Luyện tập Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Hai vòi nước chảy chung vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 24 phút thì đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi một chảy gấp rưỡi lượng nước của vòi hai. Hỏi vòi một chảy một mình bao lâu thì đầy bể?
- A.
  $3$ giờ
- B.
  $6$ giờ
- C.
  $4$ giờ
- D.
  $5$ giờ
Hướng dẫn:
Đổi 2 giờ 24 phút = $\frac{12}{5}$ giờ, gấp rưỡi tức là gấp $\frac{3}{2}$ lần.
Gọi thời gian vòi một và vòi hai chảy một mình đầy bể tương ứng là x; y (giờ)
Điều kiện $x,y >\frac{12}{5}$
Trong một giờ vòi một và vòi hai chảy được lượng nước lần lượt là $\frac{1}{x};\frac{1}{y}$ (bể)
Vì hai vòi chảy chung vào bể sau $\frac{12}{5}$ thì đầy bể, nghĩa là 1 giờ hai vòi chảy được $\frac{5}{12}$ (bể) nên ta có phương trình $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} = \frac{5}{12}$
Vì mỗi giờ lượng nước của vòi một chảy gấp rưỡi lượng nước của vòi hai nên ta có phương trình $\frac{1}{x} =\frac{3}{2}.\frac{1}{y}$ .
Khi đó ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{12} \\\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{y} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{2y} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{12} \\\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{y} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6} \\\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = 6 \\x = 4 \\\end{matrix} ight.\ (tm)$
Vậy vòi một chảy một mình trong 4 giờ thì đầy bể.
Câu 2: Thông hiểu
Tìm giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài
Tìm m để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x - y = 3 \\ 2x + y = 3m \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $x > 0;y > 0$ ?
- A.
  $m > 2$
- B.
  $m < 2$
- C.
  $m < - 1$
- D.
  $m > - 1$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x - y = 3 \\ 2x + y = 3m \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm $(x;y) = (m + 1;m - 2)$

Để $x > 0;y > 0$ thì $\left\{ \begin{matrix} m + 1 > 0 \\ m - 2 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > - 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m > 2$
Câu 3: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức W
Biết hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2ax + by = 5 \\ (a - 1)x + (b + 2)y = 6 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm $(x;y) = (1;2)$ . Khi đó $W = 3a + 4b$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $W = 8$
- B.
  $W = \frac{5}{2}$
- C.
  $W = 7$
- D.
  $W = 4$
Hướng dẫn:
Vì hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (1;2)$ nên

$\left\{ \begin{matrix}2a + 2b = 5 \\a - 1 + (b + 2).2 = 6 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a + 2b = 5 \\a + 2b = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow W = 3a + 4b = 3.2 + 4.\frac{1}{2} = 8$
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Bác A đếm vừa gà vừa mèo có 54 con và có tất cả 154 chân. Hỏi mỗi loài vật có bao nhiêu con?
Khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, nếu gọi số gà là x con, số mèo là y con thì điều kiện của x và y là:
- A.
  $x < y$
- B.
  $x > y$
- C.
  $x;y\mathbb{\in N}$
- D.
  $x;y \in\mathbb{N}^{*}$
Hướng dẫn:
Số con gà là x con, số con mèo là y con khi đó ta có điều kiện của x và y là $x;y \in \mathbb{N}^{*}$ .
Câu 5: Nhận biết
Tìm bước giải toán chưa chính xác
Để giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 5x + y = 6\ \ \ (1) \\ 4x - y = 3\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.$ bằng phương pháp cộng đại số. Một học sinh thực hiện biến đổi như sau:

Bước 1: Cộng vế của hai phương trình ta được $9x = 9\ \ \ \ (3)$ .

Bước 2: Giải phương trình $9x = 9$ ta có:

$9x = 9 \Leftrightarrow x = 9:9 \Leftrightarrow x = 1$ .

Bước 3: Thay $x = 1$ vào phương trình (1) ta được:

$5.1 + y = 6 \Leftrightarrow 5 + y = 6 \Leftrightarrow y = 6 + 5 = 11$ .

