Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh Diều Đề 3

Câu 1: Thông hiểu

Ba xạ thủ cùng bắn vào một bia đỡ một cách độc lập. Xác suất để người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba bắn trúng hồng tâm lần lượt là $0,5;0,6;0,8$ . Xác suất để có đúng hai người bắn trúng hồng tâm là: 0,46||0,24||0,92||0,96

Đáp án là:

Ba xạ thủ cùng bắn vào một bia đỡ một cách độc lập. Xác suất để người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba bắn trúng hồng tâm lần lượt là $0,5;0,6;0,8$ . Xác suất để có đúng hai người bắn trúng hồng tâm là: 0,46||0,24||0,92||0,96

Từ giả thiết suy ra xác suất để người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba không bắn trúng hồng tâm lần lượt là $0,5;0,4;0,2$ .

Để có đúng 2 người bắn trúng hồng tâm ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1

+ Người thứ nhất bắn trúng

+ Người thứ hai bắn trúng

+ Người thứ ba không trúng

Xác suất: $0,5.0,6.0,2$

Trường hợp 2

+ Người thứ nhất bắn trúng

+ Người thứ hai không bắn trúng

+ Người thứ ba bắn trúng

Xác suất: $0,5.0,4.0,8$

Trường hợp 3

+ Người thứ nhất không bắn trúng

+ Người thứ hai bắn trúng

+ Người thứ ba bắn trúng

Xác suất: $0,5.0,6.0,8$

Vậy xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích là

$0,5.0,6.0,2 + 0,5.0,4.0,8 + 0,5.0,6.0,8 = 0,46$

Câu 2: Nhận biết

Công thức tính thể tích $V$ của khối nón có bán kính $r$ và chiều cao $h$ là:

A.
$V = \frac{1}{3}\pi rh$
B.
$V = \pi rh$
C.
$V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$
D.
$V = \pi r^{2}h$

Công thức tính thể tích là: $V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Câu 3: Thông hiểu

Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số $y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$ là:

A.
$- \frac{120}{(x + 1)^{6}}$
B.
$\frac{120}{(x + 1)^{6}}$
C.
$\frac{60}{(x + 1)^{6}}$
D.
$- \frac{60}{(x + 1)^{6}}$

Ta có:

$y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1}$

$\Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{(x + 1)^{2}}$

$\Rightarrow y'' = \frac{2}{(x + 1)^{3}} \Rightarrow y^{(3)} = \frac{- 6}{(x + 1)^{4}}$

$\Rightarrow y^{(4)} = \frac{24}{(x + 1)^{5}} \Rightarrow y^{(5)} = - \frac{120}{(x + 1)^{6}}$

Câu 4: Nhận biết

Tìm hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ trong các hàm số dưới đây?

A.
$y = \left( \frac{\pi}{2} ight)^{x}$
B.
$y = \left( 3 - \sqrt{5} ight)^{x}$
C.
$y = \left( \sqrt{3} - 1 ight)^{x}$
D.
$y = \left( \frac{e}{5} ight)^{x}$

Xét hàm số $y = \left( \frac{\pi}{2} ight)^{x}$ có $\frac{\pi}{2} > 1$ nên hàm số $y = \left( \frac{\pi}{2} ight)^{x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

Câu 5: Nhận biết

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ vuông tại $B$ , $SA\bot(ABC)$ . Khi đó:

A.
$CB\bot(SAB)$
B.
$SA\bot(SBC)$
C.
$AC\bot(ABS)$
D.
$CB\bot(ASC)$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} CB\bot SA \\ CB\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CB\bot(SAB)$

Câu 6: Thông hiểu

Cho đồ thị hàm số $(C):y = x^{4} - 3x^{3} + 2x^{2} - 1$ . Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc $k = 7$ ?

A.
$3$
B.
$1$
C.
$2$
D.
$4$

Ta có:

$y' = 4x^{3} - 9x^{2} + 4x$

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $4x^{3} - 9x^{2} + 4x = 7$

Phương trình có 1 nghiệm nên có 1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7

Câu 7: Thông hiểu

Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ vuông tại $a$ . Giả sử $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $(BCC'B')$ . Biết rằng $AB = a\sqrt{3};AC = AA' = a$ . Kết luận nào sau đây đúng?

