 - \sqrt{37}}{2}(l) \\\end{matrix} ight.$

Với $t = \frac{- 1 + \sqrt{37}}{2} \Rightarrow a = \pm \sqrt{\frac{- 1 + \sqrt{37}}{2}}$

Do $a\mathbb{\in Z}$ vậy không có giá trị nào của a thỏa mãn yêu cầu để bài.
Câu 8: Thông hiểu
Tính giới hạn: $\lim\frac{\sqrt{n + 1} - 4}{\sqrt{n + 1} +n}$
- A.
  1
- B.
  0
- C.
  -1
- D.
  $\frac{1}{2}$
Ta có:
$\lim\frac{\sqrt{n + 1} - 4}{\sqrt{n + 1}+ n}$
$= \lim\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n^{2}}} - \dfrac{4}{n}}{\sqrt{\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} +1} = \dfrac{0}{1} = 0$
Câu 9: Vận dụng
Biết $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ . Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\tan x}{x}\ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$
- B.
  $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3} ight)$
- C.
  $\left( - \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4} ight)$
- D.
  $( - \infty; + \infty)$
Tập xác định: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$ có nghĩa là

$D = \underset{k\mathbb{\in Z}}{\cup}\left( \frac{\pi}{2} + k\pi;\frac{3\pi}{2} + k\pi ight) = ... \cup \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight) \cup \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight) \cup ...$

Khi đó

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\tan x}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x}.\frac{1}{\cos x} = 1.\frac{1}{cos0} = 1 eq 0 = f(0)$
Câu 10: Nhận biết
Xác định giới hạn $D = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + 2x)^{2} - 1}{x}$
- A.
  $4$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có:

$D = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + 2x)^{2} - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2} + 4x}{x} = \lim_{x ightarrow 0}(4 + 4x) = 4$
Câu 11: Nhận biết
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Số học sinh
5
9
12
10
6
Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên?
- A.
  $\lbrack 40;60)$
- B.
  $\lbrack20;40)$
- C.
  $\lbrack 60;80)$
- D.
  $\lbrack 80;100)$
Ta có:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)

Số học sinh
5
9
12
10
6
N = 42
Tần số tích lũy
5
14
26
36
42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{N}{4} =10,5$
=> Nhóm chứa $Q_{1}$ là [20; 40)
(Vì 10,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 5 và 14)
Câu 12: Nhận biết
Cho dãy số $(u_{n})$ , biết ${u_n} = {( - 1)^n}.2n$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $u_{1}=-2$
- B.
  $u_{2}=4$
- C.
  $u_{3}=-6$
- D.
  $u_{4}=-8$
Ta có:
$\begin{matrix} {u_n} = {( - 1)^n}.2n \hfill \\ \Rightarrow {u_1} = {( - 1)^1}.2.1 = - 2 \hfill \\ \Rightarrow {u_2} = {( - 1)^2}.2.2 = 4 \hfill \\ \Rightarrow {u_3} = {( - 1)^3}.2.3 = - 6 \hfill \\ \Rightarrow {u_4} = {( - 1)^4}.2.4 = 8 \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy mệnh đề sai là: $u_{4}=-8$
Câu 13: Nhận biết
Giá trị của ${D = \lim}\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  4
Ta có:

$\lim\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}= \lim \dfrac{4+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}}=4$
Câu 14: Vận dụng
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27 \\{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.$ . Tính $u_{2}$ .
- A.
  $u_{2} = 3$
- B.
  $u_{2} = 6$
- C.
  $u_{2} = 9$
- D.
  $u_{2} = 12$
Ta có:
$\left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27 \\{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) = 27 \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + d = 9 \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}d = 9 - u_{1} \\{u_{1}}^{2} + \left( u_{1} + d ight)^{2} + \left( u_{1} + 2dight)^{2} = 275 \\\end{matrix} ight.$
Khi đó:
$\Rightarrow {u_{1}}^{2} + \left( u_{1} +9 - u_{1} ight)^{2} + \left\lbrack u_{1} + 2\left( 9 - u_{1} ight)ightbrack^{2} = 275$
$\Leftrightarrow {u_{1}}^{2} - 18u_{1} +65 = 0$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}u_{1} = 13 \Rightarrow d = - 4 \\u_{1} = 5 \Rightarrow d = 4 \\\end{matrix} ight.$ => $u_{2} = 9$
Câu 15: Vận dụng
Kết quả của giới hạn $\lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + ( - 1)^{n}.cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $\sqrt{5}$
- D.
  $- 1$
Ta có

