Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề thi học kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức Đề 2

Mô tả thêm: Đề thi cuối kì 1 Toán 11 được biên soạn gồm 45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 5 chuyên đề trọng tâm giúp bạn học có thêm tài liệu ôn thi, củng cố nội dung kiến thức Toán 11 sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 90 phút
Số câu hỏi: 45 câu
Số điểm tối đa: 45 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Chu kì của hàm số $y = \tan x$ là
- A.
  $T = \pi$ .
- B.
  $T = 2\pi$ .
- C.
  $T = \frac{\pi}{2}$ .
- D.
  $T = \frac{\pi}{4}$ .
Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kỳ $T = \pi$ .
Câu 2: Thông hiểu
Cho các hàm số $y = \cos x;y = \sin x;y = \tan x;y = \cot x$ . Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số lẻ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$y = \cos x$ là hàm số chẵn vì:

Tập xác định của hàm số $D\mathbb{= R}$

Với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f( - x) = \cos( - x) = \cos x = f(x)$

$y = \sin x$ là hàm số lẻ vì:

Tập xác định của hàm số $D\mathbb{= R}$

Với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f( - x) = \sin( - x) = - \sin x = - f(x)$

$y = \tan x$ là hàm số lẻ vì

Tập xác định của hàm số $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f( - x) = \tan( - x) = - \tan x = - f(x)$

$y = \cot x$ là hàm số lẻ vì

Tập xác định của hàm số $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$

Với $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f( - x) = \cot( - x) = \cot( - x) = - f(x)$
Câu 3: Nhận biết
Giá trị của ${D = \lim}\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  0
- D.
  4
Ta có:

$\lim\frac{4n + 1}{\sqrt{n^{2} + 3n + 2}}= \lim \dfrac{4+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}}=4$
Câu 4: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ . Mặt phẳng qua $MN$ cắt $AD,BC$ lần lượt tại $P,Q$ . Biết $MP$ cắt $NQ$ tại $I$ . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
- A.
  $I,C,D$
- B.
  $I,C,A$
- C.
  $I,B,D$
- D.
  $I,A,B$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} I \in MP \subset (ABD) \\ I \in NQ \subset (BCD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I \in (BCD) \cap (ABD)$

Mà $BD = (BCD) \cap (ABD)$

Vậy ba điểm $I,B,D$ thẳng hàng.

Câu 5: Vận dụng

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8

a) Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H bằng $59,46kg$ . Đúng||Sai

b) $60 \leq M_{e} < 65$ Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chưa tứ phân vị thứ ba lần lượt là: $\lbrack 50;55),\lbrack 65;70)$ Đúng||Sai

d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với 53 kg. Đúng||Sai

Ta có: $N = 46$

Cân nặng (kg)	Giá trị đại diện	Số học sinh
[45; 50)	47,5	5
[50; 55)	52,5	12
[55; 60)	57,5	10
[60; 65)	62,5	6
[65; 70)	67,5	5
[70; 75)	72,5	8

Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:

$\overline{x} = \frac{47,5.5 + 52,5.12 + 57,5.10 + 62,5.6 + 67,5.5 + 72,5.8}{46} \approx 59,46(kg)$

Nhóm chứa mốt là: [50; 55) suy ra $50 \leq M_{e} < 55$ .

Ta có:

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\frac{3N}{4} = 34,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)

Cân nặng (kg)	Số học sinh	Tần số tích lũy
[45; 50)	5	5
[50; 55)	12	17
[55; 60)	10	27
[60; 65)	6	33
[65; 70)	5	38
[70; 75)	8	46

$\frac{N}{4} = 11,5$ => Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}l = 50,\dfrac{N}{4} = 11,5,m = 5,f = 12 \\c = 55 - 50 = 5 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c$

$\Rightarrow Q_{1} = 50 + \frac{11,5 - 5}{12}.5 \approx 53$

Câu 6: Vận dụng cao
Cho S_n = 1 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3² + … + n ⋅ 3^n − 1.

Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?
- A.
  $S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{1}{2}3^{n}$
- B.
  $S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2}3^{n}$
- C.
  $S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2}3^{n}$
- D.
  $S_{n} = - \frac{3^{n} + 1}{4} + \frac{n}{2}3^{n}$ .
Ta có 3S_n = 3 + 2.3² + 3.3³ + … + n.3ⁿ

Từ đó 2S_n = − 1 − 3 − 3² − … − 3^n − 1 + n.3ⁿ

$\Leftrightarrow 2S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{2} + n{.3}^{n}$

$\Leftrightarrow S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2} \cdot 3^{n}$
Câu 7: Vận dụng
Một cấp số nhân có $5$ số hạng, công bội q bằng $\frac{1}{4}$ số hạng thứ nhất, tổng hai số hạng đầu bằng $24$ . Xác định cấp số nhân?
- A.
  $u_{1} = 8;q = 3$
- B.
  $u_{1} = - 2;q = 2$
- C.
  $u_{1} = - 12;q = 2$
- D.
  $u_{1} = 12;q = - 3$
Theo bài ra ta có:

$u_{1} + u_{2} = u_{1} + u_{1}.q = 24$

$\Rightarrow u_{1} + \frac{1}{4}{u_{1}}^{2} = 24$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{1} = - 12;q = - 3 \\ u_{1} = 8;q = 2 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 8: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy điểm $M \in SA$ , mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $SB,AC$ . Giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ với các cạnh $AB,BC,SC,SD,BD$ lần lượt tại $N,E,F,I,J$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $MN//(SCD)$
- B.
  $EF//(ASD)$
- C.
  $NF//(SAD)$
- D.
  $JI//(SAB)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} IJ = (\alpha) \cap (SBD) \\ (\alpha)//SB \subset (SBD) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (\alpha) \cap (SBD) = IJ//SB$

Mà $SB \subset (SAB) \Rightarrow IJ//(SAB)$
Câu 9: Vận dụng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Lấy điểm $M \in SA$ sao cho $\frac{MA}{MS} = 2$ . Hình chiếu của điểm $S$ qua phép chiếu song song phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ là điểm $N$ . Khi đó tỉ số độ dài $\frac{CN}{CA}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{CN}{CA} = 3$
- C.
  $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$
- D.
  $\frac{CN}{CA} = 1$
Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương $MO$ mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ biến điểm $S$ thành điểm $N$ .

Do đó: $SN//MO \Rightarrow N \in AC$

Xét tam giác $SAN$ ta có: $\frac{ON}{OA} = \frac{SM}{MA} = \frac{1}{2}$

=> $N$ là trung điểm của $OC$

Từ đó suy ra $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{4}$
Câu 10: Nhận biết
Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
- A.
  $1; 2;3;4;5$ .
- B.
  $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ .
- C.
  $1; - 1; 1;- 1;1$ .
- D.
  $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ .
Dãy $1;\ \ 2;\ \ 4;\ \ 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = 2$ .

Dãy $1; - 1; 1; - 1;1$ là cấp số nhân với công bội $q = - 1$ .

Dãy $1;\ \ - 2;\ \ 4;\ \ - 8;\ \ 16$ là cấp số nhân với công bội $q = - 2$ .

Dãy $1;2;3; 4;5$ là cấp số cộng với công sai $d = 1$ .
Câu 11: Nhận biết
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)
Số học sinh
5
9
12
10
6
Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên?
- A.
  $\lbrack 40;60)$
- B.
  $\lbrack20;40)$
- C.
  $\lbrack 60;80)$
- D.
  $\lbrack 80;100)$
Ta có:
Điểm
[0; 20)
[20; 40)
[40; 60)
[60; 80)
[80; 100)

Số học sinh
5
9
12
10
6
N = 42
Tần số tích lũy
5
14
26
36
42

Cỡ mẫu $N = 42 \Rightarrow \frac{N}{4} =10,5$
=> Nhóm chứa $Q_{1}$ là [20; 40)
(Vì 10,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 5 và 14)
Câu 12: Nhận biết
Xác định giới hạn $D = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + 2x)^{2} - 1}{x}$
- A.
  $4$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có:

