Luyện tập Hằng đẳng thức đáng nhớ

Khoahoc.vn xin gửi tới bạn đọc bài viết Bài tập Toán lớp 8: Hằng đẳng thức đáng nhớ sách Chân trời sáng tạo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng cao
Biểu diễn số H theo a
Biết $\underbrace {11...1}_n = a$ . Biểu diễn số $H = \underbrace {11...1}_n\underbrace {22....25}_{n + 1}$ theo a ta được kết quả là:
- A.
  $H = (25a + 1)^{2}$
- B.
  $H = (21a + 2)^{2}$
- C.
  $H = (10a + 9)^{2}$
- D.
  $H = (30a + 5)^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\underbrace {11...1}_n = a \Rightarrow {10^n} = 9a + 1$

Do đó:

$H = a.10^{n + 2} + 20(10a + 1) + 5$

$H = a.(900a + 100) + 200a + 25$

$H = 900a^{2} + 300a + 25 = (30a + 5)^{2}$
Câu 2: Vận dụng
Biến đổi biểu thức E
Thực hiện rút gọn biểu thức:

$E = (a + b + c)^{3} - (b + c - a)^{3} - (a + c - b)^{3} - (a + b - c)^{3}$
- A.
  $E = 24abc$
- B.
  $E = 1$
- C.
  $E = 0$
- D.
  $E = 12(a + b + c)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$E = (a + b + c)^{3} - (b + c - a)^{3} - (a + c - b)^{3} - (a + b - c)^{3}$

$E = \left\lbrack a + (b + c) ightbrack^{3} - \left\lbrack (b + c) - a ightbrack^{3} - \left\lbrack a - (b - c) ightbrack^{3} - \left\lbrack a + (b - c) ightbrack^{3}$

$E = a^{3} + 3a^{2}(b + c) + 3a(b + c)^{2} + (b + c)^{3}$

$- (b + c)^{3} + 3(b + c)^{2}a - 3a^{2}(b + c) + a^{3}$

$- a^{3} + 3a^{2}(b - c) - 3a(b - c)^{2} + (b - c)^{3}$

$- a^{3} - 3a^{2}(b - c) - 3a(b - c)^{2} - (b - c)^{3}$

$E = 2a^{3} + 6a(b + c)^{2} - 2a^{3} - 6a(b - c)^{2}$

$E = 6a.\left\lbrack (b + c)^{2} - (b - c)^{2} ightbrack$

$E = 6a.(b + c + b - c)(b + c - b + c)$

$E = 6a.2b.2c = 24abc$
Câu 3: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai
Tìm đáp án sai.
- A.
  $(c - d)^{3} = c^{3} - d^{3} + 3cd(d - c)$
- B.
  $( - b - a)^{3} = - a^{3} - 3ab(a + b) - b^{3}$
- C.
  $(y - 2)^{3} = y^{3} - 8 - 6y(y + 2)$
- D.
  $(y - 1)^{3} = y^{3} - 1 - 3y(y - 1)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$(y - 2)^{3} = y^{3} - 6y^{2} + 12y - 8 = y^{3} - 8 - 6y(y - 2)$
Câu 4: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức
Cho biểu thức: $T = - 2\left( x^{3} + y^{3} ight) + 3\left( x^{2} + y^{2} ight)$ . Tính giá trị của T khi $x + y = 1$ .
- A.
  $T = 0$
- B.
  $T = 1$
- C.
  $T = - 2$
- D.
  $T = 3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$T = - 2\left( x^{3} + y^{3} ight) + 3\left( x^{2} + y^{2} ight)$

$T = - 2\left\lbrack (x + y)^{3} - 3xy(x + y) ightbrack + 3\left\lbrack (x + y)^{2} - 2xy ightbrack$

$T = - 2(x + y)^{3} + 6xy(x + y) + 3(x + y)^{2} - 6xy$

Theo bài ra ta có: $x + y = 1$ suy ra:

$T = - 2.1^{3} + 6xy.1 + 3.1^{2} - 6xy$

$T = - 2 + 6xy + 3 - 6xy = 1$
Câu 5: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $Z = x - x^{2} + 2$ là:
- A.
  $Z = \frac{4}{5}$
- B.
  $Z = \frac{7}{2}$
- C.
  $Z = \frac{9}{4}$
- D.
  $Z = - \frac{3}{4}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$Z = x - x^{2} + 2$

$Z = - x^{2} + 2.x.\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 2$

$Z = - \left( x^{2} - 2.x.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} ight) + \frac{9}{4}$

$Z = - \left( x - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{9}{4} \leq \frac{9}{4}$

(Vì $\left( x - \frac{1}{2} ight)^{2} \geq 0\forall x \Rightarrow - \left( x - \frac{1}{2} ight)^{2} \leq 0\forall x$ )

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $\frac{9}{4}$ khi $x = \frac{1}{2}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Thu gọn đa thức $A= (3+2a )\left( 4a^{2} + 9- 6a ight) - 4\left( 2a^{3} - 3ight)$ thu được:
- A.
  Một số lẻ
- B.
  Một số chính phương
- C.
  Một số chia hết cho 6
- D.
  Một số chẵn
Hướng dẫn:
Ta có:
$A= (3+2a )\left( 4a^{2} + 9- 6a ight) - 4\left( 2a^{3} - 3ight)$
$A = (2a)^{3} + 3^{3} - 8a^{3} +12$
$A = 8a^{3} + 27 - 8a^{3} + 12 =39$
Vậy biểu thức A sau khi thu gọn ta được một số lẻ.
Câu 7: Thông hiểu
Tìm x
Tìm x biết: $x(x - 5)(x + 5) - (x - 2)\left( x^{2} + 2x + 4 ight) = 3$
- A.
  $x = 1$
- B.
  $x = - 5$
- C.
  $x = - \frac{3}{5}$
- D.
  $x = \frac{1}{5}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x(x - 5)(x + 5) - (x - 2)\left( x^{2} + 2x + 4 ight) = 3$