$\lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + ( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack$

$= \lim\left\lbrack\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ightbrack + \lim\left\lbrack \frac{(- 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack$

Khi đó ta có:

$\lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ightbrack = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

$0 \leq \left| \frac{( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ight| \leq \frac{1}{\sqrt{n} - 1}ightarrow 0 \Rightarrow \lim\frac{( - 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} =0$

Vậy $\lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + (- 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack = \sqrt{3}$
Câu 16: Vận dụng
Cho công thức $y = 3sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) + 13$ biểu thị số giờ có ánh sáng mặt trời tại thành phố A, với $1 \leq x \leq 365$ là số ngày trong năm. Ngày nào sau đây của năm thì số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố A đạt giá trị lớn nhất.
- A.
  $30/01$ .
- B.
  $29/01$ .
- C.
  $31/01$ .
- D.
  $30/03$ .
Để số giờ có ánh sáng mặt trời lớn nhất thì hàm số $y = 3sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) + 13$ đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó $sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) = 1 \Leftrightarrow x = 30 + k360,k \in Z$ .

Vì $1 \leq x \leq 365$ nên ta có $1 \leq 30 + k360 \leq 365 \Leftrightarrow - 0,08 \leq k \leq 0,93 \Rightarrow k = 0$ .

Do đó $x = 30$ (tháng đầu tiên của năm)
Câu 17: Thông hiểu
Đổi số đo của góc $50^{0}$ sang đơn vị radian?
- A.
  $\frac{50}{\pi}$
- B.
  $\frac{5}{18}$
- C.
  $\frac{5\pi}{18}$
- D.
  $\frac{5}{18\pi}$
Cách 1: Áp dụng công thức $\mu = \frac{m.\pi}{180}$ với $m = 50^{0}$ ta được:

$\mu = \frac{m.\pi}{180} = \frac{50.\pi}{180} = \frac{5.\pi}{18}$

Cách 2: Bấm máy tính:

Bước 1: Bấm tổ hợp phím SHIFT MODE 4 chuyển về chế độ rad.

Bước 2: Bấm 50 SHIFT Ans 1 =
Câu 18: Vận dụng
Một cấp số nhân có $5$ số hạng, công bội q bằng $\frac{1}{4}$ số hạng thứ nhất, tổng hai số hạng đầu bằng $24$ . Xác định cấp số nhân?
- A.
  $u_{1} = 8;q = 3$
- B.
  $u_{1} = - 2;q = 2$
- C.
  $u_{1} = - 12;q = 2$
- D.
  $u_{1} = 12;q = - 3$
Theo bài ra ta có:

$u_{1} + u_{2} = u_{1} + u_{1}.q = 24$

$\Rightarrow u_{1} + \frac{1}{4}{u_{1}}^{2} = 24$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{1} = - 12;q = - 3 \\ u_{1} = 8;q = 2 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 19: Nhận biết
Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11D.
Khoảng chiều cao (cm)
[145; 150)
[150; 155)
[155; 160)
[160; 165)
[165; 170)
Số học sinh
6
12
13
9
10
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $12$
- D.
  $10$
Quan sát bảng số liệu ta thấy mẫu số liệu có 5 nhóm.
Câu 20: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Trên các cạnh $AB,CD$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ làm trung điểm. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SMN)$ ?
- A.
  $SN$
- B.
  $MN$
- C.
  $SO$
- D.
  $SM$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AM//NC;(AB//CD) \\AM = NC = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{DC}{2} \\\end{matrix} ight.$ suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