A.
$\sin\alpha = \frac{\sqrt{10}}{4}$
B.
$\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$
C.
$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$
D.
$\sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Hình vẽ minh họa

Hạ $AH\bot BC$ ta có: $AH\bot(BCC'B')$

$\Rightarrow \left( AC';(BCC'B') ight) = \widehat{AC'H}$

Trong tam giác $ABC$ có:

$\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} = \frac{4}{3a^{2}}$

$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \sin\widehat{AC'H} = \frac{AH}{AC'} = \frac{a\sqrt{3}}{2a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$\Rightarrow \sin\alpha = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Câu 8: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm của AC, H là hình chiếu của I trên SC. Kí hiệu d(a, b) là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
d(BI, SC) = IH
B.
d(AB, SC) = BH
C.
d(SB, AC) = AB
D.
d(SA, BC) = AB

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} SA\bot BC \\ AB\bot SA \\ AB\bot BC \\ \end{matrix} ight.$ => d(SA, BC) = AB

Câu 9: Thông hiểu

Phương trình $3\log_{3}(x - 1) - \log_{\frac{1}{3}}(x - 5)^{3} =3$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A.
$2$
B.
$1$
C.
$2$
D.
$0$

Điều kiện $x > 5$

Ta có:

$3\log_{3}(x - 1) - \log_{\frac{1}{3}}(x -5)^{3} = 3$

$\Leftrightarrow 3\log_{3}(x - 1) +3\log_{3}(x - 5) = 3$

$\Leftrightarrow \log_{3}(x - 1) +\log_{3}(x - 5) = 1$

$\Leftrightarrow \log_{3}\left\lbrack (x -1).(x - 5) ightbrack = 1$

$\Leftrightarrow (x - 1).(x - 5) = 3^{1}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 + \sqrt{7} \\ x = 3 - \sqrt{7} \\ \end{matrix} ight.\ (ktm)$ (vì nghiệm cần xét là nghiệm nguyên)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

Câu 10: Thông hiểu

Gieo một đồng tiền xu liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”?

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{7}{8}$
D. $\frac{1}{4}$

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần

=> Số phần tử không gian mẫu là: $n(Ω) = 2 . 2 . 2 = 8$

Ta có:

Biến cố A “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”

=> Biến cố $\overline A$ "không xuất hiện mặt sấp”

$\overline A = \left\{ {\left( {N;N;N} ight)} ight\}$

=> $n\left( {\overline A } ight) = 1 \Rightarrow P\left( {\overline A } ight) = \frac{1}{8}$

=> $P\left( A ight) = 1 - P\left( {\overline A } ight) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Câu 11: Vận dụng

Sắp xếp 6 học sinh nam; 5 học sinh nữ cùng một giáo viên chủ nhiệm thành một vòng tròn sao cho giáo viên đứng giữa hai học sinh nam. Tính số cách sắp xếp?

A.
$11!$
B.
$C_{6}^{2}.2!.10!$
C.
$C_{6}^{2}.10!$
D.
$C_{6}^{2}.2!.9!$

Ta có:

Cố định giáo viên tại một vị trí

Chọn 2 học sinh nam để xếp cạnh giáo viên => Có $C_{6}^{2}$ cách.

Xếp hai học sinh nam vừa chọn cạnh giáo viên => Có $2!$ cách.

Cuối cùng xếp 9 học sinh còn lại vào các vị trí còn trống => Có $9!$ cách.

Vậy số cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán là: $C_{6}^{2}.2!.9!$ .

