Luyện tập Hình chữ nhật Hình vuông

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tính số đo góc BID
Cho hình thang vuông $ABCD$ ( $\widehat{A} = \widehat{D} = 90^{0}$ ); $(AB < CD)$ . Vẽ $BE$ vuông góc $CD$ tại $E$ . trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $M$ sao cho $BM = CD$ . Gọi $N$ là giao điểm của $AE$ và $BD$ , $K$ là trung điểm của $EM$ . Vẽ $AI$ vuông góc $ME$ . Tính số đo góc $\widehat{BID}$ .
- A.
  $\widehat{BID} = 90^{0}$
- B.
  $\widehat{BID} = 45^{0}$
- C.
  $\widehat{BID} = 100^{0}$
- D.
  $\widehat{BID} = 60^{0}$
Hướng dẫn:
Trong tam giác $AEM$ , NK là đường trung bình, do đó $NK // AM$

Dễ thấy tứ giác $ABED$ là hình chữ nhật, do đó N là trung điểm của AE và BD và $AE = BD$ .

Tam giác IAE vuông tại I, có IN là đường trung tuyến, do đó: $IN = NA = NE = NB = ND$ .

Tam giác IBD có IN là trung tuyến thỏa mãn $IN = IB = ID$ , do đó BID là tam giác vuông tại I.

$\Rightarrow \widehat{BID} = 90^{0}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính tổng số đo hai góc
Cho hình chữ nhật $ABCD$ . Trên tia đối của tia $CB$ và $DA$ lấy lần lượt hai điểm $E$ và $F$ sao cho $CE = DF = CD$ . Trên tia đối của tia $CD$ lấy điểm $H$ sao cho $CH = CB$ . Tính tổng số đo hai góc $\widehat{FAE};\widehat{DFH}$ .
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $135^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết, $DF = CE$ và $DF // CE$ , suy ra tứ giác $CDEF$ là hình bình hành.

Mặt khác $\widehat{CDF} = 90^{0}$

Vậy $CDFE$ là hình chữ nhât.

Ta có: $AF = AD + DF = CH + CD = DH$

Xét tai tam giác $AFE$ và có:

$AF = HD$

$\widehat{AFE} = \widehat{HDF} = 90^{0}$

$FE = DF$

$\Rightarrow \Delta AFE = \Delta HDF \Rightarrow \widehat{FAE} = \widehat{DHF}$

Mặt khác $\widehat{DHF} + \widehat{DFH} = 90^{0} \Rightarrow \widehat{FAE} + \widehat{DFH} = 90^{0}$
Câu 3: Thông hiểu
Tứ giác PMQC là hình gì
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ . Trên các cạnh $AC, BC$ lấy lần lượt các điểm $P, Q$ sao cho $AP = CQ$ . Từ điểm $P$ vẽ $PM$ song song với $BC, (M ∈ AB)$ . Tứ giác $PMQC$ là hình gì?
- A.
  Hình thoi
- B.
  Hình chữ nhật
- C.
  Hình bình hành
- D.
  Hình vuông
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có:

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên $\widehat{CAB} = 45^{0}$

$\left\{ \begin{matrix} PM//BC \\ AC\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow PM\bot AC \Rightarrow PM\bot AP$

Do đó tam giác $APM$ vuông tại $P$ và $\widehat{PAM} = 45^{0}$ nên tam giác $APM$ là tam giác vuông cân tại $P$ .

$\Rightarrow AP = PM$

Mà $AP = CQ ⇒ PM = CQ$ . Và $PM // BC => PM // CQ$

Do đó $PMQC$ là hình bình hành.