Do đó AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN, hay ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Ta có: $S \in (SAC) \cap (SMN)(*)$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} O \in (SAC);AC \subset (SAC) \\ O \in (SMN);MN \subset (SMN) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow O \in (SAC) \cap (SMN)(**)$

Từ $(*)$ và $(**) \Rightarrow (SAC) \cap (SMN) = SO$
Câu 21: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Lấy điểm $M \in SA$ sao cho $\frac{MA}{MS} = 2$ . Hình chiếu của điểm $S$ qua phép chiếu song song phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ là điểm $N$ . Khi đó tỉ số độ dài $\frac{CN}{CA}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{CN}{CA} = 3$
- C.
  $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{CN}{CA} = 1$
Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ biến điểm $S$ thành điểm $N$ .

Do đó: $SN//MO \Rightarrow N \in AC$

Xét tam giác $SAN$ ta có: $\frac{ON}{OA} = \frac{SM}{MA} = \frac{1}{2}$

=> $N$ là trung điểm của $OC$

Từ đó suy ra $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$
Câu 22: Vận dụng cao

Tại một nhà máy, người ta đo được rằng $80\%$ lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với $100\ m^{3}$ ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

Đáp án: 500

Đáp án là:

Tại một nhà máy, người ta đo được rằng $80\%$ lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với $100\ m^{3}$ ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

Đáp án: 500

Ta có:

$100 + 100.0,8 + 100.0,8)^{2} + 100.(0,8)^{3} + \ldots$

$= 100.\frac{1}{1 - 0,8} = 500\left( \ m^{3} ight)$ .
Câu 23: Vận dụng
Cho hai hàm số $f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x};g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  f(x) lẻ và g(x) chẵn
- B.
  f(x) và g(x) chẵn
- C.
  f(x) chẵn và g(x) lẻ
- D.
  f(x) và g(x) lẻ
Xét hàm số $f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x}$ có tập xác định $D=\mathbb{ R}$

Với mọi x thuộc D => -x thuộc D ta có:

$f( - x) = \frac{\cos( - 2x)}{1 + sin^{2}( - 3x)} = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x} = f(x)$

Vậy f(x) là hàm số chẵn

Tương tự xét hàm số $g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x};D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$

Với mọi x thuộc D => -x thuộc D ta có:

$\begin{matrix}g( - x) = \dfrac{\left| \sin( - 2x) ight| - \cos( - 3x)}{2 + tan^{2}( -x)}\hfill \\= \dfrac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x} = g(x) \hfill\\\end{matrix}$

Vậy g(x) là hàm số chẵn.
Câu 24: Thông hiểu
Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai?
- A.
  $u_{1}.u_{15} =u_{2}.u_{14}$
- B.
  $u_{1}.u_{15} =u_{5}.u_{11}$
- C.
  $u_{1}.u_{15} = u_{6}.u_{9}$
- D.
  $u_{1}.u_{15} =u_{12}.u_{4}$
Ta có: $u_{1}.u_{15} = u_{1}.u_{1}.q^{14}= \left( u_{1}.q^{a - 1} ight).\left( u_{1}.q^{b - 1} ight) =u_{a}.u_{b}$
Với $a + b = 16$
Đáp án sai $u_{1}.u_{15} =u_{6}.u_{9}$
Câu 25: Nhận biết
Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = |x|$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x}{|x| + 1}$
- D.
  $y = \frac{x}{x + 1}$
Hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$ nên hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Câu 26: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm được ghi trong bảng dưới đây:
Khoảng
Tần số
Nhỏ hơn 10
10
Nhỏ hơn 20
20
Nhỏ hơn 30
30
Nhỏ hơn 40
40
Nhỏ hơn 50
50
Nhỏ hơn 60
30
Tính giá trị tứ phân vị thứ ba.
- A.
  $Q_{3} = 44,83$
- B.
  $Q_{3} = 42,15$
- C.
  $Q_{3} = 46,25$
- D.
  $Q_{3} = 47,3$
Ta có:
Nhóm dữ liệu
Tần số
Tần số tích lũy
(0; 10]
10
10
(10; 20]
20
30
(20; 30]
30
60
(30; 40]
50
110
(40; 50]
40
150
(50; 60]
30
180
Tổng
N = 180

Ta có: $\frac{3N}{4} = \frac{3.180}{4} =135$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: (40; 50]
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 40;\dfrac{3N}{4} = 135 \\m = 110,f = 40,d = 10 \\\end{matrix} ight.$
Tứ phân vị thứ ba là:
$Q_{3} = l + \dfrac{\dfrac{3N}{4} -m}{f}.d$
$\Rightarrow Q_{3} = 40 + \frac{135 -110}{40}.10 = 46,25$
Câu 27: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm $A$ theo phương $CD$ lên mặt phẳng $(SBC)$ là điểm nào sau đây?
- A.
  $S$ .
- B.
  Trung điểm của $BC$ .
- C.
  $B$ .
- D.
  $C$ .
Hình vẽ minh họa

Do $AB \cap (SBC) = \left\{ B ight\}$ suy ra hình chiếu song song của điểm $A$ theo phương $CD\ \ (CD//AB)$ lên mặt phẳng $(SBC)$ là điểm $B$ .
Câu 28: Thông hiểu
Cho phương trình $\cos^{2}2x = m + 1$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm?
- A.
  $m \in ( - 1;1)$
- B.
  $m \in ( - \infty;1brack$
- C.
  $m \in \lbrack - 1;0brack$
- D.
  $m \in \lbrack 0; + \infty)$
Ta có:

$0 \leq \cos^{2}2x \leq 1 \Leftrightarrow0 \leq m + 1 \leq 1$

$\Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0$ thì phương trình có nghiệm.
Câu 29: Nhận biết
Trong không gian, cho ba đường thẳng $m,n,t$ không đồng phẳng đôi một cắt nhau. Tìm số giao điểm phân biệt của ba đường thẳng.
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $6$
- D.
  $2$
Giả sử ba đường thẳng $m,n,t$ đôi một cắt lần lượt $M,N,T$ phân biệt và tạo thành mặt phẳng $(MNT)$ .

=> $m,n,t$ cùng nằm trên một mặt phẳng (trái giả thiết).

=> $M,N,T$ trùng nhau, tức là $m,n,t$ đồng quy.

Vậy có duy nhất một giao điểm phân biệt của ba đường thẳng đã cho.
Câu 30: Nhận biết
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A.
  $1; 2;3;4;5$ .
- B.
  $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ .
- C.
  $1; - 1; 1;- 1;1$ .
- D.
  $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ .
Dãy $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = 2$ .

Dãy $1; - 1; 1; - 1;1$ là cấp số nhân với công bội $q = - 1$ .

Dãy $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = - 2$ .

Dãy $1;2;3; 4;5$ là cấp số cộng với công sai $d = 1$ .
Câu 31: Nhận biết
Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây? (Biết các biểu thức đều xác định).
- A.
  $1 + \cot^{2}x =\frac{1}{\cos^{2}x}$
- B.
  $1 + \tan^{2}x = -\frac{1}{\sin^{2}x}$
- C.
  $\tan x + \cot x = 1$
- D.
  $\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$
Công thức đúng là:

$\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$
Câu 32: Thông hiểu
Phương trình $sinx = \frac{\sqrt{3}}{2}$ có hai họ nghiệm có dạng $x = \alpha + k\pi$ và $x = \beta + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}(0 < \alpha < \beta < \pi)$ . Khi đó, tính $\beta - \alpha$ ?
- A.
  $\frac{\pi}{3}$ .
- B.
  $\frac{- \pi}{3}$ .
- C.
  $\frac{2\pi}{3}$ .
- D.
  $\frac{- 2\pi}{3}$ .
Ta có $\ sinx = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\\end{matrix}\ (k \in \mathbb{Z}) ight.$ .

