Luyện tập Phương trình mặt cầu Cánh Diều

Khoahoc.vn xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Phương trình mặt cầu sách Cánh Diều. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Tính bán kính đường tròn
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + \left( z + \sqrt{2} ight)^{2} = 9$ và hai điểm $A\left( - 2;0; - 2\sqrt{2} ight),B( - 4; - 4;0)$ . Biết tập hợp tất cả các điểm $M \in (S)$ để $MA^{2} + \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB} = 16$ là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là:
- A.
  $r = \sqrt{2}$
- B.
  $r = 2\sqrt{2}$
- C.
  $r = \sqrt{3}$
- D.
  $r = \sqrt{5}$
Hướng dẫn:
Gọi $M(x;y;z) \in (S)$ khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = \left( x + 2;y;z + 2\sqrt{2} ight) \\ \overrightarrow{OM} = (x;y;z) \\ \overrightarrow{BM} = (x + 4;y + 4;z) \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có:

$MA^{2} + \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB} = 16$

$\Leftrightarrow MA^{2} + \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BM} = 16$

$\Leftrightarrow (x + 2)^{2} + y^{2} + \left( z + 2\sqrt{2} ight)^{2} + x(x + 4) + y(y + 4) + z^{2} = 16$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 4y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0$

Ta lại có:

$M \in (S) \Leftrightarrow (x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + \left( z + \sqrt{2} ight)^{2} = 9$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 4y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow y = 0$

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn giao tuyến (C) của (S) và mặt phẳng (P): y = 0.

Mặt cầu (S) có bán kính R = 3, tâm $I\left( - 2;1; - \sqrt{2} ight)$ nên d [I,(P)] = 1.

Suy ra đường tròn (C) có bán kính:

$r = \sqrt{R^{2} - \left( d\left( I;(P) ight) ight)^{2}} = 2\sqrt{2}$
Câu 2: Thông hiểu
Xác định vectơ chỉ phương
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ và đi qua ba điểm $A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3)$ . Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $(0;0; - 2)$
- B.
  $(0;0;0)$
- C.
  $( - 2;1;0)$
- D.
  $(2; - 1;0)$
Hướng dẫn:
Gọi tâm mặt cầu là $I(a;b;c)$ và phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

Do $I \in (Oxy) \Rightarrow c = 0$

$\Rightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by + d = 0$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} A \in (S) \\ B \in (S) \\ C \in (S) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + 4b - d = 21 \\ 2a - 6b - d = 11 \\ 4a + 4b - d = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 1 \\ d = - 21 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $I( - 2;1;0)$ là đáp án cần tìm.
Câu 3: Thông hiểu
Tìm các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 3$ và mặt phẳng $(\alpha):(m - 4)x + 3y - 3mz + 2m - 8 = 0$ . Với giá trị nào của tham số $m$ thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?
- A.
  $m = \frac{- 7 + \sqrt{33}}{2}$
- B.
  $m = - 1$
- C.
  $m = \frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{2}$
- D.
  $m = 1$
Hướng dẫn:
Mặt cầu (S) có tâm $I(−3; 1; −1)$ và bán kính $R = \sqrt{3}$

Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi

$d\left( I;(P) ight) = R$

$\Leftrightarrow \frac{\left| (m - 4).( - 3) + 3.1 - 3m.( - 1) + 2m - 8 ight|}{\sqrt{(m - 4)^{2} + 3^{2} + ( - 3m)^{2}}} = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \frac{|2m + 7|}{\sqrt{10m^{2} - 8m + 25}} = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 26m^{2} - 52m + 26 = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Vậy đáp án cần tìm là: $m = 1$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm độ lớn bán kính mặt cầu
Cho hai điểm $A;B$ cố định trong không gian có độ dài $AB = 4$ . Biết rằng tập hợp các điểm $M$ trong không gian sao cho $MA = 3MB$ là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?
- A.
  $R = 3$
- B.
  $R = 1$
- C.
  $R = \frac{9}{2}$
- D.
  $R = \frac{3}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có: $MA = 3MB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} = 9\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}$

$\Leftrightarrow IA^{2} - 9IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} ight) = 8MI^{2}$ (*)

Gọi $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AB}$ nên $IB = \frac{1}{2};IA = \frac{9}{2}$

Từ (*) suy ra $8MI^{2} = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2} \Rightarrow M \in S\left( I;\frac{3}{2} ight)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $I(1; - 2;3)$ . Viết phương trình mặt cầu tâm $I$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm $A;B$ sao cho $AB = 2\sqrt{3}$ ?
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 20$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên $H(1;0;0)$

$IH = \sqrt{13} \Rightarrow R = IA = \sqrt{IH^{2} + AH^{2}} = 4$

Phương trình mặt cầu là: $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$ .
Câu 6: Vận dụng
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $\left( S_{m} ight):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - m)^{2} = \frac{m^{2}}{4}$ với $m > 0$ là tham số thực) và hai điểm $A(2;3;5),B(1;2;4)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ để trên $\left( S_{m} ight)$ tồn tại điểm $M$ sao cho $MA^{2} - MB^{2} = 9$ ?
- A.
  $m = 3 - \sqrt{3}$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = \frac{4 - \sqrt{3}}{2}$
- D.
  $m = 8 - 4\sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Gọi $M(x;y;z)$

