Luyện tập Đường trung trực của một đoạn thẳng CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
I thuộc trung trực của đoạn MN thì:
- A.
  $IM = IN = \frac{MN}{2}$
- B.
  $IM > IN$
- C.
  $IN > IM$
- D.
  $IM = IN$
Hướng dẫn:
I thuộc trung trực của đoạn MN thì IM = IN (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).
Câu 2: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho đường thẳng d cắt đoạn AB tại một điểm khác trung điểm của AB. Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho M cách đều hai điểm A, B?
- A.
  Không có điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- B.
  M là giao điểm của d và AB.
- C.
  M là một điểm bất kì trên đường thẳng d.
- D.
  M là giao điểm của đường thẳng d với đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì điểm M cách đều hai điểm A và B

Nên điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BA

Giả sử xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB và xy cắt d tại M

Khi đó M là giao điểm của đường thẳng d với đường trung trực của đoạn thẳng AB và điểm M là duy nhất.
Câu 3: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB. Trong hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB lấy hai điểm M và N sao cho MA = MB và NA = NB. Em hay chọn khẳng định đúng nhất?
- A.
  Đường thẳng MN vuông góc với AB.
- B.
  Đường thẳng MN đi qua gốc O.
- C.
  Đường thẳng MN song song với AB.
- D.
  Đường thẳng MN vuông góc với AB tại O.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: MA = MB suy ra M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB

NA = NB suy ra N thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Suy ra đường thẳng MN là đường trung trực của AB.

Mà O là trung điểm của AB

Vậy đường thẳng MN vuông góc với AB tại O
Câu 4: Thông hiểu
Xác định phương án thích hợp
Cho $\widehat{xOy} = 40^{0}$ . Trên tia $Ox$ lấy điểm $A$ , trên tia $Oy$ lấy điểm $B$ . Lấy điểm $C$ sao cho $OB$ là đường trung trực của $AC$ . Chọn khẳng định sai?
- A.
  $\widehat{AOC} = 80^{0}$
- B.
  $\widehat{OCA} = 60^{0}$
- C.
  $\Delta OAB = \Delta OCB$
- D.
  $\Delta OAC$ cân tại $O$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có OB là đường trung trực của đoạn thẳng AC (giả thiết)

Suy ra OA = OC và BA = BC

Khi đó tam giác OAC cân tại O

Xét tam giác OAB và tam giác OCB có :

OA = OC

BA = BC

OB là cạnh chung

$\Rightarrow \Delta OAB = \Delta OCB(c - c - c)$

$\Rightarrow \widehat{AOB} = \widehat{COB} = 40^{0}$

Khi đó $\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{COB} = 40^{0} + 40^{0} = 80^{0}$

Ta có tam giác OAC cân tại O

Suy ra $\widehat{OCA} = \widehat{OAC}$ (tính chất tam giác cân)

Tam giác OAC có: $\widehat{OCA} + \widehat{OAC} + \widehat{AOC} = 180^{0}$ (định lí tổng ba góc tam giác)

$\Rightarrow 2\widehat{OCA} = 180^{0} - \widehat{AOC} = 180^{0} - 80^{0} = 100^{0}$

Khi đó $\Rightarrow \widehat{OCA} = 50^{0} eq 60^{0}$

Vậy đáp án sai là: $\widehat{OCA} = 60^{0}$ .
Câu 5: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Đường thẳng xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB nếu:
- A.
  xy vuông góc với AB.
- B.
  xy vuông góc với AB tại trung điểm của AB.
- C.
  xy cắt AB.
- D.
  xy đi qua trung điểm của AB.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.

Do đó xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB nếu xy vuông góc với AB tại trung điểm của AB.
Câu 6: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Nếu điểm M thỏa mãn MA = MB thì:
- A.
  điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
- B.
  điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
- C.
  điểm M nằm trên đường vuông góc với đoạn thẳng AB.
- D.
  điểm M là điểm nằm giữa của đoạn thẳng AB.
Hướng dẫn:
Nếu điểm M thỏa mãn MA = MB thì điểm M thuộc đường trung trực của đoạn AB (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).
Câu 7: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Hai nhà máy được xây dựng tại hai địa điểm A và B cùng nằm về một phía của khúc sông thẳng. Lấy điểm mốc D ở phía bên kia bờ sông là điểm đối xứng của nhà máy A qua khúc sông thẳng.

Tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây dụng trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A và đến B nhỏ nhất?
- A.
  C là hình chiếu của B lên bờ sông.
- B.
  C là hình chiếu của A lên bờ sông.
- C.
  C là giao điểm của AB và bờ sông.
- D.
  C là giao điểm của BC với bờ sông.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì D là điểm đối xứng của A qua bờ sông

Nên bờ sông chính là đường trung trực của AD

Do đó CA = CD (tính chất đường trung trực)

Suy ra CA + CB = CD + CB

Gọi M là giao điểm của BD và bờ sông

Nếu C không trùng với M, ta xét tam giác BCD có:

CB + CD > BD hay CA + CB > BD (1)

Nếu C không trùng với M thì

CA + CB = CD + CB = MA + MB = BD (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra CA + CB ≥ BD

Do đó C chỉ trùng với M hay C là giao điểm của BD với bờ sông thì giá trị của tổng CA + CB là nhỏ nhất.
Câu 8: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác $ABC$ cân tại $C$ ; $N$ là trung điểm của $AB$ . Đường trung trực của $AC$ và $BC$ cắt nhau tại $K$ . Khi đó ta có:
- A.
  Ba điểm $C;K;B$ thẳng hàng.
- B.
  Ba điểm $C;K;N$ thẳng hàng.
- C.
  Ba điểm $K;A;B$ thẳng hàng.
- D.
  Ba điểm $C;K;A$ thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

K thuộc đường trung trực của AC và BC $\Rightarrow KA = KC;KB = KC$

$\Rightarrow KA = KB = KC$

Suy ra K thuộc đường trung trực của AB

Mặt khác tam giác ABC cân tại C

Suy ra CA = CB

Suy ra C thuộc đường trung trực của AB

N là trung điểm của AB

Suy ra N thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB

Suy ra ba điểm C; K; N thẳng hàng.
Câu 9: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Trong tam giác ABC, hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại D trên cạnh BC. Tính số đo góc $\widehat{BAC}$ ?
- A.
  $100^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

D thuộc đường trung trực của AB và AC suy ra DA = DB, DA = DC

Suy ra tam giác ABD cân tại D suy ra $\widehat{A_{1}} = \widehat{B}$ (tính chất tam giác cân)

Tam giác ACD cân tại D suy ra $\widehat{A_{2}} = \widehat{C}$ (tính chất tam giác cân)

Do đó $\widehat{BAC} = \widehat{A_{1}} + \widehat{A_{2}} = \widehat{B} + \widehat{C}$

Trong tam giác ABC:

$\widehat{BAC} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{0}$ (định lí tổng ba góc tam giác)

$\Rightarrow \widehat{BAC} = \frac{1}{2}.180^{0} = 90^{0}$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Cho đoạn thẳng AB. Dựng tam giác PAB cân tại P và tam giác QAB cân tại Q như hình vẽ:

Chọn khẳng định đúng nhất?
- A.
  PQ không vuông góc với AB.
- B.
  PQ đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.
- C.
  PQ là đường trung trực của đoạn thẳng BA.
- D.
  PQ vuông góc với AB.
Hướng dẫn:
Ta có :

Tam giác PAB cân tại P nên PA = PB

Suy ra P thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB (1)

Tương tự ta có tam giác QAB cân tại Q nên QA = QB

Suy ra Q thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra PQ là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Vì đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó,

Vậy đáp án đúng nhất là: "PQ là đường trung trực của đoạn thẳng BA”.
Câu 11: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho điểm C thuộc trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AC = 10cm. Độ dài đoạn thẳng CB là:
- A.
  40cm.
- B.
  30cm.
- C.
  10cm.
- D.
  20cm.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Điểm C thuộc trung trực của đoạn thẳng AB nên CB = AC = 10cm (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).
Câu 12: Thông hiểu
Chọn hình vẽ thích hợp
Cho đường thẳng d, vẽ hai điểm A, B nằm khác phía với d và AB không vuông góc với d. Dựng điểm C nằm trên d sao cho C cách đều A và B. Hình nào dưới đây vẽ đúng theo yêu cầu trên?
- A.
  Hình 3
- B.
  Hình 4
- C.
  Hình 1
- D.
  Hình 2
Hướng dẫn:
Ta có C cách đều A và B suy ra C thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB

C thuộc (d) (giả thiết)

Do đó Điểm C là giao điểm của đường trung trực m của đoạn thẳng AB và đường thẳng d. Kết hợp điều kiện hai điểm A, B khác phía với d

Vậy hình 4 vẽ đúng với mô tả.
Câu 13: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì
- A.
  cách đều đoạn thẳng đó.
- B.
  cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
- C.
  nằm trên đoạn thẳng đó.
- D.
  cách không đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Hướng dẫn:
Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).
Câu 14: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB < AC$ . Xác định điểm $D \in AC$ sao cho $DA + DB = AC$ ?
- A.
  D trùng A.
- B.
  D là điểm bất kì trên đoạn thẳng AC.
- C.
  D là điểm bất kì trên đường thẳng AC.
- D.
  D là giao điểm của AC với đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vẽ xy là đường trung trực của đoạn thẳng BC, cắt đoạn thẳng AC tại D (AB < AC)

Suy ra D là điểm cần xác định.

