Luyện tập Tọa độ của vectơ trong không gian CTST

Khoahoc.vn xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán lớp 12: Tọa độ của vectơ trong không gian sách Chân trời sáng tạo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}$ . Khi đó tọa độ $\overrightarrow{u}$ với hệ $Oxyz$ là:
- A.
  $(0;2;1)$
- B.
  $(2;1;0)$
- C.
  $(1;0;2)$
- D.
  $(2;0;1)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (x;y;z)$

Lại có $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (2;0;1)$
Câu 2: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0)$ . Điểm $D(a;b;c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$ . Khi đó giá trị biểu thức $H = 2a + b + c$ có giá trị bằng bao nhiêu?
- A.
  $H = 2$
- B.
  $H = - 1$
- C.
  $H = 1$
- D.
  $H = 0$
Hướng dẫn:
Gọi tọa độ điểm $D(a;b;c)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - a = 6 \\ - 2 - b = - 1 \\ - c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra điểm $D( - 1; - 1;2)$

Khi đó $H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2 = - 1$ .
Câu 3: Thông hiểu
Xác định tọa độ điểm C
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $(0; - 2;0)$
- B.
  $(2;2;2)$
- C.
  $(2;0;2)$
- D.
  $(2; - 2;2)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2;3),B(2; - 1;5),C(3;2; - 1)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D(4; - 2;4)$
- B.
  $D(0;0;8)$
- C.
  $D(2;6; - 4)$
- D.
  $D(2;6;8)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 3 - 2 \\ y - 3 = 2 + 1 \\ z - 2 = - 1 - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 6 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(2;6; - 4)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D(11;2;2)$
- B.
  $D(1;8; - 2)$
- C.
  $D(1;8;2)$
- D.
  $D(11;2; - 2)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm C
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có tọa độ các điểm $B( - 1;2;1),B'( - 2;1;0),C'(5;3;2)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $C(2;3; - 5)$
- B.
  $C(3; - 5; - 1)$
- C.
  $C(4; - 1;2)$
- D.
  $C(6;4;3)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi tọa độ điểm $C(x;y;z)$

Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên

$\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - x = - 2 - ( - 1) \\ 3 - y = 1 - 2 \\ 2 - z = 0 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = 4 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ $C(6;4;3)$ .
Câu 7: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;0;2)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \in (Oxy)$
- B.
  $M \in (Oxz)$
- C.
  $M \in (Oyz)$
- D.
  $M \in Oy$
Hướng dẫn:
Vì tọa độ điểm $M(1;0;2)$ có $x = 1;y = 0;z = 2$ nên $M \in (Oxz)$ .
Câu 8: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1; - 3)$ và $B( - 2;2;1)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 3;3;4)$
- B.
  $(3; - 3;4)$
- C.
  $( - 3;1;4)$
- D.
  $( - 1;1;2)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1 + 3) = ( - 3;3;4)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;4)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 1; - 3; - 2)$
- B.
  $D\left( - 1;1;\frac{2}{3} ight)$
- C.
  $D(1;1;4)$
- D.
  $D(1;3;4)$
Hướng dẫn:
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 3 = - 2 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;1;4)$
Câu 10: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm A’
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có tọa độ các điểm $A(0;1;3),B( - 1;2;1),B'( - 2;1;0)$ . Xác định tọa độ điểm $A'$ ?
- A.
  $A'( - 2; - 1;0)$
- B.
  $A'( - 1;0;2)$
- C.
  $A'( - 1; - 3;2)$
- D.
  $A'(0;2;3)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi tọa độ điểm $A'(x;y;z)$

Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên

$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 0 = - 2 - ( - 1) \\ y - 1 = 1 - 2 \\ z - 3 = 0 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ $A'( - 1;0;2)$
Câu 11: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $(2; - 3;1)$
- B.
  $(2;1; - 3)$
- C.
  $(1; - 3;2)$
- D.
  $(1;2; - 3)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;1)$ .
Câu 12: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm C’
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Giả sử điểm $C'(a;b;c)$ . Tính giá trị biểu thức $T=a+b+2c$ ?
- A.
  $T=0$
- B.
  $T=25$
- C. $T=-11$
- D.
  $T=12$
Hướng dẫn:
Gọi điểm $C'(x;y;z)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.$
Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4)$ suy ra $a=13;b=4;c=4$
Vậy $T=25$
Câu 13: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm A
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:
- A.
  $A( - 3; - 4;5)$
- B.
  $A(3;4;5)$
- C.
  $A(3;4; - 5)$
- D.
  $A( - 3;4;5)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3\overrightarrow{i} = (3;0;0) \\ 4\overrightarrow{j} = (0;4;0) \\ 5\overrightarrow{k} = (0;0;5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k} \Rightarrow A(3;4; - 5)$
Câu 14: Nhận biết
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$ , góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Hướng dẫn:
Ta có: góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng: $90^{0}$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm B’
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCCD.A'B'C'D'$ . Biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Tọa độ điểm $B'$ là:
- A.
  $B'(6;12;0)$
- B.
  $B'(8;4;10)$
- C.
  $B'(13;0;17)$
- D.
  $B'(10;8;6)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)$
Câu 16: Nhận biết
Tìm tọa độ vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(0;3; - 2)$ và $N(2; - 1;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ là:
- A.
  $\overrightarrow{MN} = (2;2; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = (1;1; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = (2; - 4;2)$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = ( - 2;4; - 2)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{MN} = (2 - 0; - 1 - 3;0 + 2) = (2; - 4;2)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{MN} = (2; - 4;2)$ .
Câu 17: Nhận biết
Định tọa độ hình chiếu
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $B( - 2;3;1)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là:
- A.
  $(0;3;1)$ .
- B.
  $(2;0;0)$ .
- C.
  $(0; - 3; - 1)$ .
- D.
  $( - 2;0;0)$ .
Hướng dẫn:
Hình chiếu vuông góc của điểm $B( - 2;3;1)$ trên trục $Ox$ là điểm có tọa độ $( - 2;0;0)$ .
Câu 18: Nhận biết
Chọn điểm thuộc mặt phẳng đã cho
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ ?
- A.
  $M(3;4;0)$
- B.
  $P(2;0;0)$
- C.
  $N( - 2;0;3)$
- D.
  $Q(0;4; - 1)$
Hướng dẫn:
Ta có: $A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x = 0$ nên điểm cần tìm là $Q(0;4; - 1)$ .
Câu 19: Nhận biết
Tìm tọa độ hình chiếu
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(2; - 1;0)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là:
- A.
  $(2; - 1;0)$ .
- B.
  $(0; - 1;0)$ .
- C.
  $(0;0;0)$ .
- D.
  $(2;0;0)$ .
Hướng dẫn:
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(2; - 1;0)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là điểm có tọa độ $(2;0;0)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian $Oxyz$ . cho điểm $M(3; - 1;2)$ . Tìm tọa độ điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ ?
- A.
  $N(0;1;1)$
- B.
  $N( - 3; - 1;2)$
- C.
  $N(0; - 1;2)$
- D.
  $N(3;1; - 2)$
Hướng dẫn:
Lấy đối xứng qua mặt phẳng $(Oyz)$ thì $x$ đổi dấu còn $y;z$ giữ nguyên nên điểm $N$ có tọa độ là $N( - 3; - 1;2)$ .