Luyện tập Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hình vẽ minh họa:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Theo giả thiết ta có: B’O ⊥ (ABCD)

Dó đó

Vì tam giác ABD đều cạnh a =>

Tam giác B’BO vuông ta có:

Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)

M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AB, AC, BC.

Khi đó ta có:

Tương tự ta có:

Khi đó

Tương tự suy ra

=>

=> I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa:

Ta có I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)

Tam giác SAI vuông tại I

=> SA² = AI² + SI²

Tam giác SBI vuông tại I

=> SB² = BI² + SI²

Tam giác SCI vuông tại I

=> SC² = CI² + SI²

Kết hợp với điều kiện: SA = SB = SC

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

=> Góc BA’C là góc tù.

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của SD

Góc giữa SB và (SCD) cùng bằng góc giữa OM và (SCD)

(Vì OM // SB)

Gọi H là hình chiếu của O trên (SCD) => (OM; (SCD)) = (OM; MH) = OMH

Trong (SBD) kẻ OE // SK, trong đó K là hình chiếu của S lên mặt đáy, khi đó tứ diện OECD là tứ diện vuông cân nên

Vì tam giác AOM vuông tại H

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của AD

=> ABCM là hình vuông => CM ⊥ AD

Ta có:

Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) là SM

=>

=>

Hình vẽ minh họa:

Dễ thấy

Góc giữa B₁D₁ và AC bằng 90⁰

Góc giữa AD và C₁B bằng 45⁰

Góc giữa BD và CA₁ bằng 90⁰

Đều là các đáp án đúng

Góc giữa B₁D₁ và AA₁ bằng 60⁰ sai vì

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB

=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC

Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA

=> H là trung điểm của cạnh AC,

Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là giao điểm của HK và AC

Dễ dàng suy ra HK // BD => HK ⊥ AC

Ta lại có: AC ⊥ SH

=> AC ⊥ (SHK)

=>

Tam giác SIA vuông tại I ta có:

Vì C’ trùng với C nên tam giác ABC’ là tam giác vuông tại A.

Vì

Tương tự:

Vậy H là trực tâm tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABCD) nên tam giác SAB và tam giác SAD là tam giác vuông.

Ta có: CD ⊥ DA mà DA là hình chiếu của DA trên (ABCD) nên CD vuông góc với DS

=> Mặt bên SDC là tam giác vuông tại D

Tương tự ta có: mặt bên SBC là tam giác vuông tại B. Như vậy chỉ có khẳng định ”Mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông” là chắc chắn đúng.

Hình vẽ minh họa:

Vì S.ABC là hình chóp đều => SO⊥(ABC) (với O là tâm của tam giác ABC)

Do đó: SO ⊥ AA’ mà (α) ⊥ AA’ => SO // (α)

Tương tự ta cũng có BC // (α)

Qua M kẻ IJ // BC (I thuộc AB, J thuộc AC), kẻ MN // SO với N thuộc SA’

Qua N kẻ EF // BC với E thuộc SB và F thuộc SC

Khi đó thiết diện là hình thang IJEF

Diện tích hình thang là:

Xét tam giác ABC ta có:

Xét tam giác SBC ta có:

Xét tam giác SOA’ có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có SA ⊥(ABC) => Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AB.

=> Góc giữa đường thẳng SB và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng SB và AB

Tức là