Lớp 11 Toán 11 (sách cũ)

Phép đối xứng trục

1. Phép đối xứng trục

Định nghĩa

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Hình vẽ minh họa

Phép đối xứng trục

  • Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.
  • Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đ_d.
  • Nếu hình H_0 là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H_0 qua d hay H và H_0 đối xứng với nhau qua d.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Xác định ảnh của tam giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Phép đối xứng trục

Ảnh phải tìm là tam giác A’B’E’.

Nhận xét

Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó:

M' = {Đ_d}\left( M \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{M_0}M'} = - \overrightarrow {{M_0}M}

M' = {Đ_d}\left( M \right) \Leftrightarrow M = {Đ_d}\left( {M'} \right)

2. Tính chất của phép đối xứng trục

Tính chất 1

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2

Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Hình vẽ minh họa

Phép đối xứng trục

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình 2x − y + 1 = 0 và điểm A (3; 2). Tìm điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng ∆.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d qua A và vuông góc với ∆ có phương trình d: x + 2y − 7 = 0.

Gọi H = d ∩ ∆, tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

Theo giả thiết: Đ_∆(A) = A’(x’; y’)

\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x - y + 1 = 0} \\ {x + 2y - 7 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1} \\ {y = 3} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow H\left( {1;3} \right) \hfill \\ \end{matrix}

=> H là trung điểm của AA’

\begin{matrix} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = 2{x_H} - {x_A}} \\ {y' = 2{y_H} - {y_A}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x' = - 1} \\ {y' = 4} \end{array}} \right. \hfill \\ \Rightarrow A' = \left( { - 1;4} \right) \hfill \\ \end{matrix}

3. Đối xứng của một hình

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.

Câu trắc nghiệm mã số: 9850,9851
  • 23 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11