$\Rightarrow \beta = \frac{2\pi}{3},\alpha = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \beta - \alpha = \frac{\pi}{3}$ .
Câu 33: Vận dụng
Cho tứ diện ABCD. Lấy M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi (∝) là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Thiết diện tạo bởi (∝) và tứ diện ABCD là hình gì?
- A.
  Tam giác
- B.
  Hình thoi
- C.
  Hình bình hành
- D.
  Hình ngũ giác
Hình vẽ minh họa
Ta có: (∝) //AB nên giao tuyến (∝) và (ABC) là đường thẳng song song với AB.
Xét (ABC) ta có:
Qua M kẻ EF // AB (1)
Ta có: Giao tuyến của (ABC) và (∝) là EF
Tương tự xét (BCD) qua E kẻ EH // CD (2) suy ra giao tuyến của (∝) và (BCD) là HE
Xét mặt phẳng (ABD) kẻ HG // AB (3)
=> Giao tuyến của (∝) và (ABD) là HG
Thiết diện tạo bởi (∝) và hình chóp ABCD là tứ giác EFGH
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( \alpha ight) \cap \left( {ACD} ight) = FG} \\ {\left( \alpha ight)//DC} \end{array}} ight. \Rightarrow FG//DC\left( 4 ight)$
Từ (1), (2), (3), (4) => $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {EF//GH} \\ {EH//GF} \end{array}} ight.$
=> EFGH là hình bình hành
Câu 34: Nhận biết
Trên đường tròn bán kính 15dm, cho cung tròn có độ dài $l = 25\pi(dm)$ . Số đo của cung tròn đó là:
- A.
  $\frac{5\pi}{6}$
- B.
  $\frac{3}{5}$
- C.
  $\frac{10\pi}{3}$
- D.
  $\frac{5\pi}{3}$
Độ dài cung tròn là: $l = R.\alpha$