$x\left( x^{2} - 14 ight) - \left( x^{3} - 8 ight) = 3$

$x^{3} - 25x - x^{3} + 8 = 3$

$25x = 5$

$x = \frac{1}{5}$

Vậy $x = \frac{1}{5}$
Câu 8: Thông hiểu
Thực hiện phép tính
Rút gọn biểu thức: $R = (x + 1)^{2} - 2(2x - 1)(1 + x) + 4x^{2} - 4x +1$
- A.
  $R = - (x + 2)^{2}$
- B.
  $R = - (2 - x)^{2}$
- C.
  $R = (x + 2)^{2}$
- D.
  $R = (x - 2)^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có
$R = (x + 1)^{2} - 2(2x - 1)(1 + x) +4x^{2} - 4x + 1$
$R = (x + 1)^{2} - 2(2x - 1)(1 + x) + (2x- 1)^{2}$
$R = \left\lbrack (x + 1) - (2x - 1)ightbrack^{2}$
$R = (x + 1 - 2x + 1)^{2} = (2 - x)^{2} =(x - 2)^{2}$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm x
Tìm x biết: $(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} - 6(x - 1)^{2} = - 10$
- A.
  $x = - 1$
- B.
  $x = - \frac{1}{2}$
- C.
  $x = 1$
- D.
  $x = - \frac{1}{4}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} - 6(x - 1)^{2} = - 10$

$x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1 - x^{3} + 3x^{2} - 3x + 1 - 6\left( x^{2} - 2x + 1 ight) = - 10$

$6x^{2} + 2 - 6x^{2} + 12x - 6 = - 10$

$12x - 4 = - 10$

$12x = - 6$

$x = - \frac{1}{2}$

Vậy $x = - \frac{1}{2}$
Câu 10: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức
Tính giá trị biểu thức $x^{2} - 10x + 25$ tại $x = 55$
- A.
  $3025$
- B.
  $2209$
- C.
  $3600$
- D.
  $2500$
Hướng dẫn:
Ta có:
$x^{2} - 10x + 25 = (x - 5)^{2} = (55 -5)^{2} =50^2= 2500$
Câu 11: Thông hiểu
Biến đổi biểu thức
Thực hiện phép tính $9x^{2} - (3x - 4)^{2}$ thu được kết quả là:
- A.
  $24x + 16$
- B.
  $24x - 16$
- C.
  $6x + 4$
- D.
  $6x - 4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$9x^{2} - (3x - 4)^{2}$

$= (3x)^{2} - (3x - 4)^{2}$

$= (3x + 3x - 4)(3x - 3x + 4)$

$= (6x - 4).4 = 24x - 16$
Câu 12: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho hai biểu thức:

$M = (4x + 1)^{3} - (4x + 3)\left( 16x^{2} + 3 ight)$

$N = (x - 1)^{3} - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) + 5x$

Chọn khẳng định đúng về mối quan hệ của M và N.
- A.
  $M = 2N$
- B.
  $M = - N$
- C.
  $M = \frac{1}{2}N$
- D.
  $M = N$
Hướng dẫn:
Ta có:

$M = (4x + 1)^{3} - (4x + 3)\left( 16x^{2} + 3 ight)$

$M = 64x^{3} + 48x^{3} + 12x + 1 - 64x^{3} - 12x - 48x^{2} - 9$

$M = - 8$

$N = (x - 1)^{3} - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) + 5x$

$N = (x - 1)^{3} - x\left( x^{2} - 1 ight) + 6x(x - 3) + 5x$

$N = x^{3} - 6x^{2} + 12x - 8 - x^{3} + x + 6x^{2} - 18x + 5x$

$N = - 8$

Vậy $M = N$
Câu 13: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Tính giá trị biểu thức $x^{3} - y^{3}$ , biết $x - y = 6$ và $xy = 9$ .
- A.
  $54$
- B.
  $216$
- C.
  $270$
- D.
  $378$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x^{3} - y^{3} = (x - y)^{3} + 3xy(x - y) = 6^{3} + 3.9.6 = 378$
Câu 14: Vận dụng
Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $(x - 3)(x + 5) + 4$ .
- A.
  $- 8$
- B.
  $0$
- C.
  $- 12$
- D.
  $- 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$(x - 3)(x + 5) + 4 = x^{2} + 5x - 3x - 15 + 4$

$= x^{2} + 2x - 15 + 4 = (x + 1)^{2} - 12 \geq - 12$ (vì $(x + 1)^{2} \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}$ )

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng -12 khi x = -1.
Câu 15: Nhận biết
Chọn những đáp án đúng
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A. $(x - 1)^{3} = (1 - x)^{3}$
- B. $(x - 3)^{2} = x^{2} - 2x + 9$
- C. $(2x - 1)^{2} = (1 - 2x)^{2}$
- D. $x^{2} - 1 = 1 - x^{2}$
- E. $(x + 1)^{3} = (1 + x)^{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:
$(2x - 1)^{2} = \left\lbrack - (1 - 2x)ightbrack^{2} = ( - 1)^{2}(1 - 2x)^{2} = (1 - 2x)^{2}$
$(x - 1)^{3} = \left\lbrack - (1 - x)ightbrack^{3} = ( - 1)^{3}.(1 - x)^{3} = - (1 - x)^{3}$
$(x + 1)^{3} = (1 + x)^{3}$
$x^{2} - 1 = - \left( 1 - x^{2} ight)eq 1 - x^{2}$
$(x - 3)^{2} = x^{2} - 6x + 9$