Luyện tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Tìm câu sai
Chọn phát biểu sai: “Giao ba đường trung trực của tam giác
- A.
  Đồng quy tại một điểm và điểm đó được gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
- B.
  Đồng quy tại một điểm và điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.
- C.
  Đồng quy tại một điểm
- D.
  Đồng quy tại một điểm và điểm đó gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Hướng dẫn:
Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm và cách đều ba đỉnh của tam giác.

Vậy câu sai là: "Đồng quy tại một điểm và điểm đó được gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác."
Câu 2: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho $\bigtriangleup ABC$ có $\widehat{A} = 70^{\circ},\widehat{B} = 50^{\circ},O$ là giao điểm các đường trung trực của $\bigtriangleup ABC$ . Số đo góc $\widehat{BOC}$ là.
- A.
  $100^{\circ}$ .
- B.
  $120^{\circ}$ .
- C.
  $80^{\circ}$ .
- D.
  $140^{\circ}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Trong $\bigtriangleup ABC$ ta có:

$\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{AC}B = 180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc tam giác)

$\ \Rightarrow \widehat{ACB} = 180^{\circ} - (\widehat{BAC} + \widehat{ABC})$

$\Rightarrow \widehat{ACB} = 180^{\circ} - \left( 70^{\circ} + 50^{\circ} ight)$

$\Rightarrow \widehat{ACB} = 60^{\circ}$

Vì $O$ là giao điểm các đường trung trực của $\bigtriangleup ABC$ nên $OA = OB = OC$ (tính chất ba đường trung trực)

Do đó $\bigtriangleup OAB, \bigtriangleup OBC, \bigtriangleup OAC$ là các tam giác cân tại $O$ nên

$\widehat{OAB} = \widehat{OBA},\widehat{OAC} = \widehat{OCA},\widehat{OCB} = \widehat{OBC}$

Ta thấy $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 50^{\circ} + 60^{\circ} = 110^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{ABO} + \widehat{OBC} + \widehat{BCO} + \widehat{OCA} = 110^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{OAB} + \widehat{OBC} + \widehat{OCB} + \widehat{OAC} = 110^{\circ}$

$\Rightarrow 2\widehat{OBC} + \widehat{BAC} = 110^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{OBC} = \frac{110^{\circ} - 70^{\circ}}{2} = 20^{\circ}$

Trong $\bigtriangleup OBC$ ta có $\widehat{BOC} + \widehat{OBC} + \widehat{OCB} = 180^{\circ}$ (định lí tồng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{BOC} = 180^{\circ} - 2\widehat{OBC}$

$\Rightarrow \widehat{BOC} = 180^{\circ} - 40^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{BOC} = 140^{\circ}$
Câu 3: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác ABC cân tại A, có hai đường trung trực của đoạn thẳng AB, AC cắt nhau tại O. Chọn phát biểu đúng?
- A.
  $AO\bot AC$
- B.
  AO cắt AC tại trung điểm của AC.
- C.
  AO là trung trực của đoạn thẳng BC.
- D.
  $AO\bot AB$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

O là giao điểm của hai đường trung trực nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC do đó OB = OB hay O thuộc đường trung trực của BC

Ta lại có AB = AC (do tam giác ABC cân tại A) nên A là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Từ đó suy ra AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Gọi O là giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC. Khi đó O là:
- A.
  Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- B.
  Điểm cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
- C.
  Trực tâm tam giác ABC.
- D.
  Trọng tâm tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Câu 5: Nhận biết
Chọn cụm từ thích hợp
Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống: “Ba đường trung trực của tam giác giao nhau tại một điểm. Điểm này cách đều … của tam giác đó.”
- A.
  Ha đỉnh
- B.
  Ba đỉnh
- C.
  Ba cạnh
- D.
  Hai cạnh
Hướng dẫn:
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Vậy cụm từ cần điền là “ba đỉnh”.
Câu 6: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho $\bigtriangleup ABC$ , có $\widehat{A} = 100^{\circ}$ các đường trung trực của $AB$ và $AC$ cắt cạnh $BC$ tại $E$ và $F$ . Số đo góc $\widehat{EAF}$ là:
- A.
  $20^{\circ}$ .
- B.
  $50^{\circ}$ .
- C.
  $40^{\circ}$ .
- D.
  $30^{\circ}$ .
Hướng dẫn:
Vì $E$ thuộc đường trung trực của $AB$ nên $EA = EB$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Khi đó $\bigtriangleup ABE$ cân tại $E$ (dấu hiêu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat{EAB} = \widehat{EBA}$ (tính chất tam giác cân)

