Luyện tập Khoảng cách Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa:

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, AC’

Suy ra HI // BC’

Trong mặt phẳng (ABB’A’), tia A’H cắt tia B’B tại S, gọi K là hình chiếu của B trên SH

Dễ thấy BK ⊥ (SCH)

Gọi M là hình chiếu của K trên A’C, chú ý rằng CH = HA’ nên HI ⊥ A’C, do đó KM // HI // BC’

Trong mặt phẳng (BC’MK) lấy điểm N trên BC’ sao cho BKMN là hình bình hành

Khi đó MN là đoạn vuông góc chung cần tìm

Ta có:

Do 2HB = SB nên:

=>

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> d(SA, BC) = AB

Gọi . Do nên suy ra

(vì )

Kẻ ta có:

Từ (1) và (2) , khi đó

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân

=> AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:

=> AM ⊥ BM

Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)

=> AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M

=> MN ⊥ AB

Đặt CD = x

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Xét ∆ABM vuông cân tại M

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Xét ∆CDN vuông cân tại N

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Trong (SAC) kẻ OK⊥SA(1) ta có:

Từ (1) và (2) ta có OK là đường vuông góc chung của SA và BD

Khi đó

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.

Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).

Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)

Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)

Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)

Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK

Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}

Do đó

Theo giả thiết ∆ABC đều =>

Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:

Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”

Do nên

Ta có:

Nên

Vậy khoảng cách

Hình vẽ minh họa:

Trong mặt phẳng (CDD’C), gọi P là giao điểm của CK và C’D’

=> KD’ là đường trung bình của ∆PCC’

=> D’ là trung điểm của PC’

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của PB’ và A’D’

Ta có: A’D // B’C => A’D // (AKB’)

=> d(CK, A’D) = d (A’,(CKB’)) = d(C’,(CPB’))

Xét tứ diện PCC’B’ ta có:

C’P, C’B và C’B đôi một vuông góc với nhau

Đặt d(C’, (CPB’)) = x, thì:

Hình vẽ minh họa:

Vì AB // CD ⇒ CD // (SAB)

=> d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB))

Mà AD ⊥ (SAB) => d(D, (SAB)) = AD.

Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:

AB² + AD² = BD² = 4a² => AD =

Hình vẽ minh họa:

Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.

Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD =