Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh Diều Đề 1

Câu 1: Nhận biết

Lớp 11A chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp để tham gia hoạt động đoàn trường. Xét hai biến cố:

Biến cố A: “Học sinh đó là nam”

Biến cố B: “Học sinh đó là học sinh giỏi”

Khẳng định nào sau đây đúng khi mô tả biến cố $A \cup B$ ?

A.
Học sinh đó là học sinh nam và là học sinh giỏi
B.
Học sinh đó là học sinh nam hoặc là học sinh giỏi
C.
Học sinh đó là học sinh nữ và là học sinh giỏi
D.
Học sinh đó là học sinh nữ hoặc là học sinh giỏi

Ta có:

$A \cup B$ : Học sinh đó là học sinh nam hoặc là học sinh giỏi

Câu 2: Thông hiểu

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Hãy mô tả biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất một lần qua các biến cố $M_{1};M_{2};M_{3};M_{4}$ .

A.
$M = M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cap M_{4}$
B.
$M = M_{1} \cap M_{2} \cup M_{3} \cup M_{4}$
C.
$M = M_{1} \cup M_{2} \cap M_{3} \cup M_{4}$
D.
$M = M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cup M_{4}$

Gọi M là biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất 1 lần

Khi đó $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = M_{1} \cup M_{2} \cup M_{3} \cup M_{4}$

Câu 3: Thông hiểu

Tính giá trị của biểu thức $\log_{\sqrt[6]{x}}\left(x^{\frac{7}{4}}.\sqrt[6]{y} ight)$ biết $\left\{ \begin{matrix} x,y > 0,x eq 1 \\ log_{x}y = \sqrt{2022} \\ \end{matrix} ight.$ ?

A.
$42 + \frac{\sqrt{2022}}{6}$
B.
$\frac{7}{4} + 6\sqrt{2022}$
C.
$\frac{21}{2} + \sqrt{2022}$
D.
$\frac{4}{7} + 3\sqrt{2022}$

Ta có:

$\log_{\sqrt[6]{x}}\left(x^{\frac{7}{4}}.\sqrt[6]{y} ight) = \log_{\sqrt[6]{x}}x^{\frac{7}{4}} +\log_{\sqrt[6]{x}}\sqrt[6]{y}$

$= 6.\frac{7}{4} + \sqrt{2022} = \frac{21}{2} + \sqrt{2022}$

Câu 4: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi AM, AN lần lượt là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. SC ⊥ (ANB)
B. SC ⊥ (ANC)
C. SC ⊥ (AMD)
D. SC ⊥ (AMN)

Hình vẽ minh họa:

Khẳng định đúng trong các khẳng định đã cho

Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB)

=> BC ⊥ AE

Mà AM nằm trong mặt phẳng (SAB)

Xét tam giác SAB có:

AM ⊥ SB

Mà BC ⊥ AM => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ SC

Chứng minh tương tự ta được: AN ⊥ SC

=> SC ⊥ (AMN)

Câu 5: Nhận biết

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Tính $(AB;A'C')$ ?

A.
$60^{0}$
B.
$45^{0}$
C.
$90^{0}$
D.
$30^{0}$

Hình vẽ minh họa

Vì $AB//A'B' \Rightarrow (AB;A'C') = (A'B';A'C') = \widehat{B'A'C'}$

Tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ $\Rightarrow \widehat{B'A'C'} = 45^{0}$

Vậy $(AB;A'C') = 45^{0}$ .

Câu 6: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền xu ba lần liên tiếp. Gọi D là biến cố có ít nhất hai lần gieo xuất hiện mặt sấp. Tìm biến cố đối của biến cố D?

A.
$\overline{D} = \left\{ SSN;SNS;NSS ight\}$
B.
$\overline{D} = \left\{ SSN;SNS;NSS;SSS ight\}$
C.
$\overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS ight\}$
D.
$\overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Ta có:

$\Omega = \left\{ SSS;SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Biến cố $\overline{D}$ là biến cố có đúng một lần xuất hiện mặt sấp hoặc không có lần nào xuất hiện mặt sấp.