Vì $F$ thuộc đường trung trực của $AC$ nên $FA = FC$ tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Khi đó $\bigtriangleup ACF$ cân tại $F$ (dấu hiêu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat{FAC} = \widehat{FCA}$ (tính chất tam giác cân)

Trong $\bigtriangleup ABC$ ta có

$\Rightarrow \widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{ABC} + \widehat{BAE} + \widehat{EAF} + \widehat{FAC} + \widehat{BCA} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow 2\widehat{BAE} + \widehat{EAF} + 2\widehat{FAC} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow 2\widehat{BAE} + \widehat{EAF} + 2\widehat{FAC} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow 2\widehat{BAE} + 2\widehat{EAF} + 2\widehat{FAC} = 180^{\circ} + \widehat{EAF}$

Mà $\widehat{BAC} = 100^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{BAE} + \widehat{EAF} + \widehat{FAC} = 100^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{EAF} + 180^{\circ} = 200^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{EAF} = 20^{\circ}$
Câu 7: Thông hiểu
Tính số đo góc
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 80^{0};\widehat{B} = 60^{0}$ . Gọi O là giao điểm các đường trung trực $\Delta ABC$ . Số đo góc $\widehat{OAB}$ bằng:
- A.
  $40^{0}$
- B.
  $50^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $10^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC có $\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{BCA} = 180^{0}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{BCA} = 180^{0} - \left( \widehat{BAC} + \widehat{ABC} ight) = 40^{0}$

Vì O là giao điểm của các đường trung trực trong tam giác ABC nên OA = OB = OC(tính chất ba đường trung trực)

Do đó tam giác OAB, OBC, OAC là các tam giác cân tại O nên $\left\{ \begin{matrix} \widehat{OAB} = \widehat{OBA} \\ \widehat{OAC} = \widehat{OCA} \\ \widehat{OCB} = \widehat{OBC} \\ \end{matrix} ight.$

Ta thấy $\widehat{BAC} + \widehat{ABC} = 80^{0} + 60^{0} = 140^{0}$

$\Rightarrow \widehat{OAB} + \widehat{OAC} + \widehat{OCB} + \widehat{OBA} = 140^{0}$

$\Rightarrow 2\widehat{OAB} + \widehat{ACB} = 140^{0}$

$\Rightarrow \widehat{OAB} = \frac{140^{0} - 40^{0}}{2} = 50^{0}$
Câu 8: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là
- A.
  Tam giác đều
- B.
  Tam giác cân
- C.
  Tam giác vuông
- D.
  Tam giác vuông cân
Hướng dẫn:
Giả sử tam giác ABC có AM là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực.

Ta sẽ chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Thật vậy vì AM là đường trung tuyến của ABC nên BM = MC (tính chất)

Mặt khác AM là đường trung trực của ABC nên $AM\bot BC \Rightarrow \widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^{0}$

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

$\left. \ \begin{matrix} \widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^{0} \\ AM\ \ \ chung \\ BM = CM \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACM(ch - gn)$

$\Rightarrow AB = AC$ hay tam giác ABC cân tại A.
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác $ABC$ nếu $O$ là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Khi đó $O$ là giao điểm của
- A.
  Ba đường trung trực
- B.
  Ba đường phân giác
- C.
  Ba đường trung tuyến
- D.
  Ba đường cao
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Câu 10: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ cân tại A, trung tuyến AM. Đường trung trực của AC cắt đường thẳng AM tại D. Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $DA = DB$
- B.
  $DC = DM$
- C.
  $DA = DM$
- D.
  $DM = DB$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến ứng với đáy AB nên AM cũng là đường trung trực của BC.

Vì D là giao điểm của các đường trung trực AC và BC nên D thuộc đường trung trực của AB (tính chất ba đường trung trực của tam giác).

Theo tính chất đường trung trực ta có: DA = DB.
Câu 11: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , có $\widehat{A} = 40^{0}$ . Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Số đo $\widehat{OBC}$ là:
- A.
  $80^{0}$
- B.
  $100^{0}$
- C.
  $50^{0}$
- D.
  $160^{0}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có: tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{BCA} = \widehat{ABC}$

Trong tam giác ABC có $\widehat{BCA} + \widehat{ABC} + \widehat{BAC} = 180^{0}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{BCA} = \widehat{ABC} = \frac{180^{0} - \widehat{BAC}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BCA} = \widehat{ABC} = \frac{180^{0} - 40^{0}}{2} = 70^{0}$

Vì O là giao điểm của các đường trung trực trong ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Do đó tam giác OAB, OBC, OAC là các tam giác cân tại O nên $\left\{ \begin{matrix} \widehat{OAB} = \widehat{OBA} \\ \widehat{OAC} = \widehat{OCA} \\ \widehat{OCB} = \widehat{OBC} \\ \end{matrix} ight.$