Bước 4: Kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y) = (1;11)$ .

Học sinh đó đã làm sai ở bước nào?
- A.
  Bước 3
- B.
  Bước 1
- C.
  Bước 2
- D.
  Bước 4
Hướng dẫn:
Ta có:

Bước 1: Cộng vế của hai phương trình ta được $9x = 9\ \ \ \ (3)$ .

Bước 2: Giải phương trình $9x = 9$ ta có:

$9x = 9 \Leftrightarrow x = 9:9 \Leftrightarrow x = 1$ .

Bước 3: Thay $x = 1$ vào phương trình (1) ta được:

$5.1 + y = 6 \Leftrightarrow 5 + y = 6 \Leftrightarrow y = 6 - 5 = 1$ .

Bước 4: Kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y) = (1;1)$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tính tỉ số y/x
Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2(x + y) + 3(x - y) = 4 \\ (x + y) + 2(x - y) = 5 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm $(x;y)$ . Khi đó $\frac{y}{x}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{y}{x} = 13$
- B.
  $\frac{y}{x} = 4$
- C.
  $\frac{y}{x} = - \frac{1}{6}$
- D.
  $\frac{y}{x} = - 1$
Hướng dẫn:
Cách 1:

$\left\{ \begin{matrix} 2(x + y) + 3(x - y) = 4 \\ (x + y) + 2(x - y) = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5x - y = 4 \\ 3x - y = 5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x = - 1 \\3x - y = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{1}{2} \\y = - \dfrac{13}{2} \\\end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( - \frac{1}{2}; - \frac{13}{2} ight)$ khi đó $\frac{y}{x} = 13$ .

Cách 2: Đặt $\left\{ \begin{matrix} x + y = u \\ x - y = v \\ \end{matrix} ight.$ khi đó hệ phương trình trở thành

$\left\{ \begin{matrix} 2u + 3v = 4 \\ u + 2v = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2u + 3v = 4 \\ 2u + 4v = 10 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} v = 6 \\ u = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = - 7 \\x - y = 6 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{1}{2} \\y = - \dfrac{13}{2} \\\end{matrix} ight.$
Câu 7: Nhận biết
Xác định số nghiệm của hệ phương trình
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 12 \\ 2x + 3y = 3 \\ \end{matrix} ight.$ là:
- A.
  $1$
- B.
  Vô nghiệm
- C.
  Vô số nghiệm
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 12 \\ 2x + 3y = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2y + 12 \\ 2x + 3y = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2y + 12 \\ 2(2y + 12) + 3y = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2y + 12 \\ 7y = - 21 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
Câu 8: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} y = 2x + 5 \\ y = x - 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A.
  Hệ phương trình có hai nghiệm.
- B.
  Hệ phương trình có vô số nghiệm.
- C.
  Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
- D.
  Hệ phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} y = 2x + 5 \\ y = x - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 3 = 2x + 5 \\ y = x - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 8 \\ y = 11 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y) = ( - 8;11)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức M
Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 3x - y = 7 \\ x + y = 5 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm $(x;y)$ . Tính giá trị biểu thức $M = x^{2} + y^{3}$ ?
- A.
  $M = 17$
- B.
  $M = - 17$
- C.
  $M = - 13$
- D.
  $M = 13$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3x - y = 7 \\ x + y = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4x = 12 \\ x + y = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (3;2)$