$\Rightarrow \overline{D} = \left\{ SNN;NSN;NNS;NNN ight\}$

Câu 7: Thông hiểu

Để quyết định người chiến thắng cuộc thi người ta thực hiện gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng chất một vài lần. Người thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt 6 chấm. Tính xác suất để trong ba lần gieo, người đó thắng ít nhất 2 lần?

A.
$\frac{1}{1296}$
B.
$\frac{308}{19683}$
C.
$\frac{58}{19683}$
D.
$\frac{53}{23328}$

Xác suất để một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm là $\frac{1}{6}$

Xác suất để người chơi thắng cuộc trong một lần gieo là $C_{3}^{2}.\left( \frac{1}{2} ight)^{2}.\frac{5}{6} + \left( \frac{1}{6} ight)^{3} = \frac{2}{27}$

Xác suất để trong 3 lần gieo người đó thắng ít nhất hai lần là:

$C_{3}^{2}.\left( \frac{2}{27} ight)^{2}.\left( 1 - \frac{2}{27} ight) + \left( \frac{2}{27} ight)^{3} = \frac{308}{19683}$

Câu 8: Thông hiểu

Giả sử phương trình $\log_{\sqrt{3}}(x - 2) + \log_{3}(x - 4)^{2} =0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ với $x_{1} > x_{2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $T = \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2}=$ 2||9||-1||-7

Đáp án là:

Giả sử phương trình $\log_{\sqrt{3}}(x - 2) + \log_{3}(x - 4)^{2} =0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ với $x_{1} > x_{2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $T = \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2}=$ 2||9||-1||-7

Điều kiện xác định $\left\{ \begin{matrix}(x - 4)^{2} > 0 \\x - 2 > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq 4 \\x > 2 \\\end{matrix} ight.$

Phương trình đã cho tương đương:

$\Leftrightarrow \log_{3^{\frac{1}{2}}}(x- 2) + 2\log_{3}|x - 4| = 0$

$\Leftrightarrow 2\log_{3}(x - 2) +2\log_{3}|x - 4| = 0$

$\Leftrightarrow \log_{3}\left\lbrack (x -2).|x - 4| ightbrack = \log_{3}1$

$\Leftrightarrow (x - 2).|x - 4| =1$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}x \geq 4 \\(x - 2)(x - 4) = 1 \\\end{matrix} ight.\ \\\left\{ \begin{matrix}x < 4 \\(x - 2)(x - 4) = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}x \geq 4 \\x^{2} - 6x + 7 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \\\left\{ \begin{matrix}x < 4 \\x^{2} - 6x + 9 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = 3 + \sqrt{2} \\x_{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = 2$

Câu 9: Nhận biết

Cho hai biến cố xung khắc với nhau. Biết xác suất của hai biến cố có giá trị lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố đã cho?

A.
$\frac{7}{12}$
B.
$\frac{1}{12}$
C.
$\frac{1}{7}$
D.
$\frac{1}{2}$

Gọi hai biến cố là A, B có $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{4}$

Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

Câu 10: Nhận biết

Cho hai đường thẳng $a,b$ và mặt phẳng $(Q)$ . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?

A.
Nếu $a//(Q),b\bot(Q)$ thì $a\bot b$ .
B.
Nếu $a \subset (Q),b\bot(Q)$ thì $a\bot b$ .
C.
Nếu $a\bot(Q),b\bot a$ thì $b//(Q)$ hoặc $b \subset (Q)$ .
D.
Nếu $a//(Q),b\bot a$ thì $b\bot(Q)$ .

Mệnh đề: “Nếu $a//(Q),b\bot a$ thì $b\bot(Q)$ .” Sai vì đường thẳng b có thể nằm trong mặt phẳng (Q).

Câu 11: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ ; $SA\bot(ABCD);SA = a\sqrt{2}$ . Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các cạnh $SB;SD$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(AMN)$ .