$D = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + 2x)^{2} - 1}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2} + 4x}{x} = \lim_{x ightarrow 0}(4 + 4x) = 4$
Câu 13: Nhận biết
Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = |x|$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \frac{x}{|x| + 1}$
- D.
  $y = \frac{x}{x + 1}$
Hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$ nên hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho
(a) $k ∈ \mathbb{ Q}$
(b) $n ∈ \mathbb{Q} => n + 1 ∈ \mathbb{Q} ,∀ n ≥ k.$
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  Mọi số nguyên dương đều thuộc $\mathbb{Q}$
- B.
  Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc $\mathbb{Q}$
- C.
  Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc $\mathbb{Q}$
- D.
  Mọi số nguyên đều thuộc $\mathbb{Q}$
Mệnh đề " Mọi số nguyên dương đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai vì $\mathbb{Q}$ là tập con thực sự của $\mathbb{N^*}$ nên tồn tại số nguyên dương không thuộc $\mathbb{Q}$ .
Mệnh đề "Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc $\mathbb{Q}$ " đúng theo lí thuyết của phương pháp quy nạp.
Mệnh đề "Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai theo giả thiết thì phải là số tự nhiên lớn hơn $k \in \mathbb{Q}$ .
Mệnh đề "Mọi số nguyên đều thuộc $\mathbb{Q}$ " sai vì số nguyên âm không thuộc $\mathbb{Q}$ .
Câu 15: Thông hiểu
Giá trị của $C =\lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n + 1)^{2}}$ bằng:
- A.
  $+ \infty$
- B.
  $- \infty$
- C.
  $\frac 1 4$
- D.
  1
$C = \lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n +1)^{2}}$

$= \lim\frac{n^{3} + 1}{n(4n^{2} + 4n +1)} = \lim\frac{n^{3} + 1}{4n^{3} + 4n^{2} + n}$

$= \lim\frac{1 + \dfrac{1}{n^{3}}}{4 +\dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{4}$
Câu 16: Thông hiểu
Tính giới hạn $N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}$ .
- A.
  $N = - \frac{2}{3}$
- B.
  $N = \frac{2}{3}$
- C.
  $N = \frac{4}{3}$
- D.
  $N = 0$
Ta có:

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x + 1} - 1}{x^{2} - 3x}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x + 1} - 1 ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}{\left( x^{2} - 3x ight)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{x(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4}{(x - 3)\left( \sqrt{4x + 1} + 1 ight)}$

$N = - \frac{2}{3}$
Câu 17: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)=x^{3}-3x-1$ . Số nghiệm của phương trình $f(x) =0$ trên $\mathbb{R}$ là:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  2
- D.
  3
Hàm số $f(x)=x^{3}-3x-1$ là hàm đa thức có tập xác định là $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$
=> Hàm số liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - 2; - 1} ight),\left( { - 1;0} ight),\left( {0;2} ight)$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 2} ight) = - 3} \\ {f\left( { - 1} ight) = 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( { - 2} ight).f\left( { - 1} ight) < 0$ => Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( { - 2; - 1} ight)$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} ight) = 1} \\ {f\left( 0 ight) = - 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( { - 1} ight).f\left( 0 ight) < 0$ => Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( { - 1; 0} ight)$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 2 ight) = 1} \\ {f\left( 0 ight) = - 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( 2 ight).f\left( 0 ight) < 0$ => Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( { 0; 2} ight)$
Vậy phương trình $f(x) =0$ có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng $\left( { -2; 2} ight)$
Mặt khác phương trình $f(x) =0$ là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm
=> Phương trình $f(x) =0$ có đúng ba nghiệm trên $\mathbb{R}$
Câu 18: Thông hiểu
Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai?
- A.
  $u_{1}.u_{15} =u_{2}.u_{14}$
- B.
  $u_{1}.u_{15} =u_{5}.u_{11}$
- C.
  $u_{1}.u_{15} = u_{6}.u_{9}$
- D.
  $u_{1}.u_{15} =u_{12}.u_{4}$
Ta có: $u_{1}.u_{15} = u_{1}.u_{1}.q^{14}= \left( u_{1}.q^{a - 1} ight).\left( u_{1}.q^{b - 1} ight) =u_{a}.u_{b}$
Với $a + b = 16$
Đáp án sai $u_{1}.u_{15} =u_{6}.u_{9}$
Câu 19: Nhận biết
Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11D.
Khoảng chiều cao (cm)
[145; 150)
[150; 155)
[155; 160)
[160; 165)
[165; 170)
Số học sinh
6
12
13
9
10
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $12$
- D.
  $10$
Quan sát bảng số liệu ta thấy mẫu số liệu có 5 nhóm.
Câu 20: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $M$ là trung điểm của $AB$ , $BC \cap (MA'C') = \left\{ N ight\}$ . Tính tỉ số độ dài hai cạnh $MN$ và $A'C'$ .
- A.
  $\frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{MN}{A'C'} = \frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{MN}{A'C'} = 1$
Hình vẽ minh họa

Ba mặt phẳng phân biệt $(ABCD), (ACC’A’), (MA’C’)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến $AC, A’C’$ và $MN$ .