Thật vậy, ta có: DB = DC (do D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC)

Suy ra DB + DA = DC + DA

Do đó DB + DA = AC (vì D nằm giữa A và C)

Vậy D là giao điểm của AC với đường trung trực của đoạn thẳng BC thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 15: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho $\Delta ABC$ cố định, đường phân giác $AI;(I \in BC)$ . Trên đoạn thẳng $IC$ lấy điểm $H$ . Từ $H$ kẻ đường thẳng song song với $AI$ , cắt $AB$ kéo dài tại $E$ và cắt $AC$ tại $F$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  Đường trung trực của đoạn thẳng $EF$ luôn đi qua đỉnh $A$ của $\Delta ABC$ .
- B.
  $\Delta AEF$ cân tại $E$ .
- C.
  $\Delta AEF$ cân tại $F$ .
- D.
  Đường trung trực của đoạn thẳng $EF$ không đi qua đỉnh $A$ của $\Delta ABC$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì HE // AI (giả thiết)

Nên $\widehat{AEF} = \widehat{A_{1}}$ (hai góc đồng vị) và $\widehat{F_{1}} = \widehat{A_{2}}$ (so le trong)

Mà $\widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}}$ (do AI là phân giác $\widehat{BAC}$ ).

Suy ra $\widehat{AEF} = \widehat{F_{1}}$

Do đó tam giác AEF cân tại A

Vì tam giác AEF cân tại A nên AE = AF

Suy ra A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn đi qua đỉnh A của $\Delta ABC$ .
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Điểm I thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB thì
- A.
  $IA = IB = 2cm$
- B.
  $IA = IB = 3cm$
- C.
  $IA = \frac{1}{2}IB$
- D.
  $IA = IB = 6cm$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt AB tại I nên I là trung điểm của AB Suy ra: $IA = IB = \frac{1}{2}AB = \frac{6}{2} = 3cm$
Câu 17: Nhận biết
Chọn đáp án sai
Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  Điểm nằm giữa hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
- B.
  Trung trực của đoạn thẳng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.
- C.
  Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.
- D.
  Điểm nằm trên trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Hướng dẫn:
a) Định nghĩa: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.

Hình vẽ trên, d là đường trung trực của đoạn AB.

b) Tính chất

+ Điểm nằm trên trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

M thuộc đường trung trực của đoạn AB

⇒ MA = MB

+ Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

MA = MB ⇒ M thuộc đường trung trực của đoạn AB.
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho điểm $I$ nằm trong $\widehat{aOb}$ . Vẽ điểm $K$ sao cho $Oa$ là đường trung trực của đoạn $IK$ . Vẽ điểm $N$ sao cho $Ob$ là đường trung trực của đoạn $IN$ . Hãy chọn khẳng định đúng?
- A.
  $OK > ON$
- B.
  $OK < ON$
- C.
  $IK = IN$
- D.
  $OK = ON$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có Oa là đường trung trực của đoạn IK suy ra OI = OK

Ob là đường trung trực của IN suy ra OI = ON

Vậy OK = ON
Câu 19: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì
- A.
  nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
- B.
  nằm trên đường thẳng song song đoạn thẳng đó.
- C.
  nằm trên đường thẳng cắt đoạn thẳng đó.
- D.
  nằm trên đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó.
Hướng dẫn:
Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{C} = 60^{0}$ . Trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AC = AD$ . Hỏi tam giác $BCD$ là tam giác gì?
- A.
  Tam giác cân
- B.
  Tam giác đều
- C.
  Tam giác vuông
- D.
  Tam giác vuông cân
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $AC = AD$ mà $BA\bot AC$ (vì tam giác ABC vuông tại A)

Nên AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD,

Do đó BD = BC

Suy ra tam giác BCD cân tại B.

Mà $\widehat{BCA} = 60^{0}(gt)$

Suy ra tam giác BCD đều.