A.
$45^{0}$
B.
$60^{0}$
C.
$30^{0}$
D.
$90^{0}$

Hình vẽ minh họa

Gọi $\left\{ \begin{matrix} AC \cap BD = O \\ SO \cap MN = I \\ AI \cap SC = P \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AN\bot(SCD) \Rightarrow AN\bot SC \\ AM\bot(SBC) \Rightarrow AM\bot SC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow SC\bot(AMN) \Rightarrow SC\bot(AMPN)$

$\Rightarrow \left( SB;(AMN) ight) = \left( SB;(AMPN) ight) = \widehat{SMP}$

Ta có: $SM = \frac{SA^{2}}{SB} = \frac{2a^{2}}{\sqrt{2a^{2} + a^{2}}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$SP = \frac{SA^{2}}{SC} = \frac{2a^{2}}{\sqrt{2a^{2} + 2a^{2}}} = a$

$\Rightarrow \sin\widehat{SMP} = \frac{SP}{SM} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \widehat{SMP} = 60^{0}$

Câu 12: Thông hiểu

Xác định các nghiệm phương trình $\log_{2}(2x - 5)^{2} = 2\log_{2}(x - 2)$ rồi tính tổng tất cả các giá trị đó ta được kết quả là: 16/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Xác định các nghiệm phương trình $\log_{2}(2x - 5)^{2} = 2\log_{2}(x - 2)$ rồi tính tổng tất cả các giá trị đó ta được kết quả là: 16/3

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Điều kiện

$\left\{ \begin{matrix} (2x - 5)^{2} > 0 \\ x - 2 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (2x - 5)^{2} > 0\forall x\mathbb{\in R} \\ x > 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow x > 2$

Ta có:

$\log_{2}(2x - 5)^{2} = 2\log_{2}(x -2)$

$\Leftrightarrow \log_{2}(2x - 5)^{2} =\log_{2}(x - 2)^{2}$

$\Leftrightarrow (2x - 5)^{2} = (x - 2)^{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}2x - 5 = x - 2 \\2x - 5 = - x + 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 3 \\x = \dfrac{7}{3} \\\end{matrix} ight.\ (tm)$

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: $S = 3 + \frac{7}{3} = \frac{16}{3}$ .

Câu 13: Thông hiểu

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc 60⁰. Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

A.
$d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
B.
$d=\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.
$d=a$
D.
$d=a\sqrt{3}$

Hình vẽ minh họa

Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

Ta có:

$\begin{matrix} {60^0} = \left( {SB;\left( {ABCD} ight)} ight) = \left( {SB;AB} ight) = \widehat {SBA} \hfill \\ \Rightarrow SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có: $AD // BC => AD // (SBC)$

=> $d(D,(SBC)) = d(A; (SBC))$

Kẻ $AK \bot SB$ (1)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot SA} \\ {BC \bot AB} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AK\left( 2 ight)$

Từ (1) và (2) => $AK \bot \left( {SBC} ight)$

$\begin{matrix} \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = AK \hfill \\ AK = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

$d\left( {D;\left( {SBC} ight)} ight) = AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Câu 14: Thông hiểu

Cho hàm số $y =f(x) = \log_{3}\left( x^{2} - 4x - m + 1 ight)$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đã $y = f(x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ ?

A.
$m \in ( - \infty; - 3)$
B.
$m \in (3; + \infty)$
C.
$m \in ( - 3; + \infty)$
D.
$m \in ( - \infty;3)$

Hàm số $y =f(x) = \log_{3}\left( x^{2} - 4x - m + 1 ight)$ xác định với mọi $x\mathbb{\in R}$ khi và chỉ khi

$x^{2} - 4x - m + 1 > 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta' < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 > 0 \\ 4 + m - 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m < - 3$

Vậy $m \in ( - \infty; - 3)$

Câu 15: Thông hiểu

Số cách sắp xếp $A;B;C;D;E;F;G$ vào một dãy ghế dài sao cho hai đầu dãy ghế là vị trí của $A$ và $G$ ?

A.
$240$
B.
$140$
C.
$260$
D.
$420$

Ta xếp A và G vào hai vị trí đầu dãy và có thể hoán đổi cho nhau nên ta có 2! cách xếp.

Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí giữa ta có 5! cách xếp.

Vậy ta có: 2!.5! = 240 cách xếp.

Câu 16: Nhận biết

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và mặt bên $SAB$ là tam giác vuông tại $S$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ .

A.
$60^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$30^{0}$
D.
$45^{0}$

Hình vẽ minh họa

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD//AB$

$\Rightarrow (SA;CD) = (SA;AB) = \widehat{SAB} = 45^{0}$

Câu 17: Nhận biết

Công thức nào tương ứng với đạo hàm cấp hai của hàm số $y = - \frac{1}{x}$ ?

A.
$\frac{2}{x^{3}}$
B.
$- \frac{2}{x^{3}}$
C.
$- \frac{2}{x^{2}}$
D.
$\frac{2}{x^{2}}$

Ta có: $y = - \frac{1}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{x^{2}}$

$\Rightarrow y'' = - \frac{\left( x^{2} ight)'}{x^{4}} = - \frac{2x}{x^{4}} = - \frac{2}{x^{3}}$

Câu 18: Nhận biết

Giả sử $\log_{2}x- 4\log_{2}b = 5\log_{2}a;(a;b > 0)$ thì giá trị của $x$ biểu diễn theo $a,b$ là:

A.
$x = a^{5}b^{4}$
B.
$x = a^{4}b^{5}$
C.
$x = 4a + 5b$
D.
$x = 5a + 4b$

Ta có:

$\log_{2}x - 4\log_{2}b =5\log_{2}a$

$\Leftrightarrow \log_{2}x = 5\log_{2}a +4\log_{2}b$

$\Leftrightarrow \log_{2}x = \log_{2}a^{5}+ \log_{2}b^{4}$

$\Leftrightarrow \log_{2}x = \log_{2}\left(a^{5}b^{4} ight) \Leftrightarrow x = a^{5}b^{4}$

Câu 19: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ , $SA = 2a;SA\bot(ABCD)$ . Xác định độ lớn khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ ?

A.
$\frac{3a}{2}$
B.
$\frac{2a}{3}$
C.
$\frac{a}{\sqrt{2}}$
D.
$\frac{a\sqrt{10}}{2}$

Hình vẽ minh họa

Gọi $O = AC \cap BD$

Kẻ $AK\bot SO;(K \in SO)(1)$

Ta có:

$SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BD(*)$

Mà $AC\bot DB(**)$

Từ (*) và (**) suy ra $DB\bot(SAC) \Rightarrow BC\bot AK(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $AK\bot(SBD) \Rightarrow d\left( A;(SBD) ight) = AK$

Xét tam giác $SAO$ vuông tại $A$ ta có: $\frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{AO^{2}} + \frac{1}{SA^{2}} = \frac{9}{4a^{2}} \Rightarrow AK = \frac{2a}{3}$

$\Rightarrow d\left( A;(SBD) ight) = \frac{2a}{3}$

Câu 20: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình $S(t) = \frac{1}{12}t^{4} - t^{3} + 6t^{2} + 10t,(t > 0)$ , $t$ tính bằng giây, $S(t)$ tính bằng mét. Tại thời điểm gia tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc bằng bao nhiêu?

Kết quả: 28 (m/s)

Đáp án là:

Một chất điểm chuyển động được biểu diễn bởi phương trình $S(t) = \frac{1}{12}t^{4} - t^{3} + 6t^{2} + 10t,(t > 0)$ , $t$ tính bằng giây, $S(t)$ tính bằng mét. Tại thời điểm gia tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc bằng bao nhiêu?

Kết quả: 28 (m/s)

Vận tốc tức thời là

$v(t) = s'(t) = \frac{1}{3}t^{3} - 3t^{2} + 12t + 10$

Gia tốc tức thời của chất điểm là:

$a(t) = v'(t) = t^{2} - 6t + 12 = (t - 3)^{2} + 3 \geq 3$

Vậy gia tốc đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 3. Khi đó vận tốc của chất điểm là $v(3) = \frac{1}{3}.(3)^{3} - 3.(3)^{2} + 12.3 + 10 = 28(m/s)$

Câu 21: Nhận biết

Tính số gia của hàm số $y = x^{2} +2$ tại điểm x₀ = 2 ứng với số gia $\Delta x = 1$

A.
$\Delta y = 13$
B.
$\Delta y = 9$
C.
$\Delta y = 5$
D.
$\Delta y = 2$

Ta có:

$\Delta y = f\left( x_{0} + \Delta xight) - f\left( x_{0} ight)$

$\Rightarrow \Delta y = f(2 + 1) -f(2)$

$\Rightarrow \Delta y = f(3) -f(2)$

$\Rightarrow \Delta y = \left( 3^{2} + 2ight) - \left( 2^{2} + 2 ight) = 5$

Câu 22: Nhận biết

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A.
$y = \left( \frac{2}{\pi} ight)^{x}$
B.
$y = \left( \frac{\pi}{3 + \sqrt{3}} ight)^{x}$
C.
$y = \left( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} ight)^{x}$
D.
$y = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} ight)^{x}$

Do $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} > 1$ nên hàm số $y = \left( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} ight)^{x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Câu 23: Vận dụng

Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình $S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10$ , trong đó $S$ tính bằng mét và $t$ tính bằng giây. Trong thời gian $5s$ kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

Kết quả: 28(m/s)

Đáp án là:

Quãng đường chuyển động của một ô tô được biểu diễn bằng phương trình $S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10$ , trong đó $S$ tính bằng mét và $t$ tính bằng giây. Trong thời gian $5s$ kể từ khi bắt đầu chuyển động, ô tô đạt vận tốc lớn nhất bằng bao nhiêu?

Kết quả: 28(m/s)

Ta có:

$S(t) = - t^{3} + 9t^{2} + t + 10$

Suy ra vận tốc của chuyển động là $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 1$

Dễ thấy hàm số $v(t)$ là hàm số bậc hai có đồ thị dạng Parabol với hệ số $a = - 3 < 0$

Ta có hoành độ đỉnh của Parabol là $t = 3 \in \lbrack 0;5brack$

Do đó $v_{\max} = v(3) = 28$

Vậy giá trị lớn nhất của vận tốc ô tô chuyển động trong 5 giây đầu là $28m/s$

Câu 24: Thông hiểu

Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $- \frac{1}{5}$
D. $- \frac{3}{5}$

Tính giá trị cos α

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a

Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.

Tương tự BH ⊥ AC.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAC} ight) \bot \left( {ABC} ight)} \\ {\left( {DAC} ight) \cap \left( {ABC} ight)} \\ {DH \bot AC} \\ {DH \subset \left( {DAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} ight)$

Gọi K là trung điểm của DB.

Ta có: ABD cân tại A nên $AK \bot BD$

Và CBD cân tại C nên $CK \bot DB$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAB} ight) \cap \left( {DBC} ight) = BD} \\ {AK \bot BD;AK \subset \left( {DAB} ight)} \\ {CK \bot BD;CK \subset \left( {DAB} ight)} \end{array}} ight.$

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.

Ta có $DH = a\sqrt 3 ;BH = a\sqrt 3$ nên BDH vuông cân tại H.

Từ đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {DB = \sqrt {D{H^2} + H{B^2}} = a\sqrt 6 } \\ {HK = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \end{array}} ight.$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AC \bot DH} \\ {AC \bot BH} \\ {DH \cap BH = H} \\ {DH;BH \subset \left( {DBH} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AC \bot \left( {DBH} ight)$ mà $HK \subset \left( {DBH} ight) \Rightarrow AC \bot HK$

Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.

Nên ta có: KH là phân giác của góc $\widehat {AKC}$ suy ra $\widehat {AKC} = 2\widehat {CKH}$

Ta có: $t = \tan \widehat {CKH} = \frac{{HC}}{{HK}} = \frac{a}{{a\sqrt 6 :3}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$

Vậy $\cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - \frac{6}{9}}}{{1 + \frac{6}{9}}} = \frac{1}{5}$

Câu 25: Vận dụng cao

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ ?