Theo tính chất hình hộp ta có $AC // A’C’$ nên $MN // AC // A’C’$

Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC.

Vậy $MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}A'C'$ hay $\frac{MN}{A'C'} = \frac{1}{2}$ .
Câu 21: Vận dụng
Biết $\lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ . Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\tan x}{x}\ khi\ x eq 0 \\0\ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\\end{matrix} ight.$ liên tục trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)$
- B.
  $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3} ight)$
- C.
  $\left( - \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4} ight)$
- D.
  $( - \infty; + \infty)$
Tập xác định: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$ có nghĩa là

$D = \underset{k\mathbb{\in Z}}{\cup}\left( \frac{\pi}{2} + k\pi;\frac{3\pi}{2} + k\pi ight) = ... \cup \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight) \cup \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight) \cup ...$

Khi đó

$\lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\tan x}{x}$

$= \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sin x}{x}.\frac{1}{\cos x} = 1.\frac{1}{cos0} = 1 eq 0 = f(0)$
Câu 22: Vận dụng cao
Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn $\lbrack0;\pibrack$ . Các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD là hình chữ nhật và $CD = \frac{2\pi}{3}$ . Tính độ dài cạnh BC.
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Gọi $A\left( {a;\sin a} ight) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_B} = a + \dfrac{{2\pi }}{3}} \\ {{y_B} = \sin \left( {a + \dfrac{{2\pi }}{3}} ight)} \end{array}} ight.$
Mặt khác
$\begin{matrix} {y_A} = {y_B} \Rightarrow \sin a = \sin \left( {a + \dfrac{{2\pi }}{3}} ight) \hfill \\ \Rightarrow a = \pi - a - \dfrac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \Rightarrow a = \dfrac{\pi }{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Do đó $BC = AD = \sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}$
Câu 23: Nhận biết
Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
- A. Tam giác.
- B. Tứ giác.
- C. Lục giác.
- D. Ngũ giác.
Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.
Câu 24: Vận dụng cao
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm của hình lập phương và song song với $(ABC)$ . Xác định các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ . Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{a^{2}}{3}$
- B.
  $\frac{2a^{2}}{3}$
- C.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\NP = MQ = \dfrac{1}{2}B'D' = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.$

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và tứ diện $AB'CD'$ là hình thoi MNPQ cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mặt khác $NQ = MP = BC = a$

Diện tích hình thoi MNPQ là $S = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 25: Nhận biết
Phương trình $\tan x = \tan 3x$ có nghiệm là:
- A. $x = k\pi$
- B. $x = \frac{{k\pi }}{3}$
- C. $x = \frac{{k\pi }}{2}$
- D. $x = \frac{{k\pi }}{4}$
Giải phương trình:
$\begin{matrix} \tan x = \tan 3x \hfill \\ \Leftrightarrow \tan 3x = \tan x \hfill \\ \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2};\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 26: Thông hiểu
Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0?
- A.
  $(0,999)^{n}$
- B.
  $(-1,01)^{n}$
- C.
  $(1,01)^{n}$
- D.
  $(-2,001)^{n}$
Ta có: $\lim {(0,999)^n} = 0$
Do $(0,999)^{n}$ là dãy cấp số nhân có $\left| q ight| < 1$
Câu 27: Thông hiểu
Biết hai đường thẳng $a,b$ là hai đường thẳng chéo nhau. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$ .
- A.
  2
- B.
  1
- C.
  3
- D.
  4
Dựa vào lý thuyết đường thẳng song song với mặt phẳng.

