Bài tập cuối chương 9 Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn ngoại tiếp

Trong các tứ giác đã cho, hình thang cân, hình vuông, hình chữ nhật nội tiếp được một trong đường tròn.

Tổng số đo các góc ngoài của đa giác là

Số đo của một góc của đa giác đều đó là:

Mà mỗi góc của n giác đều có số đo là:

Vậy đa giác cần tìm có số cạnh bằng 5.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của các đường phân giác các góc trong tam giác.

Ta có:

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực tam giác đó.

Số đo góc ở tâm bằng 2 lần số đo góc nội tiếp cùng chắn cung đó.

Vậy có 2 khẳng định đúng.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên

Mà nên ⇒

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có nên ta suy ra .

Nói cách khác cùng nhìn dưới một góc vuông.

Do đó tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên .

Mà vuông cân tại nên . Suy ra .

Ta lại có

.

Do đó .

Hình vẽ minh họa

Vi là tứ giác nội tiếp nên bốn điểm cùng thuộc một
đường tròn

số đo cung

Hai tam giác vuông

Từ đó

(tứ giác NEMO nội tiếp)

Mà góc phụ với góc nên góc cũng phụ với góc

cân có là phân giác

nên tứ giác NEOF nội tiếp

Hình vẽ minh họa

Đường tròn tâm đường kính có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên .

Hình vẽ minh họa

Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; AB; AC và O là giao điểm của AM; BP; CN.

Vì ABC là tam giác đều nên OA = OB = OC hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mặt khác ta có OM = ON = OP hay O cách đều ba cạnh của tam giác. Vậy O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Xét tam giác vuông AMB có:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

Hình vẽ minh họa

Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

Theo giả thiết ta có: đối xứng với nhau qua nên

Xét tam giác có vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên tam giác cân tại .

Hình vẽ minh họa

Xét có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BD ⊥ EA mà D là trung điểm EA.

Nên ∆BEA có BD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ∆BEA cân tại B.

Suy ra

Hình vẽ minh họa

Tứ giác ABCD nội tiếp (O) nên

(hai góc đối đỉnh)

(góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABN)

Do đó

Hình vẽ minh họa

Xét (O) có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

mà

=> BHCF là hình bình hành

Hình vuông là tứ giác đều ( có bốn cạnh bằng nhau và các góc cùng bằng 90⁰) và tam giác đều là những đa giác đều

Hình thang cân là đa giác không đều vì 4 góc không bằng nhau, các cạnh không bằng nhau.

Hình thoi là đa giác không đều vì các cạnh bằng nhau nhưng các góc không bằng nhau.

Tam giác cân không là đa giác đều vì ba cạnh không bằng nhau.

Ta có: bát giác đều ABCDEFGH nội tiếp đường tròn tâm O nên AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH = HA

Suy ra số đo các cung nhỏ AB; BC; CD; DE; EF; FG; GH; HA đều bằng 45⁰.

Do đó phép quay thuận chiều 135⁰ biến điểm A thành điểm F, điểm B thành điểm G, điểm O thành điểm O.

=> Phép quay thuận chiều 135⁰ biến hình tam giác OAB thành tam giác OFG.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên

Ta có (hai góc đối đỉnh).

Đặt

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)

Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ (1); (2) và (3) ta nhận

Do là hai góc kề bù nên

Ta lại có là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác AOC vuông cân tại O ta có:

=> Tam giác AEC cân tại A

Mà

Ta lại có:

Mà

Mà hai góc ở vị trí so le trong

=>

Xét tam giác CAB có CO là đường trung trực của AB

=> ΔACB cân tại C.

Vậy khẳng định sai là: "AC // FD"

Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.