A.
$V = a^{3}$
B.
$V = 2a^{3}$
C.
$V = 3\sqrt{3}a^{3}$
D.
$V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$

Hình vẽ minh họa:

Gọi $A_{1};A_{2}$ lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

Theo đề bài ta có:

$AA_{1} = a;AA_{2} = a\sqrt{3};A_{1}A_{2} = 2a$

Dễ thấy $A{A_{1}}^{2} + A{A_{2}}^{2} = A_{1}{A_{2}}^{2}$ nên tam giác $AA_{1}A_{2}$ vuông tại A

Gọi H là trung điểm của $A_{1}A_{2} \Rightarrow AH = \frac{A_{1}A_{2}}{2} = a$

Ta lại có $MH//BB' \Rightarrow MH\bot\left( AA_{1}A_{2} ight) \Rightarrow MH\bot AH$

$\Rightarrow MH = \sqrt{AM^{2} - AH^{2}} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight) = \cos(MH,AM)$

$= \cos\widehat{HMA} = \frac{MH}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $S_{ABC} = \frac{S_{AA_{1}A_{2}}}{\cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight)} = a^{2}$

Vậy $V = AM.S_{ABC} = 2a^{3}$

Câu 26: Thông hiểu

Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Điểm I là:

A.
Trọng tâm của tam giác ABC
B.
Trực tâm của tam giác ABC
C.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
D.
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AB \bot OI} \\ {AB \bot OC} \end{array}} ight. \Rightarrow AB \bot CI$

Chứng minh tương tự ta được: $BC \bot AI$

Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.

Câu 27: Nhận biết

Công thức nào sau đây biểu diễn đúng đạo hàm của hàm số $y = \ln\left( 1 - x^{2} ight)$ ?

A.
$y' = \frac{2x}{x^{2} - 1}$
B.
$y' = \frac{- 2x}{x^{2} - 1}$
C.
$y' = \frac{1}{1 - x^{2}}$
D.
$y' = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Ta có: $y = \ln\left( 1 - x^{2} ight)$

$\Rightarrow y' = \left\lbrack \ln\left( 1 - x^{2} ight) ightbrack'$

$= \frac{- 2x}{1 - x^{2}} = \frac{2x}{x^{2} - 1}$

Câu 28: Thông hiểu

Cho hai tập hợp A = {a, b, c, d}; B = {c, d, e}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định
sau:

A. N(A) = 4
B. N(B) = 3
C. N(A ∪ B) = 7
D. N(A ∩ B) = 2

N(A) = 4 => Khẳng định đúng

N(B) = 3 => Khẳng định đúng

A ∩ B = {c, d} => N(A ∩ B) = 2 là khẳng định đúng

A ∪ B = {a, b, c, e} => N(A ∪ B) = 4 => Khẳng định sai là N(A ∪ B) = 7

Câu 29: Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
AC ⊥ (SCD)
B.
AC ⊥ (SBD)
C.
AC ⊥ (SBC)
D.
AC ⊥ (SAB)

Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)$

Câu 30: Nhận biết

Hai người đi săn cùng bắn vào một con mồi. Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng con mồi. B là biến cố người thứ hai bắn trúng con mồi. Mối quan hệ giữa hai biến cố A và B là:

A.
hai biến cố độc lập với nhau
B.
hai biến cố xung khắc với nhau
C.
hai biến cố đối của nhau
D.
hai biến cố không độc lập với nhau.

Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập vì việc người thứ nhất bắn trúng con mồi không phụ thuộc vào người thứ hai bắn trúng con mồi.

Câu 31: Thông hiểu

Cho hai thùng giấy đựng các viên bi trong đó:

Thùng 1 chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh.

Thùng 2 chứa 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh.

Lấy ngẫu nhiên 1 viên trong mỗi thùng. Gọi A là biến cố “Hai viên bi lấy được cùng màu”. Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: 88

Đáp án là:

Cho hai thùng giấy đựng các viên bi trong đó:

Thùng 1 chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh.

Thùng 2 chứa 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh.

Lấy ngẫu nhiên 1 viên trong mỗi thùng. Gọi A là biến cố “Hai viên bi lấy được cùng màu”. Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: 88

Ta có các kết quả thuận lợi cho biến cố A như sau:

Thùng 1 lấy ra 1 viên bi trắng, thùng 2 lấy được 1 viên bi trắng có: $C_{4}^{1}C_{7}^{1}$ cách.

Thùng 1 lấy ra 1 viên bi đỏ, thùng 2 lấy được 1 viên bi đỏ có: $C_{5}^{1}C_{6}^{1}$ cách.

