Luyện tập Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Sau khi học xong lý thuyết, chúng ta cùng nhau củng cố bài học qua bài Ôn tập Toán 9 KNTT: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng nha!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Chọn hệ thức đúng
Quan sát hình vẽ:

Hệ thức nào sau đây đúng?
- A.
  $b = c\tan\widehat{B}$
- B.
  $c = a\sin\widehat{B}$
- C.
  $b = a\tan\widehat{C}$
- D.
  $c = a\tan\widehat{B}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\tan\widehat{B} = \frac{AC}{AB} =\frac{b}{c} \Rightarrow b = c.\tan\widehat{B}$
Câu 2: Nhận biết
Tính giá trị của b
Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B} = 60^{0};c = 5$ . Khi đó độ dài cạnh $b$ là:
- A.
  $b = 5$
- B.
  $b = 5\sqrt{3}$
- C.
  $b = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $b = \frac{5}{2}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC vuông tại A nên

$b = c.\tan\widehat{B} = 5.\tan60^{0} =5\sqrt{3}$ .
Câu 3: Vận dụng
Tính số đo góc B
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH\bot BC;(H \in BC)$ . Biết rằng $HC = 12;BH = 4$ . Tính số đo góc B?
- A.
  $\widehat{B} = 70^{0}$
- B.
  $\widehat{B} = 45^{0}$
- C.
  $\widehat{B} = 60^{0}$
- D.
  $\widehat{B} = 30^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABH vuông tại H và tam giác ABC vuông tại A có:

Góc B chung

$\Rightarrow \Delta ABH\sim\Delta CBA(g - g)$

$\Rightarrow \frac{AB}{CB} = \frac{BH}{BA}$

$\Rightarrow AB^{2} = CB.BH = 4(4 + 12) = 64$

$\Rightarrow AB = 8$

Khi đó $\cos\widehat{B} = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{4 + 12} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{B} = 60^{0}$
Câu 4: Thông hiểu
Xác định kết luận đúng
Cho hình vẽ:
Đặt $\widehat {AOB} = x;\widehat {AOC} = y;\widehat {AOD} = z$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos z > \cos y > \cosx$
- B.
  $\cos x < \cos z < \cosy$
- C.
  $\cos x > \cos y > \cosz$
- D.
  $\cos y < \cos z < \cosx$
Hướng dẫn:
Ta có:
$OD < OC < OB$
$\Rightarrow \frac{OA}{OD} >\frac{OA}{OC} > \frac{OA}{OB}$
$\Rightarrow \cos z > \cos y > \cosx$
Câu 5: Nhận biết
Xác định giá trị của a
Với tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0};\widehat{B} = 60^{0};b = 10$ thì độ dài $a$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $a = 10\sqrt{3}$
- B.
  $a = \frac{20\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $a = 20\sqrt{3}$
- D.
  $a = 15\sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có tam giác ABC vuông tại A nên

$a = \dfrac{b}{\sin\widehat{B}} =\dfrac{10}{\sin60^{0}} = \dfrac{10}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} =\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$
Câu 6: Vận dụng
Tính độ dài cạnh AC
Cho tam giác ABC có $\widehat{ABC} = 38^{0};\widehat{ACB} = 30^{0};BC = 11cm$ . Gọi $N$ là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh $A$ đến cạnh $BC$ . Độ dài cạnh $AC$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A.
  $6,5cm$
- B.
  $8,4cm$
- C.
  $6cm$
- D.
  $7,3cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Kẻ BH vuông góc với AC

$\Rightarrow BH = BC.\sin C = 11.\sin30^{0}= 11.\frac{1}{2} = 5,5(cm)$

Dễ thấy $\widehat{HBC} = 60^{0};\widehat{HBA} = 22^{0}$

Xét tam giác HBA có $AB =\frac{BH}{\cos\widehat{HBA}} = \frac{5,5}{\cos22^{0}} \approx5,932(cm)$

Xét tam giác vuông $ABN$ có $AN = AB.\sin38^{0} \approx 3,652(cm)$

Xét tam giác vuông ANC có $AC =\frac{AN}{\sin C} \approx \frac{3,652}{\sin30^{0}} =7,304(cm)$
Câu 7: Thông hiểu
Tính diện tích tam giác ABC
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4;AC = 3,5;\widehat{A} = 40^{0}$ . Diện tích tam giác $ABC$ bằng:
- A.
  $5$
- B.
  $3$
- C.
  $4,4$
- D.
  $3,5$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác HAC vuông tại H ta có:

$CH = AC.\sin\widehat{HAC} = 3,5.\sin40^{0}\approx 2,2$

Diện tích tam giác ABC là $S = \frac{1}{2}.4.2,2 = 4,4(dvdt)$
Câu 8: Nhận biết
Chọn hệ thức đúng
Cho hình vẽ:

