Luyện tập Tứ giác nội tiếp CTST

Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

(tổng hai góc đối bằng 180⁰)

(góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó).

Hình vẽ minh họa

Vi là tứ giác nội tiếp nên bốn điểm cùng thuộc một
đường tròn

số đo cung

Hai tam giác vuông

Từ đó

(tứ giác NEMO nội tiếp)

Mà góc phụ với góc nên góc cũng phụ với góc

cân có là phân giác

nên tứ giác NEOF nội tiếp

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng .

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Có (CD vuông góc AB); (AK vuông góc CF) • • 0

⇒ ⇒ tứ giác AHCK nội tiếp

⇒ phương án AHCK là tứ giác nội tiếp đúng, AHCK không nội tiếp đường tròn sai.

⇒ (hai góc đối diện)

⇒ phương án sai.

Xét tam giác vuông ADB có (hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên phương án sai

Hình vẽ minh họa

Lại có cân tại có

Ta có

Và

Từ đó suy ra tam giác cân tại

Xét tứ giác nội tiếp

=>

Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác là hình thoi.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn nên:

Phát biểu đúng là: “Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp”.

Câu sai là: “Tứ giác có bốn cạnh tiếp xúc với đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.”.

Hình vẽ minh họa

Tứ giác ABCD nội tiếp (O) nên

(hai góc đối đỉnh)

(góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABN)

Do đó

Ta có (hai góc đối đỉnh).

Đặt

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)

Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ (1); (2) và (3) ta nhận

Do là hai góc kề bù nên

Ta lại có là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên

Do tứ giác nội tiếp đường tròn tâm , nên ta có (cùng chắn cung ).

Do đó ta có .

Tổng ba góc trong một tam giác bằng

=>

.

Xét tam giác OCD có OC = OD = R

Suy ra tam giác OCD cân tại O suy ra

Ta có:

(Tứ giác ABCD nội tiếp (O)).

Hình vẽ minh họa

Ta có:

AB ⊥ CD tại H mà AB là đường kính suy ra H là trung điểm của CD ... (1)

Trên (O): (góc nội tiếp cùng chắn EC)... (2)

Dễ dàng, chứng minh được tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Suy ra (góc nội tiếp cùng chắn KC)... (3)

Từ (2), (3) suy ra mà là cặp góc nằm ở vị trí đồng vị

⇒ HK // DF ... (4)

Từ (1), (4) suy ra K là trung điểm của FC hay AK là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác AFC

Mà AK cũng là đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác AFC.

Do đó: ACF cân tại A

Vì MA; MB lần lượt là hai tiếp tuyến của (O) lần lượt tại AB; (gt) nên ta có:

Tứ giác AMBO có

⇒ Tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Xét tam giác AOB có OA = OB = R

Suy ra tam giác AOB cân tại O

Trong các tứ giác đã cho hình bình hành, hình thoi không nội tiếp được trong một đường tròn.

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có nên ta suy ra .

Nói cách khác cùng nhìn dưới một góc vuông.

Do đó tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên .

Mà vuông cân tại nên . Suy ra .

Ta lại có

.

Do đó .

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của . Do là điểm chính giữa cung nên .

Do đó đi qua tâm của đường tròn .

Giả sử rằng , nên , hay là đường kính của .

Suy ra thẳng hàng.

Vì vậy , mà .

Kéo theo tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .

Vì vậy (cùng chắn cung )

Lại có tứ giác là tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung ).

Từ (1) và ta suy ra . Do đó và đối xứng nhau qua .

Vì vậy hay là trung điểm của nên .