=> $\alpha = \frac{l}{R} = \frac{25\pi}{15} = \frac{5\pi}{3}$
Câu 35: Thông hiểu
Tính chiều cao trung bình của một số học sinh nam được ghi trong bảng dữ liệu sau:
Chiều cao (cm)
Số học sinh
[95; 105)
9
[105; 115)
13
[115; 125)
26
[125; 135)
30
[135; 145)
12
[145; 155)
10
- A.
  $124,8$
- B.
  $124$
- C.
  $125,3$
- D.
  $125$
Ta có:
Chiều cao đại diện
Số học sinh
Tích các giá trị
100
9
900
110
13
1430
120
26
3120
130
30
3900
140
12
1680
150
10
1500
Tổng
100
12530
Chiều cao trung bình của các học sinh là:
$\overline{x} = \frac{12530}{100} =125,3(cm)$
Câu 36: Nhận biết
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
- A. $y= - \sin x$
- B. $y = \cos x - \sin x$
- C. $y = \cos x + {\sin ^2}x$
- D. $y = \cos x\sin x$
Tất các các hàm số đều có TXĐ: ${\text{D}} = \mathbb{R}$ .
Do đó $\forall x \in {\text{D}} \Rightarrow - x \in {\text{D}}{\text{.}}$
Bây giờ ta kiểm tra $f\left( { - x} ight) = f\left( x ight)$ hoặc $f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight).$
Với $y = f\left( x ight) = - \,\,\sin x$ . Ta có
$f\left( { - x} ight) = - \,\,\sin \left( { - x} ight) = \sin x = - \left( { - \sin x} ight)$
$\Rightarrow f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight)$
Suy ra hàm số là hàm số lẻ.
Với $y = f\left( x ight) = \cos x - \sin x.$ . Ta có
$f\left( { - x} ight) = \cos \left( { - x} ight) - \sin \left( { - x} ight) = \cos x + \sin x$
$\Rightarrow f\left( { - x} ight) e \left\{ { - f\left( x ight),f\left( x ight)} ight\}$
Suy ra hàm số không chẵn không lẻ.
Với $y = f\left( x ight) = \cos x + {\sin ^2}x$ . Ta có
$f\left( { - \,x} ight) = \cos \left( { - \,x} ight) + {\sin ^2}\left( { - \,x} ight)$
$= \cos \left( { - \,x} ight) + {\left[ {\sin \left( { - \,x} ight)} ight]^2}$
$= \cos x + {\left[ { - \sin x} ight]^2} = \cos x + {\sin ^2}x$
$\Rightarrow f\left( { - x} ight) = f\left( x ight)$
Suy ra hàm số là hàm số chẵn.
Với $y = f\left( x ight) = \cos x\sin x.$ Ta có
$f\left( { - \,x} ight) = \cos \left( { - \,x} ight).\sin \left( { - \,x} ight) = - \cos x\sin x$
$\Rightarrow f\left( { - x} ight) = - f\left( x ight)$
Suy ra hàm số là hàm số lẻ.
Câu 37: Thông hiểu
Đồ thị hàm số $y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight)$ được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:
- A. Tịnh tiến (C) qua trái một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
- B. Tịnh tiến (C) qua phải một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
- C. Tịnh tiến (C) lên trên một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
- D. Tịnh tiến (C) xuống dưới một đoạn có độ dài là $\frac{\pi }{2}$
Nhắc lại lý thuyết:
Cho (C) là đồ thị của hàm số $y = f\left( x ight)$ và $p > 0$ , ta có:
+ Tịnh tiến (C) lên p trên đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f\left( x ight) + p$ .
+ Tịnh tiến (C) xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f\left( x ight) - p$
+ Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f\left( {x + p} ight)$
+ Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số $y = f\left( {x - p} ight)$
Vậy đồ thị hàm số $y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight)$ được suy từ đồ thị hàm số $y = \cos x$ bằng cách tịnh tiến sang phải $\frac{\pi }{2}$ đơn vị.
Câu 38: Nhận biết
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
- A. Tam giác.
- B. Tứ giác.
- C. Lục giác.
- D. Ngũ giác.
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Câu 39: Vận dụng cao
Cho S_n = 1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3² + … + n ⋅ 3^n − 1.

Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?
- A.
  $S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{1}{2}3^{n}$
- B.
  $S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2}3^{n}$
- C.
  $S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2}3^{n}$
- D.
  $S_{n} = - \frac{3^{n} + 1}{4} + \frac{n}{2}3^{n}$ .
Ta có 3S_n = 3 + 2.3² + 3.3³ + … + n.3ⁿ

Từ đó 2S_n = − 1 − 3 − 3² − … − 3^n − 1 + n.3ⁿ

$\Leftrightarrow 2S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{2} + n{.3}^{n}$

$\Leftrightarrow S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2} \cdot 3^{n}$
Câu 40: Thông hiểu
Tính giới hạn $N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}$ .
- A.
  $N = - \frac{2}{3}$
- B.
  $N = \frac{2}{3}$
- C.
  $N = \frac{4}{3}$
- D.
  $N = 0$
Ta có:

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}{\left( x^{2} - 3x ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{x(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4}{(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = - \frac{2}{3}$
Câu 41: Vận dụng cao
Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn $\lbrack0;\pibrack$ . Các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và $CD = \frac{2\pi}{3}$ . Tính độ dài cạnh BC.
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Gọi $A\left( {a;\sin a} ight) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_B} = a + \dfrac{{2\pi }}{3}} \\ {{y_B} = \sin \left( {a + \dfrac{{2\pi }}{3}} ight)} \end{array}} ight.$
Mặt khác
$\begin{matrix} {y_A} = {y_B} \Rightarrow \sin a = \sin \left( {a + \dfrac{{2\pi }}{3}} ight) \hfill \\ \Rightarrow a = \pi - a - \dfrac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \Rightarrow a = \dfrac{\pi }{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó $BC = AD = \sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}$
Câu 42: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ . Mặt phẳng qua $MN$ cắt $AD,BC$ lần lượt tại $P,Q$ . Biết $MP$ cắt $NQ$ tại $I$ . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
- A.
  $I,C,D$
- B.
  $I,C,A$
- C.
  $I,B,D$
- D.
  $I,A,B$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} I \in MP \subset (ABD) \\ I \in NQ \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I \in (BCD) \cap (ABD)$