Theo đề bài ra ta có:

$MA^{2} - MB^{2} = 9$

$\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 5)^{2} - (x - 1)^{2} - (y - 2)^{2} - (z - 4)^{2} = 9$

$\Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0$

Mặt cầu (S_m) có tâm I(1; 1; m) và bán kính $R = \frac{m}{2}$

Gọi (α): x + y + z − 4 = 0. Khi đó:

$M(1;1;m) \in \left( S_{m} ight) \Leftrightarrow d\left( I;(\alpha) ight) \leq R$

$\Leftrightarrow \frac{|m - 2|}{\sqrt{3}} \leq \frac{m}{2} \Leftrightarrow m - 2 \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}m$

$\Leftrightarrow m \geq 8 - 4\sqrt{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số m cần tìm là $m = 8 - 4\sqrt{3}$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 9$ hai hai điểm $M(4; −4; 2),N(6; 0; 6)$ . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho $EM + EN$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?
- A.
  $x - 2y + 2z + 8 = 0$
- B.
  $2x + y - 2z - 9 = 0$
- C.
  $2x + 2y + z + 1 = 0$
- D.
  $2x - 2y + z + 9 = 0$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

$(EM + EN)^{2} \leq 2\left( EM^{2} + EN^{2} ight) = 2\left( 2EP^{2} + \frac{MN^{2}}{2} ight)$

nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$

Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 \\\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z - 2}{1} \\\end{matrix} ight.$

Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là $2x−2y+z+9 = 0$ .
Câu 8: Thông hiểu
Xác định bán cầu mặt cầu ngoại tiếp tứ giác
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 1;0;0),B(0;0;2),C(0; - 3;0)$ . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là:
- A.
  $\frac{\sqrt{14}}{2}$
- B.
  $\sqrt{14}$
- C.
  $\frac{\sqrt{14}}{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{14}}{4}$
Hướng dẫn:
Gọi $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$

Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

Vì $O;A;B;C \in (S)$ nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ 1 + 2a + d = 0 \\ 4 - 4c + d = 0 \\ 9 + 6b + d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ a = - \frac{1}{2} \\ b = - \frac{3}{2} \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy bán kính mặt cầu $(S)$ là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \frac{\sqrt{14}}{2}$
Câu 9: Nhận biết
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian $Oxyz$ , tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu?
- A.
  $m \leq 6$
- B.
  $m \geq 6$
- C.
  $m < 6$
- D.
  $m > 6$
Hướng dẫn:
Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là một mặt cầu

$\Leftrightarrow 1^{2} + 1^{2} + 2^{2} - m > 0 \Leftrightarrow m < 6$ .
Câu 10: Thông hiểu
Định các giá trị nguyên tham số m
Trong không gian $Oxyz$ , có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x - 2(m - 1)z + 3m^{2} - 5 = 0$ là một phương trình mặt cầu
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $7$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

$(m + 2)^{2} + (m - 1)^{3} - 3m^{2} + 5 > 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m - 10 < 0$

$\Leftrightarrow m \in \left( - 1 - \sqrt{11};1 + \sqrt{11} ight)$

Theo bài ra $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2;3;4 ight\}$

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 11: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Trong không gian $Oxyz$ , hai điểm $A(7; - 2;2)$ và $B(1;2;4)$ . Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính $AB$ ?
- A.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
- B.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 14$
- C.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 2\sqrt{14}$
- D.
  $(x - 7)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 14$
Hướng dẫn:
Mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm $I(4;0;3)$ của $AB$ làm tâm và có bán kính $R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}$

Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56$ .
Câu 12: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
- A.
  $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$
- C.
  $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - x - y - z = 0$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x - 2y + 4z - 3 = 0$
Hướng dẫn:
Phương trình $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu nếu $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$
Câu 13: Thông hiểu
Tính diện tích mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm là điểm $A(2; 2; 2)$ , mặt phẳng $(P) : 2x + 2y + z + 8 = 0$ cắt mặt cầu $(S)$ theo thiết diện là đường tròn có bán kính $r = 8$ . Diện tích của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $20\pi$
- B.
  $400\pi$
- C.
  $200\pi$
- D.
  $10\pi$
Hướng dẫn:
Ta có:

$d\left( A;(P) ight) = \frac{|4 + 4 + 2 + 8|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 6$

$R^{2} = d^{2}\left( A;(P) ight) + r^{2} = 100$

Vậy diện tích mặt cầu là: $S = 4\pi R^{2} = 400\pi$ .
Câu 14: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y - z - 1 = 0$ và mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y + 6z + 5 = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
- B.
  (P) cắt mặt cầu (S).
- C.
  (P) đi qua tâm của mặt cầu (S).
- D.
  (P) không cắt mặt cầu (S).
Hướng dẫn:
Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; −3)$ , bán kính $R = \sqrt{1 + 4 + 9 - 5} = 3$

Ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.1 + 2.2 - ( - 3) - 1 ight|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{8}{3} < R$

Do đó (P) cắt mặt cầu (S).
Câu 15: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $I(2;3;4)$ và $A(1;2;3)$ . Phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua $A$ có phương trình là:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 3$
- B.
  $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 4)^{2} = 9$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 45$
- D.
  $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 4)^{2} = 3$
Hướng dẫn:
Bán kính mặt cầu là $R = IA = \sqrt{3}$

Phương trình mặt cầu tâm $I(2;3;4)$ và $R = IA = \sqrt{3}$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 3$
Câu 16: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$ và các điểm $A(1; 0; 2); B(−1; 2; 2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A; B$ sao cho thiết diện của mặt phẳng $(P)$ với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình $(P)$ dưới dạng $ax + by + cz + 3 = 0$ . Tính $T = a + b + c$ .
- A.
  $T = 1$
- B.
  $T = - 3$
- C.
  $T = 0$
- D.
  $T = - 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

(S) có tâm $I(1; 2; 3)$ , bán kính $R = 4$ .

Nhận thấy: $IA = IB = \sqrt{5} < R$ ⇒ A; B nằm bên trong mặt cầu.

Gọi K là trung đểm của AB $⇒ K(0; 1; 2); IK ⊥ AB.$

Gọi H là hình chiếu của I trên (P),(P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn tâm H bán kính r.

S_td nhỏ nhất ⇔ r nhỏ nhất ⇔ IH lớn nhất

$⇔ IH = IK ⇔ H ≡ K.$

Khi đó mặt phẳng (P): Đi qua A và có VTPT là $\overrightarrow{IK} = ( - 1; - 1; - 1)$

⇒ Phương trình mặt phẳng $(P) : −x−y−z+3 = 0 ⇒ a+b+c = −3$
Câu 17: Nhận biết
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0; - 3)$ và đi qua điểm $M(4;0;0)$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 25$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 25$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 5$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 5$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0; - 3)$ và bán kính $R$ là:

$x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = R^{2}$

Ta có: $M \in (S) \Rightarrow 4^{2} + 0^{2} + (0 + 3)^{2} = R^{2}$

$\Leftrightarrow R^{2} = 25$

Vậy phương trình cần tìm là: $x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 25$ .
Câu 18: Thông hiểu
Lập phương trình mặt phẳng (P)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0$ , mặt phẳng $(\alpha):x + 4y + z - 11 = 0$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ , $(P)$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow{v} = (1;6;2)$ và $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ . Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 5 = 0 \\ 2x - y + 2z - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x - 2y + 2z + 3 = 0 \\ x - 2y + z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z - 2 = 0 \\ x - 2y + z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 3 = 0 \\ 2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; −3; 2) và bán kính $R\ = \ 4$ .

Từ giả thiết suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack = (2; - 1;2)$ , suy ra $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2; - 1;2)$

Vậy $(P)$ có phương trình dạng $2x - y + 2z + m = 0$

Do $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ nên:

$d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2.1 + 3 + 2.2 + m|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4$

$\Leftrightarrow |9 + m| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - 21 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 3 = 0 \\ 2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính bán kính mặt cầu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $9$
- B.
  $\sqrt{7}$
- C.
  $\sqrt{15}$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.0.x - 2.1y - 2.( - 1)z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = - 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tâm mặt cầu là: $I(0;1; - 1)$

Bán kính mặt cầu là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2} - 7} = 3$
Câu 20: Vận dụng cao
Xác định bán kính mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $S(0;0;1)$ và $A(1;1;1)$ . Hai điểm $M(m;0;0),N(0 ;n;0)$ thay đổi sao cho $m + n = 1$ và $m > 0,n > 0$ . Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(SMN)$ . Bán kính của mặt cầu đó là:
- A.
  $\sqrt{2}$
- B.
  $\sqrt{3}$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng $(SMN)$ là $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{1} =1$
$\Leftrightarrow nx + my + mnz - mn =0$ .
Gọi $I(a;b;c)$ và $R$ là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.
Ta có
$R = d(I;(SMN))$
$= \frac{|na + mb + mnc -mn|}{\sqrt{n^{2} + m^{2} + m^{2}n^{2}}}$
$= \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{\sqrt{1 - 2mn + m^{2}n^{2}}}$
$= \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{1 - mn}$
$= \frac{\left| (1 - c)m^{2} + (b + c - a- 1)m + a ight|}{m^{2} - m + 1}$
Mà $R$ không đổi nên $\frac{1 - c}{1} = \frac{b + c - a - 1}{- 1} =\frac{a}{1} = t \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = t \\b = t \\c = 1 - t \\\end{matrix} ight.$ , hay $I(t;t;1- t)$ .
Mặt khác ta có $R = IA = \sqrt{3t^{3} - 4t +2} = |t| \Rightarrow t = 1$ .
Vậy $R = 1$ .