=> Có duy nhất 1 mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$ .
Câu 28: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Trên các cạnh $AB,CD$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ làm trung điểm. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SMN)$ ?
- A.
  $SN$
- B.
  $MN$
- C.
  $SO$
- D.
  $SM$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AM//NC;(AB//CD) \\AM = NC = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{DC}{2} \\\end{matrix} ight.$ suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

Do đó AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN, hay ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Ta có: $S \in (SAC) \cap (SMN)(*)$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix} O \in (SAC);AC \subset (SAC) \\ O \in (SMN);MN \subset (SMN) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow O \in (SAC) \cap (SMN)(**)$

Từ $(*)$ và $(**) \Rightarrow (SAC) \cap (SMN) = SO$
Câu 29: Vận dụng cao
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} - 3u_{n} + 4 \\ \end{matrix};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight) ight.$ . Biết dãy số $\left( u_{n} ight)$ là dãy tăng và không bị chặn trên. Đặt $v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 1} + \frac{1}{u_{2} - 1} + \frac{1}{u_{3} - 1} + ... + \frac{1}{u_{n} - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Tính $\lim_{n ightarrow \infty}\left( v_{n} ight)$
- A.
  $- \infty$
- B.
  $+ \infty$
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Ta có: $u_{n + 1} = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 4$

$\Rightarrow u_{n + 1} - 2 = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 2 = \left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{\left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n} - 1}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n} - 1} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$\Rightarrow v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{2} - 2} + \frac{1}{u_{2} - 2} - \frac{1}{u_{3} - 2}$

$+ \cdots + \frac{1}{u_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$= \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}$

$\Rightarrow \lim_{x ightarrow + \infty}v_{n} = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2} ight) = \frac{1}{u_{1} - 2} = 1$
Câu 30: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12$ . Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12$ . Tính giới hạn $\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 31: Thông hiểu
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để ba số $a^{4};a^{2};3a^{2} - 9$ lập thành một cấp số cộng?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Để ba số $a^{4};a^{2};3a^{2} - 9$ lập thành một cấp số cộng thì $a^{4} + 3a^{2} - 9 = 2a^{2}$

Đặt $t = a^{2};(t \geq 0)$ phương trình trở thành

$t^{2} + t - 9 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = \dfrac{- 1 + \sqrt{37}}{2} \\t = \dfrac{- 1 - \sqrt{37}}{2}(l) \\\end{matrix} ight.$

Với $t = \frac{- 1 + \sqrt{37}}{2} \Rightarrow a = \pm \sqrt{\frac{- 1 + \sqrt{37}}{2}}$

Do $a\mathbb{\in Z}$ vậy không có giá trị nào của a thỏa mãn yêu cầu để bài.
Câu 32: Thông hiểu

Biết giới hạn $\lim\frac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} = a$ và $\lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = b$ . Khi đó:

a) $\lim\left( - 3n^{2} + \frac{1}{n} ight) = a$ Đúng||Sai

b) $x = b$ là hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = 2x$ với trục hoành Đúng||Sai

c) $\lim\left( \frac{1}{2024} ight)^{n} = b$ Đúng||Sai

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = \frac{1}{2}$ và $u_{1} = b$ , thì $u_{3} = 2$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Biết giới hạn $\lim\frac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} = a$ và $\lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = b$ . Khi đó:

a) $\lim\left( - 3n^{2} + \frac{1}{n} ight) = a$ Đúng||Sai

b) $x = b$ là hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = 2x$ với trục hoành Đúng||Sai

c) $\lim\left( \frac{1}{2024} ight)^{n} = b$ Đúng||Sai

d) Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với công sai $d = \frac{1}{2}$ và $u_{1} = b$ , thì $u_{3} = 2$ Sai||Đúng

Ta có:

$\lim\dfrac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} =\lim\dfrac{n\left( - 3n^{2} + \dfrac{1}{n} ight)}{n\left( 2 +\dfrac{5}{n} ight)}$

$= \lim\dfrac{- 3n^{2} + \dfrac{1}{n}}{2 +\dfrac{5}{n}} = - \infty$

Do $\left\{ \begin{matrix}\lim\left( - 3n^{2} + \dfrac{1}{n} ight) = - \infty \\\lim\left( 2 + \dfrac{5}{n} ight) = 2 \\\end{matrix} ight.$

$\lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 25^{n}}$

$= \lim \dfrac{{{{25}^n} \cdot {{\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} ight)}^n}}}{{{{25}^n}\left[ {{{\left( {\dfrac{2}{{25}}} ight)}^n} + 1} ight]}}$ $= \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} ight)}^n}}}{{{{\left( {\dfrac{2}{{25}}} ight)}^n} + 1}} = 0$