Hình bình hành $PMQC$ có $\widehat{MPC} = 90^{0}$

Vậy $PMQC$ là hình chữ nhật.
Câu 4: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Nhóm tứ giác nào có tổng số đo hai góc đối bằng 180⁰?
- A.
  Hình bình hành, hình thang cân, hình chữ nhật.
- B.
  Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.
- C.
  Hình thang cân, hình thoi, hình vuông.
- D.
  Hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi.
Hướng dẫn:
Nhóm tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 180⁰ là: “Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.”
Câu 5: Thông hiểu
Tìm đáp án sai
Chọn khẳng định sai?
- A.
  Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
- B.
  Hình vuông là hình chữ nhật nhưng không là hình thoi.
- C.
  Hình vuông vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.
- D.
  Hình vuông có đường chéo là phân giác các góc trong hình vuông.
Hướng dẫn:
Hình vuông vừa là hình chữ nhật và hình thoi nên nó có đầy đủ tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Vậy khẳng định sai là: “Hình vuông là hình chữ nhật nhưng không là hình thoi”
Câu 6: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho hình vuông $ABCD$ , trên các cạnh $AB, BC, CD, DA$ lần lượt lấy $M, N, P, Q$ sao cho $AM = BN = CP = DQ$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $MNPQ$ là hình bình hành
- B.
  $MNPQ$ là hình vuông
- C.
  $MNPQ$ là hình chữ nhật
- D.
  $MNPQ$ là hình thoi
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Bốn tam giác $AQM, BNM, CPN, DQP$ bằng nhau

$=> QM = MN = NP = PQ$

=> Tứ giác $QMNP$ là hình thoi.

Ta có: $\Delta MBN = \Delta NCP \Rightarrow \widehat{BMN} = \widehat{CNP}$

Mặt khác $\widehat{BNM} + \widehat{BMN} = 90^{0} = \widehat{BNM} + \widehat{NNP}$

$\Rightarrow \widehat{MNP} = 90^{0}$

Vậy hình thoi $QMNP$ có một góc vuông nên tứ giác $MNPQ$ là hình vuông.
Câu 7: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của S
Cho hình chữ nhật $ABCD$ , $AB = 8; BC = 6$ . Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $S = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} + MD^{2}$ .
- A.
  $100$
- B.
  $50$
- C.
  $150$
- D.
  $200$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên $AC = BD = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} MA = x \\ MC = y \\ \end{matrix} ight.$

Xét ba điểm $M, A, C$ ta có: $MA + MC \geq AC$

Do đó $x + y \geq 10 \Rightarrow (x + y)^{2} \geq 100$ hay $x^{2} + y^{2} + 2xy \geq 100(*)$

Mặt khác $(x - y)^{2} \geq 0$ hay $x^{2} + y^{2} - 2xy \geq 0(**)$

Từ (*) và (**) suy ra $2\left( x^{2} + y^{2} ight) \geq 100 \Rightarrow x^{2} + y^{2} \geq 50$

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa A và C và $MA = MC$

=> M là trung điểm của AC

Chứng minh tương tự ta được: $MB^{2} + MD^{2} \geq 50$

Dấu “=” xảy ra khi M là trung điểm của BD

Hay $MA^{2} + MC^{2} + MB^{2} + MD^{2} \geq 100$

Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng S là 100 khi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Câu 8: Thông hiểu
Xác định tứ giác AEDF
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Gọi $AD$ là đường phân giác của góc $A$ , ( $D$ thuộc $BC$ ), từ $D$ kẻ $DE$ và $DF$ lần lượt vuông góc với $AB$ và $AC$ . Tứ giác $AEDF$ là hình gì?
- A.
  Hình thoi
- B.
  Hình thang có hai góc vuông
- C.
  Hình chữ nhật
- D.
  Hình vuông
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác $AEDF$ có $\widehat{EAF} = \widehat{AFD} = \widehat{AED} = 90^{0}$

Nên tứ giác $AEDF$ là hình chữ nhật.

Mà AD là đường chéo đồng thời là đường phân giác nên tứ giác $AEDF$ là hình vuông.
Câu 9: Vận dụng
Xác định dạng của tam giác ADE
Cho hình vuông $ABC$ cân tại $A$ , góc ở đáy bằng 75⁰ và hình vuông $BDEC$ (các điểm $A, D, E$ nằm cùng phía đối với $BC$ ). Xác định dạng của tam giác $ADE$ .
- A.
  Tam giác cân
- B.
  Tam giác vuông
- C.
  Tam giác vuông cân
- D.
  Tam giác đều
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vẽ tam giác đều $BIC$ vào trong hình vuông