Câu 12: Vận dụng

Biết đồ thị hàm số $y = f(x)$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = \log_{a}x;\ (0 < a eq 1)$ qua điểm $I(2;2)$ . Giá trị của $f\left( 4 - a^{2018} ight)$ là:

A.
$- 2020$
B.
$2014$
C.
$- 2014$
D.
$2020$

Gọi $M\left( x;\log_{a}x ight)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y =\log_{a}x$ thì điểm đối xứng với $M$ qua $I$ là $M'\left( 4 - x;4 - \log_{a}x ight)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f(x)$

=> $f(4 - x) = 4 \log_{a}x$

$\Rightarrow f\left( 4 - a^{2018} ight)= 4 - \log_{a}^{2018} = - 2014$

Câu 13: Thông hiểu

Khu vực chờ nhận phần thưởng có 6 chiếc ghế được kê thành 1 hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11 và 1 học sinh lớp 12 ngồi vào chiếc ghế kê thành một hàng ngang sao cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh ngồi. Hãy xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố W: “Xếp học sinh lớp 12 chỉ ngồi cạnh học sinh lớp 11”?

A.
81
B.
120
C.
96
D.
144

Xét các trường hợp:

TH1: Học sinh lớp 12 ngồi đầu dãy:

Chọn vị trí cho học sinh lớp 12 có 2 cách

Chọn 1 vị trí cho học sinh lớp 11 ngồi cạnh học sinh lớp 12 có 2 cách

Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có 4! Cách.

Trường hợp này được: 2.2.4! = 96 cách.

TH2: Học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh lớp 11, ta gộp thành một nhóm, khi đó:

Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp 10 và nhóm gồm học sinh lớp 11 và lớp 12 có 4! Cách.

Hoán vị hai học sinh lớp 11 cho nhau có 2! Cách

Trường hợp này được 4!.2! = 48 cách

Như vậy số cách sắp xếp là 48 + 96 = 144

$\Rightarrow n(W) = 144$

Câu 14: Nhận biết

Tại điểm $x_{0} = 1$ , giá trị đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{3} + 2x$ bằng bao nhiêu?

A.
$f''(1) = 6$
B.
$f''(1) = 8$
C.
$f''(1) = 3$
D.
$f''(1) = 2$

Ta có: $y = x^{3} + 2x$

$\Rightarrow y'(x) = 3x^{2} + 2$

$\Rightarrow y''(x) = 6x \Rightarrow y''(1) = 6.1 = 6$

Câu 15: Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD;AB = SA = a$ . Tính khoảng cách từ đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng:

A.
$\frac{a\sqrt{6}}{2}$
B.
$\frac{a\sqrt{6}}{3}$
C.
$\frac{a\sqrt{6}}{6}$
D.
$a$

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy $\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.

Kẻ $OH\bot SN$

Có $\left\{ \begin{matrix} ON\bot CD \\ CD\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SON)$

$\Rightarrow CD\bot OH \Rightarrow OH\bot(SCD)$

Ta có: $AB//CD \subset (SCD) \Rightarrow AB//(SCD)$

Khi đó $d\left( AB;(SCD) ight) = d\left( M;(SCD) ight) = 2d\left( O;(SCD) ight) = 2OH$

Trong tam giác SON vuông tại O, $OH\bot SN$ có:

$\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{SO^{2}} + \frac{1}{ON^{2}} \Rightarrow OH = \frac{a\sqrt{6}}{6}$

$\Rightarrow d\left( AB;(SCD) ight) = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Câu 16: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập số thực thỏa mãn $\lim_{x ightarrow 3}\frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 2$ . Chọn khẳng định đúng?

A.
$f'(2) = 3$
B.
$f'(x) = 2$
C.
$f'(x) = 3$
D.
$f'(3) = 2$

Hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_{0}$

$f'\left( x_{0} ight) = \lim_{x ightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} ight)}{x - x_{0}}$

Nên khẳng định đúng là $f'(3) = 2$

Câu 17: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\bot(ABC)$ , đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $J$ là trung điểm của $BM$ . Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ ?

A.
$\widehat{SMA}$
B.
$\widehat{SJA}$
C.
$\widehat{SBA}$
D.
$\widehat{SCA}$

Hình vẽ minh họa

Dễ thấy $(SBC) \cap (ABC) = BC$

Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra $AM\bot BC$

Theo giả thiết $SA\bot(ABC)$ . Khi đó $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM) \Rightarrow BC\bot SM$

Ta được $\left\{ \begin{matrix} (SBC) \cap (ABC) = BC \\ AM\bot BC \\ SM\bot BC \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( \widehat{(SBC);(ABC)} ight) = \widehat{SMA}$

Câu 18: Nhận biết

Tìm tập nghiệm của bất phương trình $\left( \frac{1}{3} ight)^{x + 2} \geq 9$ ?