Thùng 1 lấy ra 1 viên bi xanh, thùng 2 lấy được 1 viên bi xanh có: $C_{6}^{1}C_{5}^{1}$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là: $n(A) = C_{4}^{1}C_{7}^{1} + C_{5}^{1}C_{6}^{1} + C_{6}^{1}C_{5}^{1} = 88$

Câu 32: Vận dụng

Tuấn làm một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu gồm 4 phương án và chỉ có 1 phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 2 điểm. Tuấn chọn ngẫu nghiên đáp án cho 10 câu hỏi. Xác suất để Tú thi được không quá 1 điểm?

A.
$0,7759$
B.
$0,7336$
C.
$0,7124$
D.
$0,783$

Xác suất trả lời đúng trong một câu là: $\frac{1}{4}$

Xác suất trả lời sai trong một câu là: $\frac{3}{4}$

Gọi x là số câu Tuấn trả lời đúng.

Theo đều bài ra ta có Tuấn thi được không quá 1 điểm suy ra

$5x - 2(10 - x) \leq 1 \Leftrightarrow 7x \leq 21 \Leftrightarrow x \leq 3$

Do đó Tuấn cần trả lời đúng không quá 3 câu

TH1: Học sinh trả lời đúng 3 câu: $P_{1} = C_{10}^{3}.\left( \frac{1}{4} ight)^{3}.\left( \frac{3}{4} ight)^{7}$

TH2: Học sinh trả lời đúng 2 câu: $P_{2} = C_{10}^{2}.\left( \frac{1}{4} ight)^{2}.\left( \frac{3}{4} ight)^{8}$

TH3: Học sinh trả lời đúng 1 câu: $P_{3} = C_{10}^{1}.\left( \frac{1}{4} ight)^{1}.\left( \frac{3}{4} ight)^{9}$

TH4: Học sinh trả lời không đúng câu nào: $P_{4} = \left( \frac{3}{4} ight)^{10}$

Vậy xác suất cần tìm là $P(A) = P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} \approx 0,7759$

Câu 33: Nhận biết

Rút gọn biểu thức: $D = x^{\frac{2}{5}}.\sqrt[6]{x}$ với $x > 0$ ta được kết quả là:

A.
$D = x^{\frac{1}{15}}$
B.
$D = x^{\frac{17}{15}}$
C.
$D = x^{\frac{17}{30}}$
D.
$D = \sqrt{x}$

Ta có: $D = x^{\frac{2}{5}}.\sqrt[6]{x} = x^{\frac{2}{5}}.x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{2}{5} + \frac{1}{6}} = x^{\frac{17}{30}}$ .

Câu 34: Thông hiểu

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C):y = \frac{2x + 1}{x + 2}$ song song với đường thẳng $3x - y + 2 = 0$ ?

A.
$y = 3x + 3$
B.
$y = 3x - 2$
C.
$y = 3x + 14$
D.
$y = 3x + 5$

Ta có: $y' = \frac{3}{(x + 2)^{2}}$

Vì tiếp tuyến song song với $3x - y + 2 = 0$ nên hệ số góc bằng 3 nên gọi tọa độ tiếp điểm là $M\left( x_{0};y_{0} ight)$

Khi đó $y'\left( x_{0} ight) = 3 \Leftrightarrow \frac{3}{\left( x_{0} + 2 ight)^{2}} = 3$

$\Leftrightarrow \left( x_{0} + 2 ight)^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = - 1 \\ x_{0} = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Với $x_{0} = - 1 \Rightarrow (d):y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2$

Với $x_{0} = - 3 \Rightarrow (d):y = 3(x + 3) + 5 = 3x + 14$

Câu 35: Nhận biết

Giả sử có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?

A. 35
B. 30240
C. 210
D. 21

Số cách xếp bảy bông hoa khác nhau vào ba lọ hoa khác nhau là số chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.

=> Có $A_7^3 = 210$ cách.

Câu 36: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết: $AB = a,AD = SA = a\sqrt 3$ . Hai bên mặt SAB và SAD vuông tại a. Gọi μ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Tính cosμ?