$\widehat {ABI} = \widehat {ABC} - \widehat {IBC} = {75^0} - {60^0} = {15^0}$

$\widehat{ABD} = 90^{0} - \widehat{ABC} = 15^{0}$

Suy ra $\Delta BDA = \Delta BIA(c - g - c)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} DA = AI \\ \widehat{DAB} = \widehat{IAB} \\ \end{matrix} ight.$

Chứng minh tương tự $\Delta CAII = \Delta CAE \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AE = AI \\ \widehat{IAC} = \widehat{CAE} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AD = AE = AI \\ \widehat{DAE} = 2\widehat{BAI} + 2\widehat{CAI} = 2\widehat{BAC} = 60^{0} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tam giác $ADE$ đều.
Câu 10: Vận dụng
Xác định tứ giác MNPQ
Cho hình bình hành $ABCD$ , tia phân giác góc $\widehat{A}$ cắt tia phân giác góc $\widehat{B}$ và tia phân giác góc $\widehat{D}$ lần lượt tại $P;Q$ , tia phân giác góc $\widehat{C}$ cắt $BP;DQ$ lần lượt tại . Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?
- A.
  Hình chữ nhật
- B.
  Hình vuông
- C.
  Hình bình hành
- D.
  Hình thoi
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi E là giao điểm của BP và CD, F là giao điểm của DQ và AB. Ta có:

$\widehat{ABE} = \widehat{BEC}$ (so le trong)

$\widehat{FDC} = \widehat{ABE} = \frac{1}{2}\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{FDE} = \widehat{BEC} \Rightarrow BP//DQ$ (hai góc đồng vị bằng nhau)

Chứng minh tương tự $AP\bot BP,\ AQ\bot DQ$

$\widehat{AFD} = \widehat{FDC} = \widehat{FDA}$

Suy ra tam giác AFD cân tại A.

AQ là đường phân giác cũng là đường cao nên $AQ\bot DQ$ .

Vì theo trên $BP // DQ$ nên suy ra $AP\bot BP$ .

Chứng minh tương tự như trên, ta có $CN\bot BN,CM\bot DM$ .

Tứ giác MNPQ có bốn góc vuông nên MNPQ là hình chữ nhật.
Câu 11: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Câu nào đúng trong các câu sau:
- A.
  Trong hình thoi: Hai đường chéo vuông góc với nhau.
- B.
  Trong hình chữ nhật: Hai đường chéo vuông góc với nhau.
- C.
  Trong hình bình hành: Hai đường chéo bằng nhau.
- D.
  Trong hình thang cân: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm.
Hướng dẫn:
Trong hình thoi hai đường chéo vuông góc với nhau.
Câu 12: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Tứ giác nào sau đây vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi?
- A.
  Hình vuông
- B.
  Hình thang vuông
- C.
  Hình bình hành
- D.
  Hình thang
Hướng dẫn:
Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau là:
- A.
  Hình chữ nhật
- B.
  Hình vuông
- C.
  Hình thoi
- D.
  Hình bình hành
Hướng dẫn:
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.
Câu 14: Thông hiểu
Tìm giá trị của x
Tìm x trong hình vẽ sau:
- A.
  $x = 5cm$
- B.
  $x = 10cm$
- C.
  $x = 8cm$
- D.
  $x = 12cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:
Kẻ $AH ⊥ BC$ , ta có $ADCH$ là hình chữ nhật nên $AD = CH = 10 cm, DC = AH = x$
Xét tam giác $AHB$ vuông tại H có $BH = BC − HC = 5 cm$
$\Rightarrow x = AH = \sqrt{AB^{2} -BH^{2}} = 12cm$
Câu 15: Vận dụng
Xác định vị trí điểm M
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh BC. Qua M vẽ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC, AB theo thứ tự tại E và F. Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác AFME là hình vuông?
- A.
  AM là đường cao tam giác ABC
- B.
  AM là đường phân giác góc A
- C.
  M là trung điểm của BC
- D.
  $BM = \frac{1}{3}BC$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Tứ giác $AFME$ có $\widehat {EAF} = \widehat {AEM} = \widehat {MFA} = {90^0}$ nên tứ giác AFME là hình chữ nhật.

Để tứ giác AFME là hình vuông thì đường chéo AM trở thành đường phân giác của góc $\widehat {BAC}$

=> M là giao điểm của đường phân giác trong góc $\widehat {BAC}$ với BC.