Mà $BD = (BCD) \cap (ABD)$

Vậy ba điểm $I,B,D$ thẳng hàng.
Câu 43: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
[160; 164)
[164; 168)
[168; 172)
[172; 174)
Tần số
8
$x$
12
6
Biết rằng nhóm dữ liệu có giá trị đại diện là 166 chiếm 60% tổng tần số của mẫu dữ liệu. Tìm giá trị của $x$ ?
- A.
  39
- B.
  45
- C.
  40
- D. 32
Nhóm số liệu có độ dài 166 là: [164; 168)
Theo bài ra ta có:
$\frac{x.100\%}{8 + 12 + x + 6} = 60\%\Rightarrow x = 39$
Câu 44: Nhận biết
Phương trình $\tan x = \tan 3x$ có nghiệm là:
- A. $x = k\pi$
- B. $x = \frac{{k\pi }}{3}$
- C. $x = \frac{{k\pi }}{2}$
- D. $x = \frac{{k\pi }}{4}$
Giải phương trình:
$\begin{matrix} \tan x = \tan 3x \hfill \\ \Leftrightarrow \tan 3x = \tan x \hfill \\ \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2};\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 45: Nhận biết
Dãy số có các số hạng cho bởi $- 1;1; - 1;1;...$ có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?
- A.
  $u_{n} = 1$
- B.
  $u_{n} = - 1$
- C.
  $u_{n} = ( - 1)^{n}$
- D.
  $u_{n} = ( - 1)^{n +1}$
Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án $u_{n} = 1$ và $u_{n} = - 1$
Ta có: $u_{1} = - 1$ ở các đáp án $u_{n} = ( - 1)^{n}$ và $u_{n} = ( - 1)^{n + 1}$
Xét đáp án $u_{n} = ( - 1)^{n} \Rightarrowu_{1} = - 1$
Xét đáp án $u_{n} = ( - 1)^{n + 1}\Rightarrow u_{1} = ( - 1)^{2} = 1 eq - 1$
Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là $u_{n} = ( - 1)^{n}$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi học kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo Đề 1 Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Xem đáp án Làm lại

13 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Điểm	[0; 20)	[20; 40)	[40; 60)	[60; 80)	[80; 100)
Số học sinh	5	9	12	10	6

Khoảng chiều cao (cm)	[145; 150)	[150; 155)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)
Số học sinh	6	12	13	9	10

Khoảng	Tần số
Nhỏ hơn 10	10
Nhỏ hơn 20	20
Nhỏ hơn 30	30
Nhỏ hơn 40	40
Nhỏ hơn 50	50
Nhỏ hơn 60	30

Nhóm dữ liệu	Tần số	Tần số tích lũy
(0; 10]	10	10
(10; 20]	20	30
(20; 30]	30	60
(30; 40]	50	110
(40; 50]	40	150
(50; 60]	30	180
Tổng	N = 180

Chiều cao (cm)	Số học sinh
[95; 105)	9
[105; 115)	13
[115; 125)	26
[125; 135)	30
[135; 145)	12
[145; 155)	10

Chiều cao đại diện	Số học sinh	Tích các giá trị
100	9	900
110	13	1430
120	26	3120
130	30	3900
140	12	1680
150	10	1500
Tổng	100	12530

Đối tượng	[160; 164)	[164; 168)	[168; 172)	[172; 174)
Tần số	8	$x$	12	6