A. $\cos \mu = \frac{1}{3}$
B. $\cos \mu = \frac{1}{4}$
C. $\cos \mu = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$
D. $\cos \mu = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Hình vẽ minh họa:

Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC

Ta có:

$\begin{matrix} \cos \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{SB.AC}} = \dfrac{{\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} }}{{4{a^2}}} \hfill \\ \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} } ight).\overrightarrow {AC} \hfill \\ = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \hfill \\ \end{matrix}$

Ta lại có:

$\begin{matrix} \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AS} .\left( {m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} } ight) = 0 \hfill \\ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2.2a.\cos {60^0} = {a^2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {AC} } ight) = \frac{1}{4} \hfill \\ \Rightarrow \cos \mu = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 37: Nhận biết

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có $SA\bot(ABCD)$ và đáy là hình vuông. Chọn kết luận đúng?

A.
$BC\bot(SAB)$
B.
$AC\bot(SAD)$
C.
$AC\bot(SBD)$
D.
$AC\bot(SAB)$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SA\bot BC \\ AB\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)$

Câu 38: Vận dụng cao

Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn $\ln x + \ln y \geq \ln\left( x^{2} + y ight)$ . Tính giá trị nhỏ nhất của $N = x + y$ ?

A.
$N_{\min} = 2 + 3\sqrt{2}$
B.
$N_{\min} = 6$
C.
$N_{\min} = 2\sqrt{2} + 3$
D.
$N_{\min} = \sqrt{17} + + \sqrt{3}$

Ta có:

$\ln x + \ln y \geq \ln\left( x^{2} + y ight)$

$\Leftrightarrow xy \geq x^{2} + y$

$\Leftrightarrow y(x - 1) \geq x^{2}$

Nếu $0 < x \leq 1 \Rightarrow y \geq xy \geq x^{2} + y \Rightarrow 0 \geq x^{2}(ktm)$

Nếu $x > 1$ thì $(x - 1)y \geq x^{2}$

$\Leftrightarrow y \geq \frac{x^{2}}{x - 1} \Rightarrow N = x + y \geq x + \frac{x^{2}}{x - 1}$

Xét hàm số $f(x) = x + \frac{x^{2}}{x - 1};\ \left( \forall x \in (1; + \infty) ight)$ ta có:

$f'(x) = \frac{2x^{2} - 4x + 1}{x^{2} - 2x + 1}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}(ktm) \\x = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2}(tm) \\\end{matrix} ight.$

Lập bảng biến thiên ta suy ra được

$\underset{(1; + \infty)}{\min f(x)} = f\left( \frac{2 + \sqrt{2}}{2} ight) = 2\sqrt{2} + 3$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $N = x + y = 2\sqrt{2} + 3$ .

Câu 39: Vận dụng

Đầu mỗi tháng cô H gửi vào ngân hàng 4 triệu đồng với lãi suất kép là 0,5% mỗi tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì cô H có được số tiền cả lãi và gốc nhiều hơn 100 triệu, biết lãi suất không đổi trong quá trình gửi.

A.
$24$ tháng
B.
$25$ tháng
C.
$26$ tháng
D.
$27$ tháng

Ta có: $T = \frac{M}{r}\left\lbrack (1 +r)^{n} - 1 ightbrack(1 + r)$

Giả sử sau n tháng sau anh A nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu, khi đó ta có:

$\frac{4}{0,5\%}\left\lbrack (1 +0,5\%)^{n} - 1 ightbrack(1 + 0,5\%) > 100$

$\Rightarrow n > 23,5$

Vậy cần ít nhất 24 tháng để cô H có được số tiền cả lãi và gốc nhiều hơn 100 triệu.

Câu 40: Thông hiểu

Cho hai động cơ hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động cơ 1 chạy tốt là $0,8$ và xác suất để động cơ 2 chạy tốt là $0,7$ . Tìm xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.

Đáp án: 0,94

(Ghi đáp án dưới dạng số thập phân)

Đáp án là:

Cho hai động cơ hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động cơ 1 chạy tốt là $0,8$ và xác suất để động cơ 2 chạy tốt là $0,7$ . Tìm xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt.

Đáp án: 0,94

(Ghi đáp án dưới dạng số thập phân)

Gọi A là biến cố có ít nhất một động cơ chạy tốt

B là biến cố chỉ có động cơ 1 chạy tốt.

$P(B) = 0,8(1 - 0,7) = 0,24$