Kết luận:

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai
Câu 33: Nhận biết
Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây? (Biết các biểu thức đều xác định).
- A.
  $1 + \cot^{2}x =\frac{1}{\cos^{2}x}$
- B.
  $1 + \tan^{2}x = -\frac{1}{\sin^{2}x}$
- C.
  $\tan x + \cot x = 1$
- D.
  $\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$
Công thức đúng là:

$\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$
Câu 34: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
Tần số
[150; 155)
15
[155; 160)
10
[160; 165)
40
[165; 170)
27
[170; 175)
5
[175; 180)
3
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm?
- A.
  $167,52$
- B.
  $166,34$
- C.
  $167,97$
- D.
  $166,85$
Ta có:
Đối tượng
Tần số
Tần số tích lũy
[150; 155)
15
15
[155; 160)
11
26
[160; 165)
39
65
[165; 170)
27
92
[170; 175)
5
97
[175; 180)
3
100
Cỡ mẫu là: $N = 100$
$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$
Khi đó tứ phân vị thứ ba là:
$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c$ $= 165 + \frac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$
Câu 35: Nhận biết
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = - 5$ và $d = 3.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $u_{15} = 34.$
- B.
  $u_{15} = 45.$
- C.
  $u_{13} = 31.$
- D.
  $u_{10} = 35.$
Ta có

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 5 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{CTTQ}{ightarrow}u_{13} = u_{1} + (13 - 1)d = - 5 + 3(13 - 1) = 31$
Câu 36: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD là hình bình hành tâm O. gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNC) và (ABD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?
- A.
  OA
- B.
  OM
- C.
  OC
- D.
  CD
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác SAB có:
M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
=> MN là đường trung bình của tam giác SAB
$MN // AB$
Mà $AB // CD$ (ABCD là hình bình hành)
=> $MN // CD$
Mặt phẳng (MNC) và (ABD) (hay (ABCD)) lần lượt chứa hai đường thẳng MN và CD song song với nhau và điểm C chung
=> Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung C và song song với AB là đường thẳng CD
Hay $(MNC) \cap (ABD) =CD$
Câu 37: Thông hiểu
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng
[160; 164)
[164; 168)
[168; 172)
[172; 174)
Tần số
8
$x$
12
6
Biết rằng nhóm dữ liệu có giá trị đại diện là 166 chiếm 60% tổng tần số của mẫu dữ liệu. Tìm giá trị của $x$ ?
- A.
  39
- B.
  45
- C.
  40
- D. 32
Nhóm số liệu có độ dài 166 là: [164; 168)
Theo bài ra ta có:
$\frac{x.100\%}{8 + 12 + x + 6} = 60\%\Rightarrow x = 39$
Câu 38: Vận dụng
Cho hai hàm số $f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x};g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  f(x) lẻ và g(x) chẵn
- B.
  f(x) và g(x) chẵn
- C.
  f(x) chẵn và g(x) lẻ
- D.
  f(x) và g(x) lẻ
Xét hàm số $f(x) = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x}$ có tập xác định $D=\mathbb{ R}$

Với mọi x thuộc D => -x thuộc D ta có:

$f( - x) = \frac{\cos( - 2x)}{1 + sin^{2}( - 3x)} = \frac{cos2x}{1 + sin^{2}3x} = f(x)$

Vậy f(x) là hàm số chẵn

Tương tự xét hàm số $g(x) = \frac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x};D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$

Với mọi x thuộc D => -x thuộc D ta có:

$\begin{matrix}g( - x) = \dfrac{\left| \sin( - 2x) ight| - \cos( - 3x)}{2 + tan^{2}( -x)}\hfill \\= \dfrac{|sin2x| - cos3x}{2 + tan^{2}x} = g(x) \hfill\\\end{matrix}$

Vậy g(x) là hàm số chẵn.
Câu 39: Nhận biết
Trong không gian, cho ba đường thẳng $m,n,t$ không đồng phẳng đôi một cắt nhau. Tìm số giao điểm phân biệt của ba đường thẳng.
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $6$
- D.
  $2$
Giả sử ba đường thẳng $m,n,t$ đôi một cắt lần lượt $M,N,T$ phân biệt và tạo thành mặt phẳng $(MNT)$ .

