Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Luyện tập Đạo hàm cấp hai KNTT

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Xác định gia tốc tức thời của chất điểm

    Phương trình chuyển động của một chất điểm được biểu diễn S(t) = t^{3} - 3t^{2} - 9t + 2,(t > 0), t tính bằng giây, S(t) tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc bằng 0 thì gia tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Vận tốc tức thời là

    v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 6t - 9 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1(ktm) \\ t = 3(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Gọi gia tốc của chuyển động tính theo thời gian t là a(t) ta có:

    a(t) = S''(t) = v'(t) = \left( 3t^{2} - 6t - 9 ight)' = 6t - 6

    Gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0 là

    a(3) = 6.3 - 6 = 12\left( m/s^{2} ight)

  • Câu 2: Nhận biết
    Xác định f''(x)

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \cos^{2}x?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y = \cos^{2}x

    \Rightarrow y' = 2\cos x.\left( - \sin x ight) = - 2\sin2x

    \Rightarrow y'' = -2\cos2x

  • Câu 3: Thông hiểu
    Giải bất phương trình

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2x + 1. Tìm tập nghiệm của bất phương trình f''(x) > 0?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2x + 1

    \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 6x + 2

    \Rightarrow f''(x) = 6x - 6

    Ta lại có:

    f''(x) > 0

    \Leftrightarrow 6x - 6 > 0 \Leftrightarrow x > 1

    Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (1; + \infty)

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính đạo hàm cấp n của hàm số

    Cho hàm số y = x^{n}. Công thức tính y^{(n)} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = \left( x^{n} ight)' = n.x^{n - 1}

    y'' = \left( n.x^{n - 1} ight)' = n.(n - 1).x^{n - 2}

    y^{(3)} = \left( n.(n - 1).x^{n - 2} ight)' = n.(n - 1)(n - 2).x^{n - 3}

    ….

    y^{(n - 1)} = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...(n - n + 1).x = n!x

    y^{(n)} = n!

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm số nghiệm của phương trình

    Cho hàm số y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022. Có bao nhiêu nghiệm thuộc \lbrack 0;4\pibrack thỏa mãn phương trình y'' = 0?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = \sqrt{3}\cos x + \sin x - x^{2} + 2021x + 2022

    \Rightarrow y' = \sqrt{3}\sin x + \cos x - 2x + 2021

    \Rightarrow y'' = \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2

    Lại có y'' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x - \sin x - 2 = 0

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = - 1

    \Leftrightarrow \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight) = - 1

    \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{3} = \frac{- \pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = \frac{- \pi}{6} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do x \in \lbrack 0;3\pibrack \Leftrightarrow 0 \leq \frac{- \pi}{6} + k2\pi \leq 4\pi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{12} \leq k \leq \dfrac{25}{12} \\k\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow k \in \left\{ 1;2ight\}

    Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 6: Nhận biết
    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

    Cho hàm số y =f(x) = - 3\cos x. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} = \frac{\pi}{2} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = f(x) = - 3\cos x

    \Rightarrow f'(x) = - 3\sin x\Rightarrow f''(x) = 3\cos x

    \Rightarrow f''\left(\frac{\pi}{2} ight) = 3\cos\left( \frac{\pi}{2} ight) =0

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Xác định công thức đạo hàm bậc n

    Biết f(x) = \cos(x + a). Xác định công thức của f^{(21)}(x)?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f(x) = \cos(x + a)

    f'(x) = - \sin(x + a) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)

    f''(x) = - \sin\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{2\pi}{2} ight)

    …

    f^{(21)}(x) = \cos\left( x + a + \frac{21\pi}{2} ight) = \cos\left( x + a + \frac{\pi}{2} ight)

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = \sqrt{2x - 1} tại điểm x_{0} = 1?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = f(x) = \sqrt{2x - 1}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{(2x - 1)'}{2\sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}

    \Rightarrow f''(x) = \frac{\left( \sqrt{2x - 1} ight)'}{2x - 1} = \frac{- 1}{(2x - 1)\sqrt{2x - 1}} = \frac{- 1}{\sqrt{(2x - 1)^{3}}}

    \Rightarrow f''(1) = - 1

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

    Công thức đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) = \sqrt{2x + 5}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = f(x) = \sqrt{2x + 5}

    \Rightarrow f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x + 5}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 5}}

    \Rightarrow f''(x) = -\dfrac{\dfrac{2}{2\sqrt{2x + 5}}}{2x + 5} = - \dfrac{1}{(2x + 5)\sqrt{2x +5}}

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính giá trị của hàm số tại một điểm

    Cho hàm số f(x)= \sin2x và g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)}. Tính giá trị g\left( \frac{\pi}{6} ight)?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f(x) = \sin2x \Rightarrow f'(x) =2\cos2x

    \Rightarrow f''(x) = -4\sin2x

    g(x) = \frac{4f(x)}{f''(x)} =\frac{4\sin2x}{- 4\sin2x} = - 1;\forall x eq \frac{k\pi}{2};k\in \mathbb{Z}

    \Rightarrow g\left( \frac{\pi}{6} ight) = - 1

  • Câu 11: Nhận biết
    Hàm số liên tục trên khoảng

    Hàm số f(x) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}} liên tục trên:

    Hướng dẫn:

    Vì \sin x \in \left[ { - 1;1} ight]

    2\sin x + 3 e 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Tập xác định D = \mathbb{R}

    Vậy hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 12: Nhận biết
    Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số

    Với x\mathbb{\in R}, đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: y = x^{6} - 4x^{3} + 2x + 2022

    \Rightarrow y' = 6x^{5} - 12x^{2} + 2

    \Rightarrow y'' = 30x^{4} - 24x

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức M

    Biết rằng \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = ax^{2} + bx + c. Tính giá trị biểu thức M = a + b + c?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)' = x^{3} + 3x^{2} - x + 1

    \Rightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2019 ight)'' = \left( x^{3} + 3x^{2} - x + 1 ight)'

    = 3x^{2} + 6x - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M = 8

  • Câu 14: Thông hiểu
    Giải bất phương trình

    Cho hàm số y = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} + 1. Tập nghiệm của bất phương trình y''' \leq 6 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} + 1

    \Rightarrow y' = x^{3} - 3x^{2} \Rightarrow y'' = 3x^{2} - 6x

    \Rightarrow y^{(3)} = 6x - 6

    y^{(3)} \leq 6 \Leftrightarrow 6x - 6 \leq 6 \Leftrightarrow x \leq 2

    Vậy S = ( - \infty;2brack

  • Câu 15: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020. Chọn khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 2020

    \Rightarrow f'(x) = x^{2} + 6x \Rightarrow f''(x) = 2x + 6

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (33%):
    2/3
  • Thông hiểu (40%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Vận dụng cao (7%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 1 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 KNTT

Đăng nhập