Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng .
Cho các hình: hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi. Trong các hình nói trên có bao nhiêu hình không là tứ giác nội tiếp?
Trong các tứ giác đã cho hình bình hành, hình thoi không nội tiếp được trong một đường tròn.
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M và 
thì ?
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB= 2R. Đường thẳng qua O vuông góc AB cắt cung AB tại C. Gọi E là trung điểm BC. AE cắt nửa đường tròn O tại F. Đường thẳng qua C và vuông góc AF tại G cắt AB tại H. Khi đó góc OGH có số đo là:
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có nên ta suy ra
.
Nói cách khác cùng nhìn
dưới một góc vuông.
Do đó tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
nên
.
Mà vuông cân tại
nên
. Suy ra
.
Ta lại có
.
Do đó .
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có hai tia AB; DC kéo dài cắt nhau tại M sao cho và hai tia AD; BC kéo dài cắt nhau tại N sao cho . Khi đó số đo của là:
Hình vẽ minh họa
Tứ giác ABCD nội tiếp (O) nên
(hai góc đối đỉnh)
(góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABN)
Do đó
Cho hình vẽ dưới đây
Số đo góc bằng bao nhiêu?
Ta có (hai góc đối đỉnh).
Đặt
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)
Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1); (2) và (3) ta nhận
Do là hai góc kề bù nên
Ta lại có là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên
Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy . Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d) và F là giao điểm của EC và đường tròn (O). Chọn khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Vi là tứ giác nội tiếp nên bốn điểm
cùng thuộc một
đường tròn
số đo cung
Hai tam giác vuông
Từ đó
(tứ giác NEMO nội tiếp)
Mà góc phụ với góc
nên góc
cũng phụ với góc
cân có
là phân giác
nên tứ giác NEOF nội tiếp
Chọn khẳng định sai trong các phát biểu sau?
Câu sai là: “Tứ giác có bốn cạnh tiếp xúc với đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.”.
Cho hình vẽ, khi đó đáp án đúng là:
Do tứ giác nội tiếp đường tròn tâm
, nên ta có
(cùng chắn cung
).
Do đó ta có .
Tổng ba góc trong một tam giác bằng
=>
.
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) các đường cao cắt nhau tại H. khi đó ta có:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) các đường cao cắt nhau tại H. khi đó ta có:
Đúng
Đúng
Hình vẽ minh họa
Do là các đường cao nên
.
Do đó . Vậy tứ giác
là tứ giác nội tiếp.
Các góc cùng chắn cung
nên
.
Xét hai tam giác có
(theo (1)) và góc
chung.
Do đó .
Từ đó ta nhận được .
Chứng minh tương tự ta có .
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Biết . Khi đó số đo là:
Xét tam giác OCD có OC = OD = R
Suy ra tam giác OCD cân tại O suy ra
Ta có:
(Tứ giác ABCD nội tiếp (O)).
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (hình vẽ).
Chọn khẳng định sai?
Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
(tổng hai góc đối bằng 1800)
(góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó).
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. trên cung nhỏ AC lấy điểm E kẻ CK vuông góc AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chọn câu đúng?
Kí hiệu hình vẽ như sau:
Có (CD vuông góc AB);
(AK vuông góc CF) • • 0
⇒ ⇒ tứ giác AHCK nội tiếp
⇒ phương án AHCK là tứ giác nội tiếp đúng, AHCK không nội tiếp đường tròn sai.
⇒ (hai góc đối diện)
⇒ phương án sai.
Xét tam giác vuông ADB có (hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên phương án
sai
Cho đường tròn (O). Biết MA; MB là các tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M và . Khi đó số đo bằng:
Vì MA; MB lần lượt là hai tiếp tuyến của (O) lần lượt tại AB; (gt) nên ta có:
Tứ giác AMBO có
⇒ Tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.
Xét tam giác AOB có OA = OB = R
Suy ra tam giác AOB cân tại O
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ⊥ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Tích AH . AB bằng:
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác có
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
vuông tại
Do đó (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà suy ra các đáp án còn lại sai.
Cho ∆ABC cân tại A có . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, kẻ Bx ⊥ BA; Cx ⊥ CA, chọn đáp án sai.
Hình vẽ minh họa
Lại có cân tại
có
Ta có
Và
Từ đó suy ra tam giác cân tại
Xét tứ giác nội tiếp
=>
Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác là hình thoi.
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD AB ⊥ tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ⊥ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Tam giác ACF là tam giác:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
AB ⊥ CD tại H mà AB là đường kính suy ra H là trung điểm của CD ... (1)
Trên (O): (góc nội tiếp cùng chắn EC)... (2)
Dễ dàng, chứng minh được tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn đường kính AC.
Suy ra (góc nội tiếp cùng chắn KC)... (3)
Từ (2), (3) suy ra mà
là cặp góc nằm ở vị trí đồng vị
⇒ HK // DF ... (4)
Từ (1), (4) suy ra K là trung điểm của FC hay AK là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác AFC
Mà AK cũng là đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác AFC.
Do đó: ACF cân tại A
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng
Phát biểu đúng là: “Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp”.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn, biết . Khi đó:
Vì tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn nên:
Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O), BD là đường phân giác của góc . Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Đường tròn (O1) đường kính DE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD cắt AC tại N thì:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
. Do
là điểm chính giữa cung
nên
.
Do đó đi qua tâm của đường tròn
.
Giả sử rằng , nên
, hay
là đường kính của
.
Suy ra thẳng hàng.
Vì vậy , mà
.
Kéo theo tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
.
Vì vậy (cùng chắn cung
)
Lại có tứ giác là tứ giác nội tiếp nên
(cùng chắn cung
).
Từ (1) và ta suy ra
. Do đó
và
đối xứng nhau qua
.
Vì vậy hay
là trung điểm của
nên
.