Chọn hệ thức đúng?
- A.
  $HC =BC.\tan\widehat{B}$
- B.
  $HC = BC.\sin\widehat{B}$
- C.
  $HC =BC.\cot\widehat{B}$
- D.
  $HC =BC.\cos\widehat{B}$
Hướng dẫn:
Xét tam giác BHC vuông tại H ta có:

$HC = BC.\sin\widehat{B}$
Câu 9: Thông hiểu
Tính khoảng cách AB
Quan sát hình vẽ:

Tính khoảng cách AB?
- A.
  $10\sqrt{3}m$
- B.
  $20m$
- C.
  $20\sqrt{3}m$
- D.
  $20\left( \sqrt{3} - 1 ight)m$
Hướng dẫn:
Xét tam giác ACH vuông tại H có:

$AH = CH.\cot30^{0}$

Xét tam giác CBH vuông tại H ta có:

$BH = CH.\tan45^{0}$

$\Rightarrow AB = AH - BH$

$= CH.\cot30^{0} -CH.\tan45^{0}$

$= 20\left( \sqrt{3} - 1 ight)(m)$
Câu 10: Thông hiểu
Xác định kết quả đúng
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AH\bot BC;(H \in BC)$ . Biết rằng $AH = 6;BH = 3$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin\widehat{B} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
- B.
  $\sin\widehat{B} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\sin\widehat{B} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\sin\widehat{B} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Tam giác ABH vuông tại H nên

$AB = \sqrt{AH^{2} + BH^{2}} = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = \sqrt{45}$

Ta có: $\sin\widehat{B} = \frac{AH}{AB} = \frac{6}{\sqrt{45}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
Câu 11: Nhận biết
Chọn hệ thức đúng
Quan sát hình vẽ:

Hệ thức nào sau đây đúng?
- A.
  $b = a\cos\widehat{B}$
- B.
  $b = a\tan\widehat{B}$
- C.
  $b = a\sin\widehat{C}$
- D.
  $b = a\sin\widehat{B}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sin\widehat{B} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} \Rightarrow b = a\sin\widehat{B}$
Câu 12: Thông hiểu
Chọn kết quả chính xác
Cho tam giác $ABC$ có $a = 5;b = 4;c = 3$ . Kẻ đường cao $AH$ và $\widehat{BAH} = \alpha$ . Kết quả nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos\alpha = 0,8$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{2\sqrt{3}}{5}$
- C.
  $\cos\alpha = 0,75$
- D.
  $\cos\alpha = 0,6$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại A

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{BAH} + \widehat{AHC} = 90^{0} \\ \widehat{AHC} + \widehat{HCA} = 90^{0} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \widehat{BAH} = \widehat{HCA}$

$\Rightarrow \alpha = \widehat{HCA}$

$\Rightarrow \cos\alpha =\cos\widehat{HCA} = \frac{b}{a} = 0,8$
Câu 13: Thông hiểu
Tính độ dài cạnh HC
Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{A} = 120^{0};BC = 2$ . Kẻ đường cao $BH;(H \in AC)$ . Tính độ dài cạnh $HC$ ?
- A.
  $HC = \frac{1}{2}$
- B.
  $HC = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $HC = 1$
- D.
  $HC = \sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\widehat{C} = \frac{180^{0} - 120^{0}}{2} = 30^{0}$

$\Rightarrow HC = BC.\cos30^{0} =2.\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
Câu 14: Nhận biết
Chọn kết quả đúng
Cho tam giác $ABC$ có $a = 5;b = 4;c = 3$ . Kết quả nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin\widehat{C} = \frac{4}{5}$
- B.
  $\sin\widehat{C} = \frac{2}{3}$
- C.
  $\sin\widehat{C} = \frac{3}{5}$
- D.
  $\sin\widehat{C} = \frac{3}{4}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại A

$\Rightarrow \sin\widehat{C} = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$
Câu 15: Vận dụng cao
Tính diện tích tứ giác ABCD
Cho tứ giác $ABCD$ . Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Biết rằng $\widehat{AOD} = 70^{0}$ $;AC =5,3cm;BD = 4cm$ . Tính diện tích tứ giác $ABCD$ ?
- A.
  $8cm^{2}$
- B.
  $8,9cm^{2}$
- C.
  $9,7cm^{2}$
- D.
  $10cm^{2}$
Hướng dẫn:
Kẻ $BH\bot AC;DK\bot AC$

Xét tam giác HOB vuông tại H ta có: $BH =OB.\sin\widehat{BOH}$

Xét tam giác KOD vuông tại K ta có: $DK =OD.\sin\widehat{KOD}$

Mà $\widehat{BOH} = \widehat{KOD}$ đối đỉnh.

$\Rightarrow S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{1}{2}AC(BH + DK)$

$= \frac{1}{2}AC.(OB + OD)\sin\widehat{KOD}$

$= \frac{1}{2}AC.BD\sin\widehat{KOD} =\frac{1}{2}5,3.4\sin70^{0} \approx 10\left( cm^{2} ight)$