Luyện tập Phương trình mặt cầu Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Xác định bán cầu mặt cầu ngoại tiếp tứ giác
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 1;0;0),B(0;0;2),C(0; - 3;0)$ . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là:
- A.
  $\frac{\sqrt{14}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{14}}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{14}}{4}$
- D.
  $\sqrt{14}$
Hướng dẫn:
Gọi $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$

Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

Vì $O;A;B;C \in (S)$ nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ 1 + 2a + d = 0 \\ 4 - 4c + d = 0 \\ 9 + 6b + d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ a = - \frac{1}{2} \\ b = - \frac{3}{2} \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy bán kính mặt cầu $(S)$ là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \frac{\sqrt{14}}{2}$
Câu 2: Thông hiểu
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $I(1; - 2;3)$ . Viết phương trình mặt cầu tâm $I$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm $A;B$ sao cho $AB = 2\sqrt{3}$ ?
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 20$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên $H(1;0;0)$

$IH = \sqrt{13} \Rightarrow R = IA = \sqrt{IH^{2} + AH^{2}} = 4$

Phương trình mặt cầu là: $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$ .
Câu 3: Vận dụng
Tính bán kính đường tròn
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + \left( z + \sqrt{2} ight)^{2} = 9$ và hai điểm $A\left( - 2;0; - 2\sqrt{2} ight),B( - 4; - 4;0)$ . Biết tập hợp tất cả các điểm $M \in (S)$ để $MA^{2} + \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB} = 16$ là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là:
- A.
  $r = \sqrt{2}$
- B.
  $r = \sqrt{3}$
- C.
  $r = 2\sqrt{2}$
- D.
  $r = \sqrt{5}$
Hướng dẫn:
Gọi $M(x;y;z) \in (S)$ khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = \left( x + 2;y;z + 2\sqrt{2} ight) \\ \overrightarrow{OM} = (x;y;z) \\ \overrightarrow{BM} = (x + 4;y + 4;z) \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có:

$MA^{2} + \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB} = 16$

$\Leftrightarrow MA^{2} + \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BM} = 16$

$\Leftrightarrow (x + 2)^{2} + y^{2} + \left( z + 2\sqrt{2} ight)^{2} + x(x + 4) + y(y + 4) + z^{2} = 16$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 4y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0$

Ta lại có:

$M \in (S) \Leftrightarrow (x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + \left( z + \sqrt{2} ight)^{2} = 9$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 4y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow y = 0$

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn giao tuyến (C) của (S) và mặt phẳng (P): y = 0.

Mặt cầu (S) có bán kính R = 3, tâm $I\left( - 2;1; - \sqrt{2} ight)$ nên d [I,(P)] = 1.

Suy ra đường tròn (C) có bán kính:

$r = \sqrt{R^{2} - \left( d\left( I;(P) ight) ight)^{2}} = 2\sqrt{2}$
Câu 4: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$ và các điểm $A(1; 0; 2); B(−1; 2; 2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A; B$ sao cho thiết diện của mặt phẳng $(P)$ với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình $(P)$ dưới dạng $ax + by + cz + 3 = 0$ . Tính $T = a + b + c$ .
- A.
  $T = 1$
- B.
  $T = - 3$
- C.
  $T = - 2$
- D.
  $T = 0$
Hướng dẫn:
Ta có:

(S) có tâm $I(1; 2; 3)$ , bán kính $R = 4$ .

Nhận thấy: $IA = IB = \sqrt{5} < R$ ⇒ A; B nằm bên trong mặt cầu.

Gọi K là trung đểm của AB $⇒ K(0; 1; 2); IK ⊥ AB.$

Gọi H là hình chiếu của I trên (P),(P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn tâm H bán kính r.

S_td nhỏ nhất ⇔ r nhỏ nhất ⇔ IH lớn nhất

$⇔ IH = IK ⇔ H ≡ K.$

Khi đó mặt phẳng (P): Đi qua A và có VTPT là $\overrightarrow{IK} = ( - 1; - 1; - 1)$

⇒ Phương trình mặt phẳng $(P) : −x−y−z+3 = 0 ⇒ a+b+c = −3$
Câu 5: Nhận biết
Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian $Oxyz$ , tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu?
- A.
  $m \geq 6$
- B.
  $m \leq 6$
- C.
  $m > 6$
- D.
  $m < 6$
Hướng dẫn:
Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là một mặt cầu

$\Leftrightarrow 1^{2} + 1^{2} + 2^{2} - m > 0 \Leftrightarrow m < 6$ .
Câu 6: Nhận biết
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0; - 3)$ và đi qua điểm $M(4;0;0)$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 5$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 25$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 25$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 5$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0; - 3)$ và bán kính $R$ là:

$x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = R^{2}$

Ta có: $M \in (S) \Rightarrow 4^{2} + 0^{2} + (0 + 3)^{2} = R^{2}$

$\Leftrightarrow R^{2} = 25$

Vậy phương trình cần tìm là: $x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 25$ .
Câu 7: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Trong không gian $Oxyz$ , hai điểm $A(7; - 2;2)$ và $B(1;2;4)$ . Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính $AB$ ?
- A.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 2\sqrt{14}$
- B.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 14$
- C.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
- D.
  $(x - 7)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 14$
Hướng dẫn:
Mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm $I(4;0;3)$ của $AB$ làm tâm và có bán kính $R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}$

Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tìm các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 3$ và mặt phẳng $(\alpha):(m - 4)x + 3y - 3mz + 2m - 8 = 0$ . Với giá trị nào của tham số $m$ thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?
- A.
  $m = - 1$
- B.
  $m = \frac{- 7 + \sqrt{33}}{2}$
- C.
  $m = \frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{2}$
- D.
  $m = 1$
Hướng dẫn:
Mặt cầu (S) có tâm $I(−3; 1; −1)$ và bán kính $R = \sqrt{3}$

Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi

$d\left( I;(P) ight) = R$

$\Leftrightarrow \frac{\left| (m - 4).( - 3) + 3.1 - 3m.( - 1) + 2m - 8 ight|}{\sqrt{(m - 4)^{2} + 3^{2} + ( - 3m)^{2}}} = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \frac{|2m + 7|}{\sqrt{10m^{2} - 8m + 25}} = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 26m^{2} - 52m + 26 = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Vậy đáp án cần tìm là: $m = 1$ .
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x - 2y + 4z - 3 = 0$
- B.
  $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - x - y - z = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$
- D.
  $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0$
Hướng dẫn:
Phương trình $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu nếu $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$
Câu 10: Thông hiểu
Tính diện tích mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm là điểm $A(2; 2; 2)$ , mặt phẳng $(P) : 2x + 2y + z + 8 = 0$ cắt mặt cầu $(S)$ theo thiết diện là đường tròn có bán kính $r = 8$ . Diện tích của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $200\pi$
- B.
  $10\pi$
- C.
  $400\pi$
- D.
  $20\pi$
Hướng dẫn:
Ta có:

$d\left( A;(P) ight) = \frac{|4 + 4 + 2 + 8|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 6$

$R^{2} = d^{2}\left( A;(P) ight) + r^{2} = 100$

Vậy diện tích mặt cầu là: $S = 4\pi R^{2} = 400\pi$ .
Câu 11: Thông hiểu
Định các giá trị nguyên tham số m
Trong không gian $Oxyz$ , có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x - 2(m - 1)z + 3m^{2} - 5 = 0$ là một phương trình mặt cầu
- A.
  $7$
- B.
  $5$
- C.
  $4$
- D.
  $6$
Hướng dẫn:
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

$(m + 2)^{2} + (m - 1)^{3} - 3m^{2} + 5 > 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m - 10 < 0$

$\Leftrightarrow m \in \left( - 1 - \sqrt{11};1 + \sqrt{11} ight)$

Theo bài ra $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2;3;4 ight\}$

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 12: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y - z - 1 = 0$ và mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y + 6z + 5 = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  (P) đi qua tâm của mặt cầu (S).
- B.
  (P) không cắt mặt cầu (S).
- C.
  (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
- D.
  (P) cắt mặt cầu (S).
Hướng dẫn:
Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; −3)$ , bán kính $R = \sqrt{1 + 4 + 9 - 5} = 3$

Ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.1 + 2.2 - ( - 3) - 1 ight|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{8}{3} < R$

Do đó (P) cắt mặt cầu (S).
Câu 13: Thông hiểu
Tìm độ lớn bán kính mặt cầu
Cho hai điểm $A;B$ cố định trong không gian có độ dài $AB = 4$ . Biết rằng tập hợp các điểm $M$ trong không gian sao cho $MA = 3MB$ là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?
- A.
  $R = \frac{9}{2}$
- B.
  $R = \frac{3}{2}$
- C.
  $R = 1$
- D.
  $R = 3$
Hướng dẫn:
Ta có: $MA = 3MB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} = 9\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}$

$\Leftrightarrow IA^{2} - 9IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} ight) = 8MI^{2}$ (*)

Gọi $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AB}$ nên $IB = \frac{1}{2};IA = \frac{9}{2}$

Từ (*) suy ra $8MI^{2} = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2} \Rightarrow M \in S\left( I;\frac{3}{2} ight)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Xác định vectơ chỉ phương
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ và đi qua ba điểm $A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3)$ . Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $( - 2;1;0)$
- B.
  $(0;0;0)$
- C.
  $(2; - 1;0)$
- D.
  $(0;0; - 2)$
Hướng dẫn:
Gọi tâm mặt cầu là $I(a;b;c)$ và phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

Do $I \in (Oxy) \Rightarrow c = 0$

$\Rightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by + d = 0$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} A \in (S) \\ B \in (S) \\ C \in (S) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + 4b - d = 21 \\ 2a - 6b - d = 11 \\ 4a + 4b - d = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 1 \\ d = - 21 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $I( - 2;1;0)$ là đáp án cần tìm.
Câu 15: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $I(2;3;4)$ và $A(1;2;3)$ . Phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua $A$ có phương trình là:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 45$
- B.
  $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 4)^{2} = 9$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 3$
- D.
  $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 4)^{2} = 3$
Hướng dẫn:
Bán kính mặt cầu là $R = IA = \sqrt{3}$