A.
$( - \infty; - 4brack$
B.
$\lbrack - 4; + \infty)$
C.
$\lbrack 0; + \infty)$
D.
$( - \infty;4brack$

Ta có:

$\left( \frac{1}{3} ight)^{x + 2} \geq 9 \Leftrightarrow \left( 3^{- 1} ight)^{x + 2} \geq 3^{2}$

$\Leftrightarrow 3^{- x - 2} \geq 3^{2} \Leftrightarrow - x - 2 \geq 2 \Leftrightarrow x \leq - 4$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x \in ( - \infty; - 4brack$

Câu 19: Vận dụng

Tính giá trị biểu thức: $S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018)$ . Biết hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)$ .

Kết quả: $S =$ 2018/2019

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

Đáp án là:

Tính giá trị biểu thức: $S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018)$ . Biết hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)$ .

Kết quả: $S =$ 2018/2019

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản dạng a/b)

Ta có:

$y = f(x) = \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)$

$\Rightarrow f'(x) = \left\lbrack \ln\left( \frac{2018x}{x + 1} ight) ightbrack'$

$= \frac{1}{\frac{2018x}{x + 1}}.\left( \frac{2018x}{x + 1} ight)'$

$= \frac{x + 1}{2018x}.\frac{2018}{(x + 1)^{2}}$

$= \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

Khi đó:

$S = f'(1) + f'(2) + f'(3) + ... + f'(2018)$

$S = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2019}$

$S = 1 - \frac{1}{2019} = \frac{2018}{2019}$

VD

1

Câu 20: Nhận biết

Xác định công thức đạo hàm của hàm số $y = \log_{\sqrt{3}}x$ trên khoảng $(0; + \infty)$ ?

A.
$y' =\frac{\sqrt{3}}{x\ln3}$
B.
$y' =\frac{1}{2x\ln3}$
C.
$y' = \frac{1}{x\ln\sqrt{3}}$
D.
$y' = \frac{\sqrt{3}}{x}$

Áp dụng công thức $\left( \log_{a}xight)' = \frac{1}{x\ln a}$

Ta có: $y = \log_{\sqrt{3}}x$

$\Rightarrow y' = \frac{1}{x\ln\sqrt{3}}$

Câu 21: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰. Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).

A. 90⁰
B. 30⁰
C. 60⁰
D. 45⁰

Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD)

Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra $AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2$

Vì $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó

$\begin{matrix} \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} ight)} ight)} = \widehat {\left( {SC;AC} ight)} = \widehat {SCA} = {45^0} \hfill \\ \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.

Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD

Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD

Ta có:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(SAD) \cap (SCD) = SD} \\ {MH \subset (SAD)} \\ {MH \bot SD} \\ {CH \subset (SCD)} \\ {CH \bot SD} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \widehat {((SAD),(SCD))} = \widehat {(MH,CH)} = \widehat {MHC} \hfill \\ \end{matrix}$

Ta lại có: $SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 6 ;CM = AB = a$

$\begin{matrix} \Delta SAD \sim \Delta MHD \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SD}} = \dfrac{{MH}}{{MD}} \hfill \\ \Rightarrow MH = \dfrac{{SA.MD}}{{SD}} = \dfrac{{a\sqrt 2 a}}{{a\sqrt 6 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}$

Tam giác MHC vuông tại M

$\Rightarrow \tan \widehat {MHC} = \frac{{CM}}{{MH}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {MHC} = {60^0}$

Vậy $\left( {\widehat {\left( {SAD} ight);\left( {SCD} ight)}} ight) = {60^0}$

Câu 22: Nhận biết

Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.

B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.

C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$C = A \cup B$
B.
$C = A \cap B$
C.
$A = C \cup B$
D.
$B = C \cup A$

Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.

Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.

Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.

Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.