=> $m,n,t$ cùng nằm trên một mặt phẳng (trái giả thiết).

=> $M,N,T$ trùng nhau, tức là $m,n,t$ đồng quy.

Vậy có duy nhất một giao điểm phân biệt của ba đường thẳng đã cho.
Câu 40: Nhận biết
Trên đường tròn bán kính 15dm, cho cung tròn có độ dài $l = 25\pi(dm)$ . Số đo của cung tròn đó là:
- A.
  $\frac{5\pi}{6}$
- B.
  $\frac{3}{5}$
- C.
  $\frac{10\pi}{3}$
- D.
  $\frac{5\pi}{3}$
Độ dài cung tròn là: $l = R.\alpha$

=> $\alpha = \frac{l}{R} = \frac{25\pi}{15} = \frac{5\pi}{3}$
Câu 41: Thông hiểu
Phương trình $\cos\frac{\pi}{3} = \cos x$ có nghiệm là:
- A.
  $x = \frac{2\pi}{3} +k2\pi$
- B.
  $x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$
- C.
  $x = \pm \frac{\pi}{3} +k2\pi$
- D.
  $x = \frac{\pi}{3} +k2\pi$
Ta có:
$\cos\frac{\pi}{3} = \cos x$
$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} +k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$
Câu 42: Vận dụng
Cho công thức $y = 3sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) + 13$ biểu thị số giờ có ánh sáng mặt trời tại thành phố A, với $1 \leq x \leq 365$ là số ngày trong năm. Ngày nào sau đây của năm thì số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố A đạt giá trị lớn nhất.
- A.
  $30/01$ .
- B.
  $29/01$ .
- C.
  $31/01$ .
- D.
  $30/03$ .
Để số giờ có ánh sáng mặt trời lớn nhất thì hàm số $y = 3sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) + 13$ đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó $sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) = 1 \Leftrightarrow x = 30 + k360,k \in Z$ .

Vì $1 \leq x \leq 365$ nên ta có $1 \leq 30 + k360 \leq 365 \Leftrightarrow - 0,08 \leq k \leq 0,93 \Rightarrow k = 0$ .

Do đó $x = 30$ (tháng đầu tiên của năm)
Câu 43: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm $A$ theo phương $CD$ lên mặt phẳng $(SBC)$ là điểm nào sau đây?
- A.
  $S$ .
- B.
  Trung điểm của $BC$ .
- C.
  $B$ .
- D.
  $C$ .
Hình vẽ minh họa

Do $AB \cap (SBC) = \left\{ B ight\}$ suy ra hình chiếu song song của điểm $A$ theo phương $CD\ \ (CD//AB)$ lên mặt phẳng $(SBC)$ là điểm $B$ .
Câu 44: Nhận biết
Hàm số $y = \tan\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight)$ có tập xác định là gì?
- A.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- B.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{8} + k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- C.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{2} + k2\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$
Hàm số $y = \tan\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight)$ xác định khi

$2x - \frac{\pi}{4} eq \frac{\pi}{2} + k\pi$

$\Rightarrow x eq \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy tập xác định của hàm số $y = \tan\left( 2x - \frac{\pi}{4} ight)$ là: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2},k\mathbb{\in Z} ight\}$ .
Câu 45: Nhận biết
Trong các dãy số sau, dãy số nào lập thành một cấp số cộng?
- A. 1; -3; -7; -11; -15; …
- B. 1; -3; -6; -9; -12; …
- C. 1; -2; -4; -6; -8; …
- D. 1; -3; -5; -7; -9; …
Xét đáp án A: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u₂ – u₁ = u₃ – u₂ = u₄ – u₃ = -4 => Chọn đáp án A
Xét đáp án B: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u₂ – u₁ = -4 ≠ u₃ – u₂ = -3 => Loại đáp án B
Xét đáp án C: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u₂ – u₁ = -3 ≠ u₃ – u₂ = -2 => Loại đáp án C
Xét đáp án D: 1; -3; -7; -11; -15; …
=> u₂ – u₁ = -4 ≠ u₃ – u₂ = -2 => Loại đáp án D