Phương trình mặt cầu tâm $I(2;3;4)$ và $R = IA = \sqrt{3}$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 3$
Câu 16: Vận dụng cao
Xác định bán kính mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $S(0;0;1)$ và $A(1;1;1)$ . Hai điểm $M(m;0;0),N(0 ;n;0)$ thay đổi sao cho $m + n = 1$ và $m > 0,n > 0$ . Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(SMN)$ . Bán kính của mặt cầu đó là:
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $\sqrt{3}$
- D.
  $\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng $(SMN)$ là $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{1} =1$
$\Leftrightarrow nx + my + mnz - mn =0$ .
Gọi $I(a;b;c)$ và $R$ là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.
Ta có
$R = d(I;(SMN))$
$= \frac{|na + mb + mnc -mn|}{\sqrt{n^{2} + m^{2} + m^{2}n^{2}}}$
$= \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{\sqrt{1 - 2mn + m^{2}n^{2}}}$
$= \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{1 - mn}$
$= \frac{\left| (1 - c)m^{2} + (b + c - a- 1)m + a ight|}{m^{2} - m + 1}$
Mà $R$ không đổi nên $\frac{1 - c}{1} = \frac{b + c - a - 1}{- 1} =\frac{a}{1} = t \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = t \\b = t \\c = 1 - t \\\end{matrix} ight.$ , hay $I(t;t;1- t)$ .
Mặt khác ta có $R = IA = \sqrt{3t^{3} - 4t +2} = |t| \Rightarrow t = 1$ .
Vậy $R = 1$ .
Câu 17: Thông hiểu
Lập phương trình mặt phẳng (P)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0$ , mặt phẳng $(\alpha):x + 4y + z - 11 = 0$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ , $(P)$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow{v} = (1;6;2)$ và $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ . Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 3 = 0 \\ 2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z - 2 = 0 \\ x - 2y + z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 5 = 0 \\ 2x - y + 2z - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x - 2y + 2z + 3 = 0 \\ x - 2y + z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; −3; 2) và bán kính $R\ = \ 4$ .

Từ giả thiết suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack = (2; - 1;2)$ , suy ra $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2; - 1;2)$

Vậy $(P)$ có phương trình dạng $2x - y + 2z + m = 0$

Do $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ nên:

$d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2.1 + 3 + 2.2 + m|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4$

$\Leftrightarrow |9 + m| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - 21 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 3 = 0 \\ 2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 18: Vận dụng
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $\left( S_{m} ight):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - m)^{2} = \frac{m^{2}}{4}$ với $m > 0$ là tham số thực) và hai điểm $A(2;3;5),B(1;2;4)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số $m$ để trên $\left( S_{m} ight)$ tồn tại điểm $M$ sao cho $MA^{2} - MB^{2} = 9$ ?
- A.
  $m = 1$
- B.
  $m = \frac{4 - \sqrt{3}}{2}$
- C.
  $m = 8 - 4\sqrt{3}$
- D.
  $m = 3 - \sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Gọi $M(x;y;z)$

Theo đề bài ra ta có:

$MA^{2} - MB^{2} = 9$

$\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 5)^{2} - (x - 1)^{2} - (y - 2)^{2} - (z - 4)^{2} = 9$

$\Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0$

Mặt cầu (S_m) có tâm I(1; 1; m) và bán kính $R = \frac{m}{2}$

Gọi (α): x + y + z − 4 = 0. Khi đó:

$M(1;1;m) \in \left( S_{m} ight) \Leftrightarrow d\left( I;(\alpha) ight) \leq R$

$\Leftrightarrow \frac{|m - 2|}{\sqrt{3}} \leq \frac{m}{2} \Leftrightarrow m - 2 \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}m$

$\Leftrightarrow m \geq 8 - 4\sqrt{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số m cần tìm là $m = 8 - 4\sqrt{3}$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính bán kính mặt cầu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\sqrt{7}$
- B.
  $9$
- C.
  $3$
- D.
  $\sqrt{15}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.0.x - 2.1y - 2.( - 1)z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = - 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tâm mặt cầu là: $I(0;1; - 1)$

Bán kính mặt cầu là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2} - 7} = 3$
Câu 20: Vận dụng cao
Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 9$ hai hai điểm $M(4; −4; 2),N(6; 0; 6)$ . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho $EM + EN$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?
- A.
  $2x + y - 2z - 9 = 0$
- B.
  $2x - 2y + z + 9 = 0$
- C.
  $x - 2y + 2z + 8 = 0$
- D.
  $2x + 2y + z + 1 = 0$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

$(EM + EN)^{2} \leq 2\left( EM^{2} + EN^{2} ight) = 2\left( 2EP^{2} + \frac{MN^{2}}{2} ight)$

nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$

Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 \\\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z - 2}{1} \\\end{matrix} ight.$

Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là $2x−2y+z+9 = 0$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (15%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

6 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Toán 12 CD