Câu 23: Vận dụng cao

Một đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 11 gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 đáp án và chỉ có đúng 1 đáp án đúng. Nếu trả lời đúng được 0,2 điểm và trả lời sai sẽ không có điểm. Bạn H làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiêu đáp án cho tất cả 50 câu hỏi. Biết rằng xác suất làm đúng $x$ câu hỏi của H đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của $x$ ?

Đáp án: 12

Đáp án là:

Một đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 11 gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 đáp án và chỉ có đúng 1 đáp án đúng. Nếu trả lời đúng được 0,2 điểm và trả lời sai sẽ không có điểm. Bạn H làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiêu đáp án cho tất cả 50 câu hỏi. Biết rằng xác suất làm đúng $x$ câu hỏi của H đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của $x$ ?

Đáp án: 12

Gọi A là biến cố làm đúng x câu hỏi của bạn H

Ta có xác suất để làm đúng 1 câu là $\frac{1}{4}$ , xác suất làm sai 1 câu là $\frac{3}{4}$

Theo quy tắc nhân xác suất ta có:

Xác suất của biến cố A là $P(A) =C_{50}^{x}.\left( \frac{1}{4} ight)^{x}.\left( \frac{3}{4} ight)^{50- x} = \frac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \frac{3}{4}ight)^{50}$

Xét hệ bất phương trình sau:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \geq\dfrac{C_{50}^{x + 1}}{3^{x + 1}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \\\dfrac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \geq\dfrac{C_{50}^{x - 1}}{3^{x - 1}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3C_{50}^{x} \geq C_{50}^{x + 1} \\C_{50}^{x} \geq 3C_{50}^{x - 1} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3.\dfrac{50!}{x!(50 - x)!} \geq \dfrac{50!}{(x + 1)!(49 - x)!} \\\dfrac{50!}{x!(50 - x)!} \geq \dfrac{50!}{(x - 1)!(51 - x)!} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{50 - x} \geq \dfrac{1}{x + 1} \\\dfrac{1}{x} \geq \dfrac{3}{51 - x} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{47}{4} \\x \leq \dfrac{51}{4} \\\end{matrix} ight.\ ;\left( x\mathbb{\in Z} ight) \Rightarrow x =12$

Câu 24: Thông hiểu

Tính giá trị $K = xy + z$ biết $\log_{15}30 = \dfrac{1 +x\log2}{y\log3 + z\log5};\left( x,y,z\in\mathbb{ Z} ight)$ ?

A.
$2$
B.
$4$
C.
$3$
D.
$1$

Ta có:

$\log_{15}30 = \dfrac{1 + x\log2}{y\log3 +z\log5}$

Mặt khác

$\log_{15}30 =\frac{\log30}{\log15}$

$= \frac{\log10 + \log3}{\log3 + \log5} =\frac{1 + \log3}{\log3 + \log5}$

$\Rightarrow x = 1;y = 1;z = 1 \Rightarrow K = 2$

Câu 25: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?

A.
Nếu hình hộp có hai mặt là hình vuông thì nó là hình lập phương
B.
Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương
C.
Nếu hình hộp có bốn đường chéo bằng nhau thì nó là hình lập phương
D.
Nếu hình hộp có sáu mặt bằng nhau thì nó là hình lập phương

Mệnh đề đúng: "Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương"

Câu 26: Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?

A.
SO ⊥ (ABCD)
B.
AC ⊥ (SBD)
C.
BD ⊥ (SAC)
D.
BC ⊥ (SAB)

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\SO\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => SO ⊥ (ABCD)

Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => AC ⊥ (SBD)

Từ $\left\{ \begin{matrix}SO\bot BD \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.$ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Câu 27: Nhận biết

Đơn giản biểu thức $H = x^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{x};(x > 0)$ với $x > 0$ ta được kết quả là:

A.
$H = \sqrt{x}$
B.
$H = x^{\frac{2}{9}}$
C.
$H = x^{2}$
D.
$H = x^{\frac{81}{5}}$

Ta có: $H = x^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{3}}.x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \sqrt{x}$

Câu 28: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B.
Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
C.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D.
Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).

