Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai CTST

Cho các biểu thức $A, B$ mà $A, B > 0$, khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{AB}}{B}$
- B.
  $\sqrt{\frac{A}{B}} = - \frac{\sqrt{AB}}{B}$
- C.
  $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{B}$
- D.
  $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{AB}{\sqrt{B}}$
Ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \frac{\sqrt{A}.\sqrt{B}}{\sqrt{B}.\sqrt{B}} = \frac{\sqrt{AB}}{B}$
Biết $\frac{1}{5 + 3\sqrt{2}} + \frac{1}{5 - 3\sqrt{2}} = \frac{x}{y}$ $\frac{1}{5 + 3\sqrt{2}} + \frac{1}{5 - 3\sqrt{2}} = \frac{x}{y}$, $(x; y) = 1$. Khi đó giá trị $2x$ là:
- A.
  10
- B.
  18
- C.
  20
- D.
  14
Ta có:

$\frac{1}{5 + 3\sqrt{2}} + \frac{1}{5 - 3\sqrt{2}} = \frac{5 - 3\sqrt{2}}{\left( 5 + 3\sqrt{2} ight)\left( 5 + 3\sqrt{2} ight)} + \frac{5 + 3\sqrt{2}}{\left( 5 + 3\sqrt{2} ight)\left( 5 + 3\sqrt{2} ight)}$

$= \frac{5 - 3\sqrt{2} + 5 + 3\sqrt{2}}{\left( 5 + 3\sqrt{2} ight)\left( 5 + 3\sqrt{2} ight)} = \frac{10}{7} = \frac{x}{y} \Rightarrow 2x = 2.10 = 20$

Khi đó giá trị 2x là: 20.
Trục căn thức ở mẫu $\frac{4}{3\sqrt{x} + 2\sqrt{y}};\left( x;y \geq 0;x eq \frac{4}{9}y ight)$ $\frac{4}{3\sqrt{x} + 2\sqrt{y}};\left( x;y \geq 0;x eq \frac{4}{9}y ight)$ ta được kết quả là:
- A.
  $\frac{3\sqrt{y} - 2\sqrt{y}}{9x - 4y}$
- B.
  $\frac{12\sqrt{y} - 8\sqrt{y}}{3x + 2y}$
- C.
  $\frac{12\sqrt{y} + 8\sqrt{y}}{9x + 4y}$
- D.
  $\frac{12\sqrt{y} - 8\sqrt{y}}{9x - 4y}$
Ta có:

$\frac{4}{3\sqrt{x} + 2\sqrt{y}} = \frac{4\left( 3\sqrt{x} - 2\sqrt{y} ight)}{\left( 3\sqrt{x} + 2\sqrt{y} ight)\left( 3\sqrt{x} - 2\sqrt{y} ight)}$

$= \frac{4\left( 3\sqrt{x} - 2\sqrt{y} ight)}{9x - 4y} = \frac{12\sqrt{x} - 8\sqrt{y}}{9x - 4y}$
Thu gọn biểu thức $T = \frac{x - \sqrt{xy}}{x - y};(x;y \geq 0,x eq y)$ $T = \frac{x - \sqrt{xy}}{x - y};(x;y \geq 0,x eq y)$ ta được:
- A.
  $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$
- C.
  $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$
- D.
  $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$
Ta có:

$T = \frac{x - \sqrt{xy}}{x - y} = \frac{\left( \sqrt{x} ight)^{2} - \sqrt{x}\sqrt{y}}{\left( \sqrt{x} ight)^{2} - \left( \sqrt{y} ight)^{2}}$

$= \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - y ight)}{\left( \sqrt{x} - \sqrt{y} ight)\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} ight)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$
Tính kết quả biểu thức $\left( \frac{10 + 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{30} - \sqrt{6}}{\sqrt{5} - 1} ight):\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}$ $\left( \frac{10 + 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{30} - \sqrt{6}}{\sqrt{5} - 1} ight):\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}$.
- A.
  28
- B.
  14
- C.
  -14
- D.
  16
Ta có:

$\left( \frac{10 + 2\sqrt{10}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{30} - \sqrt{6}}{\sqrt{5} - 1} ight):\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}$

$= \left( \frac{\sqrt{100} - \sqrt{40}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{30} - \sqrt{6}}{\sqrt{5} - 1} ight):\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}$

$= \left\lbrack \frac{\sqrt{20}\left( \sqrt{5} + \sqrt{2} ight)}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{6}\left( \sqrt{5} - 1 ight)}{\sqrt{5} - 1} ightbrack:\frac{1}{2\sqrt{5} - \sqrt{6}}$

$= \left( 2\sqrt{5} + \sqrt{6} ight)\left( 2\sqrt{5} - \sqrt{6} ight) = 14$