Ta thấy $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 70^{0} + 70^{0} = 140^{0}$

$\Rightarrow \widehat{ABO} + \widehat{OBC} + \widehat{CBO} + \widehat{OCA} = 140^{0}$

$\Rightarrow 2\widehat{BOC} + \widehat{BAC} = 140^{0}$

$\Rightarrow \widehat{OBC} = \frac{140^{0} - 40^{0}}{2} = 50^{0}$
Câu 12: Nhận biết
Chọn nhận định đúng
Cho tam giác $ABC$ đều, gọi $O$ là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác $ABC$ . Khi đó ta có:
- A.
  $AC = OC$
- B.
  $BC = OB$
- C.
  $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .
- D.
  $AB = OA$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Trong tam giác đều đường cao cũng là đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác mà O là giao điểm của ba đường trung trực nên O là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 13: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ , gọi $O$ là giao điểm của ba đường trung trực trong $\Delta ABC$ . Xét các khẳng định sau:

i) $OA = OB = OC$

ii) $AB + AC + BC < 6.OA$

Chọn khẳng định đúng?
- A.
  Chỉ có ii) đúng
- B.
  Cả i) và ii) đều đúng
- C.
  Cả i) và ii) đều sai
- D.
  Chỉ có i) đúng
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Trong tam giác OAB có OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác)

Tương tự trong tam giác OAC có: OA + OC > AC (bất đẳng thức tam giác)

Trong tam giác OBC có OB + OC > BC (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra 2OA + 2OB + 2OC > AB + AC + BC

Suy ra 6OA > AB + AC + BC

Vậy cả 2 khẳng định đều đúng.
Câu 14: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho tam giác $ABC$ cân tại A, M là trung điểm của BC. Đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại D. Khi đó ta có:
- A.
  Ba điểm B; D; C thẳng hàng
- B.
  Ba điểm A; D; C thẳng hàng .
- C.
  Ba điểm A; D; M thẳng hàng.
- D.
  Ba điểm A; D; B thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì D là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC nên D là giao của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Suy ra D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (1)

Mà M là trung điểm của BC nên AM là trung tuyến của tam giác ABC cân tại A.

Do đó AM là đường trung trực của tam giác ABC (trong tam giác cân, trung tuyến tại đỉnh đồng thời cũng là đường trung trực ứng với đáy) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A; D; M thẳng hàng.
Câu 15: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho tam giác ABC cân có AB = AC. Hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại O. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $OA\bot BC$
- B.
  $OA > OB$
- C.
  $O$ cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
- D.
  $\widehat{AOB} > \widehat{AOC}$
Hướng dẫn:
Vì trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O.

Suy ra O thuộc đường trung trực của cạnh BC (tính chất ba đường trung trực của tam giác.

Mà AB = AC nên A thuộc đường trung trực cạnh BC.

Do đó AO thuộc đường trung trực của cạnh BC.

Vậy đáp án cần tìm là: $OA\bot BC$
Câu 16: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho $\bigtriangleup ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 40^{\circ}$ , đường trung trực của $AB$ cắt $BC$ ở $D$ . Số đo $\widehat{CAD}$ là.
- A.
  $45^{\circ}$ .
- B.
  $30^{\circ}$ .
- C.
  $60^{\circ}$ .
- D.
  $40^{\circ}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có $\bigtriangleup ABC$ cân tại A nên $\widehat{BCA} = \widehat{ABC}$

Trong $\bigtriangleup ABC$ ta có $\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{ABC} = \frac{180^{\circ} - \widehat{BAC}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{ABC} = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{ABC} = 70^{\circ}$

Vi $D$ thuộc đường trung trực của $AB$ $\Rightarrow AD = BD$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow \bigtriangleup ABD$ cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân) $\Rightarrow \widehat{BAD} = \widehat{ABD} = 70^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{BAC} + \widehat{CAD} = 70^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{CAD} = 70^{\circ} - \widehat{CAB}$