Mệnh đề “Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước” là sai. Qua một đường thẳng vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Mệnh đề “Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước” là sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Vậy mệnh đề đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”

Câu 29: Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên $AA' = a\sqrt{2}$ . Biết đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.

A.
$\frac{a\sqrt{5}}{5}$
B.
$\frac{a\sqrt{3}}{5}$
C.
$\frac{a\sqrt{2}}{2}$
D.
$\frac{a\sqrt{7}}{7}$

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C

=> B’C // (AMN)

=> d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))

Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN

=> BK ⊥ (AMN)

=> d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK

Ta có:

$\frac{1}{BH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} +\frac{1}{BM^{2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{BH^{2}} =\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}$

$\Rightarrow BH =\frac{a}{\sqrt{5}}$

Ta có: $BN =\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Do tam giác ABM vuông tại B

$\frac{1}{BK^{2}} = \frac{1}{BH^{2}} +\frac{1}{BN^{2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{BK^{2}} =\frac{5}{a^{2}} + \frac{2}{a^{2}} = \frac{7}{a^{2}}$

$\Rightarrow BK =\frac{a\sqrt{7}}{7}$

$\Rightarrow d(AM;B'C) =\frac{a\sqrt{7}}{7}$

Câu 30: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bởi công thức $f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}\ \ \ khi\ x eq 1 \\- \dfrac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.$ . Tính đạo hàm của hàm số tại $x_{0} = 1$ ?

A.
$f'(1) = 0$
B.
$f(1) = \frac{- 7}{40}$
C.
$f(1) = \frac{- 9}{64}$
D.
$∄f(1)$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt{3x + 1} - 2x}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1 - 4x^{2}}{(x - 1)\left( \sqrt{3x + 1} + 2x ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 4x - 1}{\sqrt{3x + 1} + 2x} = - \frac{5}{4} eq f(1)$

Suy ra hàm số không liên tục tại x = 1 nên không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 1

Câu 31: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x)= \log_{2}m$ . Với $m > 0$ , giá trị của biểu thức $T = f\left(\frac{6}{m} ight) + f\left( \frac{8m}{3} ight)$ bằng:

A.
$T = 2$
B.
$T = 1$
C.
$T = 4$
D.
$T = 3$

Ta có:

$T = f\left( \frac{6}{m} ight) +f\left( \frac{8m}{3} ight) = f\left( \frac{6}{m}.\frac{8m}{3} ight)= f(16) = 4$

Câu 32: Nhận biết

Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh trong một nhóm học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Gọi X là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nam”. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn là 2 nam hoặc 2 nữ”.
B.
$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn là 1 nam hoặc 1 nữ”.
C.
$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nữ”.
D.
$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn không phải là hai nữ”.

Sử dụng định nghĩa biến cố đối ta được:

$\overline{X}$ là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nữ”.

Câu 33: Vận dụng cao

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $d(C;BB') = 2a;d(A;BB') = a;d(A;CC') = a\sqrt{3}$ , hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm $M$ của $BC$ . Biết $A'M = 2a$ . Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ ?

A.
$V = a^{3}$
B.
$V = 2a^{3}$
C.
$V = 3\sqrt{3}a^{3}$
D.
$V = \frac{2\sqrt{3}}{3}a^{3}$

Hình vẽ minh họa:

Gọi $A_{1};A_{2}$ lần lượt là hình chiếu của A trên BB’ và CC’

Theo đề bài ta có:

$AA_{1} = a;AA_{2} = a\sqrt{3};A_{1}A_{2} = 2a$

Dễ thấy $A{A_{1}}^{2} + A{A_{2}}^{2} = A_{1}{A_{2}}^{2}$ nên tam giác $AA_{1}A_{2}$ vuông tại A

Gọi H là trung điểm của $A_{1}A_{2} \Rightarrow AH = \frac{A_{1}A_{2}}{2} = a$

Ta lại có $MH//BB' \Rightarrow MH\bot\left( AA_{1}A_{2} ight) \Rightarrow MH\bot AH$

$\Rightarrow MH = \sqrt{AM^{2} - AH^{2}} = a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight) = \cos(MH,AM)$

$= \cos\widehat{HMA} = \frac{MH}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $S_{ABC} = \frac{S_{AA_{1}A_{2}}}{\cos\left( (ABC);\left( AA_{1}A_{2} ight) ight)} = a^{2}$

Vậy $V = AM.S_{ABC} = 2a^{3}$

Câu 34: Nhận biết

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Hãy tính số đo góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $C'A'$ ?