$\Rightarrow \widehat{CAD} = 70^{\circ} - 40^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{CAD} = 30^{\circ}$
Câu 17: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Ba đường trung trực của tam giác DEF cùng đi qua điểm I. Chọn khẳng định đúng?
- A.
  I là trọng tâm tam giác DEF.
- B.
  I cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
- C.
  DI = IE = IF
- D.
  $\Delta IDE;\Delta IDF;\Delta IEF$ là các tam giác đều.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì ba đường trung trực của tam giác DEF cùng đi qua điểm I nên DI = IE = IF (tính chất ba đường trung trực của tam giác).
Câu 18: Vận dụng cao
Chọn kết luận đúng
Cho $\bigtriangleup ABC$ có góc $A$ là góc tù, các đường trung trực của $AB,AC$ cắt nhau tại $O$ và lần lượt cắt $BC$ tại $M,N$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $AO$ là đường trung trực của $\bigtriangleup AMN$ .
- B.
  $AO$ là đường phân giác của $\widehat{MAN}$ .
- C.
  $AO$ là đường trung tuyến của $\bigtriangleup AMN$ .
- D.
  $AO$ là đường cao của $\bigtriangleup AMN.$
Hướng dẫn:
Vì các đường trung trực của $AB,AC$ cắt nhau tại $O$ hay $O$ là giao điểm các đường trung trực của $\bigtriangleup ABC$ nên $OA = OB = OC$ (tính chất ba đường trung trực)

Do đó $\bigtriangleup OAB, \bigtriangleup OBC, \bigtriangleup OAC$ là các tam giác cân tại $O$ nên $\widehat{OAB} = \widehat{OBA},\widehat{OAC} = \widehat{OCA},\widehat{OCB} = \widehat{OBC}$

Vì $M$ thuộc đường trung trực của $AB$ nên $MA = MB$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó $\bigtriangleup ABM$ cân tại $M$ (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) $\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{MBA}$ (tính chất tam giác cân)

Vì $N$ thuộc đường trung trực của $AC$ nên $NA = NC$ tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó $\bigtriangleup ACN$ cân tại $N$ (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) $\Rightarrow \widehat{NAC} = \widehat{NCA}$ (tính chất tam giác cân)

Ta thấy

$\left. \ \begin{matrix} \widehat{OAB} = \widehat{OAM} + \widehat{MAB} \\ \widehat{OBA} = \widehat{OBM} + \widehat{MBA} \\ \widehat{OAB} = \widehat{OBA} \\ \widehat{MBA} = \widehat{MAB} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \widehat{OAM} = \widehat{OBM}$

Chứng minh tương tự ta có $\Rightarrow \widehat{OAN} = \widehat{OCN}$

Mặt khác $OB = OC$ nên $\bigtriangleup OBC$ cân tại O hay $\widehat{OBM} = \widehat{OCN}$

$\Rightarrow \widehat{OAM} = \widehat{OAN}$

Mà tia OA nằm giữa tia OM và ON nên

Vậy OA là đường phân giác của $\widehat{MAN}$
Câu 19: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho tam giác $ABC$ có $AC > AB$ . Trên cạnh $AC$ lấy điểm E sao cho AB = CE. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\Delta ACO = \DeltaCEO$
- B.
  $\Delta BOA = \DeltaCOE$
- C.
  $\Delta ABO = \DeltaCOE$
- D.
  $\Delta AOB = \DeltaCOE$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa
Vì các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O nên
$OA = OC;OB = OE$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Xét tam giác AOB và tam giác COE có:
OA = OC
OB = OE
AB = CE
$\Rightarrow \Delta AOB = \Delta COE(c -c - c)$
Câu 20: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho $\bigtriangleup ABC$ có $AB = AC$ . Đường phân giác $AH$ và đường trung trực của cạnh $AB$ cắt nhau tại $O$ . Trên cạnh $AB,AC$ lấy lần lượt $E$ và $F$ sao cho $AE = CF$ . Chọn đáp án đúng.
- A.
  $OE > OF$ .
- B.
  $OE = OF$ .
- C.
  $OE = 2OF$ .
- D.
  $OE < OF$ .
Hướng dẫn:
Vì $O$ thuộc đường trung trực của cannh $AB$ nên $OA = OB$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow \bigtriangleup OAB$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OAB} = \widehat{OBA}$ (tinh chất tam giác cân) (1)

Vì $AH$ là đường phân giác của $\bigtriangleup ABC$ nên $\Rightarrow \widehat{HAB} = \widehat{HAC}$ (tính chất tia phân giác)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{OBA} = \widehat{HAC}$

Mặt khác $AC = AF + CF$ mà $AE = CF$ (gt) nên $AC = AE + AF$

Vì $AB = AC$ nên $AB = AE + AF$ mà $AB = AE + BE$ nên $AF = BE$

Xét $\bigtriangleup BOE$ và $\bigtriangleup AOF$ ta có.

$\begin{matrix} & \left. \ \begin{matrix} BE = AF \\ \widehat{OBA} = \widehat{OAC} \\ AB = AC \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \bigtriangleup BOE = \bigtriangleup AOF\ \text{(c.g.c)~} \Rightarrow OE = OF\ \ \\ \end{matrix}$ (hai cạnh tương ứng)