A.
$30^{0}$
B.
$60^{0}$
C.
$45^{0}$
D.
$90^{0}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: Tam giác $ABC$ là tam giác đều suy ra $\widehat{BAC} = 60^{0}$

Lại có $AC//A'C'$

$\Rightarrow (AB;A'C') = (AB;CA) = \widehat{BAC} = 60^{0}$ .

Câu 35: Nhận biết

Một nhóm học sinh gồm 15 người. Cần chọn 3 người lần lượt làm các chức vụ nhóm trưởng, nhóm phó và kiểm soát. Số cách chọn là:

A.
$455$ cách
B.
$15!$ cách
C.
$2370$ cách
D.
$2730$ cách

Số cách chọn 3 người đảm nhiệm 3 chức vụ khác nhau từ 15 người là:

$A_{15}^{3} = 2730$ (cách)

Vậy có tất cả 2730 cách chọn.

Câu 36: Nhận biết

Trong một phép thử có không gian mẫu kí hiệu là $\Omega$ và $B$ là một biến cố của phép thử đó. Tìm phát biểu sai trong các phát biểu dưới đây?

A.
$P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn.
B.
$P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight)$
C.
Xác suất của biến cố $B$ là $P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)}$
D.
$0 \leq P(B) \leq 1$

Khẳng định sai là: “ $P(B) = 0$ khi và chỉ khi $B$ chắc chắn”.

Vì B là biến cố chắc chắn thì P(B) = 1.

Câu 37: Nhận biết

Cho biết $\log_{2}a= x;\log_{2}b = y$ , biểu thức $\log_{2}\left( 4a^{2}b^{3} ight)$ có giá trị là:

A.
$x^{3}y^{2}$
B.
$2x + 3y + 2$
C.
$x^{2} + y^{3} + 4$
D.
$6xy$

Ta có:

$\log_{2}\left( 4a^{2}b^{3} ight) =\log_{2}4 + \log_{2}a^{2} + \log_{2}b^{3}$

$= 2 + 2\log_{2}a + 3\log_{2}b = 2x + 3y +2$

Câu 38: Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A.
$CH \perp AK$
B.
$CH \perp SB$
C.
$CH \perp SA$
D.
$AK \perp SB$

Hình vẽ minh họa

Chọn khẳng định sai

Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân => $CH⊥AB$

Ta có: $SA⊥(ABC)$ => $SA⊥CH$ mà $CH⊥AB$ => $CH⊥(SAB)$

Mặt khác $AK⊂(SAB)$ => CH vuông góc với các đường thẳng $SA,SB,AK$

Và $AK⊥SB$ chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.

Câu 39: Thông hiểu

Cho tứ diện ABCD. Gọi H là trực tâm của tam giác BCD và AH vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.
$CD \perp BD$
B.
$AC = BD$
C.
$AB = CD$
D.
$AB \perp CD$

Hình vẽ minh họa

Chọn khẳng định đúng

Vì AH vuông góc với (BCD) suy ra $AH⊥CD$ (1)

Mà H là trực tâm của tam giác BCD $⇒BH⊥CD$ (2)

Từ (1), (2) suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {CD \bot AH} \\ {CD \bot BH} \end{array}} ight.$

$⇒CD⊥(ABH)⇒CD⊥AB$

Câu 40: Thông hiểu

Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Hãy mô tả biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu qua các biến cố $M_{1};M_{2};M_{3};M_{4}$ .

A.
$M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap M_{3} \cap M_{4}$
B.
$M = M_{1} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$
C.
$M = \overline{M_{1}} \cap M_{2} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$
D.
$M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$

Gọi M là biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu

Khi đó $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = \overline{M_{1}} \cap \overline{M_{2}} \cap \overline{M_{3}} \cap M_{4}$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!