$\Rightarrow M = 3^{2} + 2^{3} = 17$
Câu 10: Thông hiểu
Tính vận tốc của xe đi nhanh hơn
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 300km đi ngược chiều và gặp nhau sau 3 giờ. Nếu vận tốc mỗi xe không thay đổi nhưng xe đi chậm hơn xuất phát trước xe kia 30 phút thì hai xe gặp nhau sau 3 giờ 18 phút kể từ lúc xe chạy chậm hơn khởi hành. Hỏi vận tốc của xe đi nhanh hơn là bao nhiêu?
- A.
  $70km/h$
- B.
  $40km/h$
- C.
  $60km/h$
- D.
  $50km/h$
Hướng dẫn:
Đổi 3 giờ 18 phút = 3,3 giờ.
Gọi vận tốc của xe đi nhanh và chậm tương ứng là x; y (km/h)
Điều kiện x > y > 0
Hai xe khởi hành cùng lúc và gặp nhau sau 3 giờ nên ta có phương trình $3x + 3y = 300$
Quãng đường xe đi chậm hơn đi được là $3,3y(km)$
Thời gian xe đi nhanh hơn hết 3 giờ 18 phút – 30 phút = 2,8 giờ.
Quãng đường xe đi nhanh hơn đi được là 2,8x (km)
Ta có phương trình $3,3x + 2,8y =300$
Khi đó ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}3x + 3y = 300 \\3,3x + 2,8y = 300 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 60 \\y = 40 \\\end{matrix} ight.\ (tm)$
Vậy vận tốc xe đi nhanh hơn là 60km/h.
Câu 11: Nhận biết
Xác định nghiệm của hệ phương trình
Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + y = - 1 \\ x + 2y = 4 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm $(x;y)$ là:
- A.
  $(3; - 2)$
- B.
  $(2; - 3)$
- C.
  $( - 2;3)$
- D.
  $( - 3;2)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 2x + y = - 1 \\ x + 2y = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x + y = - 1 \\ 2x + 4y = 8 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x + y = - 1 \\ 3y = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x + y = - 1 \\ y = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = ( - 2;3)$
Câu 12: Nhận biết
Giải hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn
Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + y = 3 \\ x - y = 1 \\ \end{matrix} ight.$ là:
- A.
  $( - 1; - 2)$
- B.
  $( - 2; - 1)$
- C.
  $(1;2)$
- D.
  $(2;1)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x + y = 3 \\ x - y = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x = 4 \\ x - y = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (2;1)$
Câu 13: Thông hiểu
Tính các kích thước của hình chữ nhật
Một hình chữ nhật có chu vi 28cm. Biết rằng nếu tăng chiều dài thêm 1cm và tăng chiều rộng thêm 2cm thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 25cm². Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật.
- A.
  Chiều dài hình chữ nhật là 8cm, chiều rộng hình chữ nhật là 5cm.
- B.
  Chiều dài hình chữ nhật là 12cm, chiều rộng hình chữ nhật là 8cm.
- C.
  Chiều dài hình chữ nhật là 9cm, chiều rộng hình chữ nhật là 4cm.
- D.
  Chiều dài hình chữ nhật là 9cm, chiều rộng hình chữ nhật là 5cm.
Hướng dẫn:
Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là x, y (cm)
Điều kiện 0 < x < y < 14
Khi đó diện tích hình chữ nhật là xy.
Theo bài ra ta có: Chu vi hình chữ nhật là 28cm
$2(x + y) = 28(*)$
Nếu tăng chiều dài thêm 1cm và tăng chiều rộng thêm 2cm thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 25cm² khi đó ta có phương trình $(x + 1)(y + 20) = xy + 25(**)$
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{matrix}2(x + y) = 28 \\(x + 1)(y + 20) = xy + 25 \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = 14 \\2x + y = 23 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 9(tm) \\y = 5(tm) \\\end{matrix} ight.$
Vậy chiều dài hình chữ nhật là 9cm, chiều rộng hình chữ nhật là 5cm.
Câu 14: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Một ô tô dự định đi từ A đến N trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu và chiều dài quãng đường AB?
Khi giải bài toán trên bằng cách lập hệ phương trình thì khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Gọi x (km) là quãng đường ô tô lúc đầu và y (giờ) là thời gian ô tô dự định đi từ A đến B. Điều kiện x > 10, y > 0.
- B.
  Gọi x (km/h) là vận tốc ô tô lúc đầu và y (giờ) là thời gian ô tô dự định đi từ A đến B. Điều kiện x > 10, y > 0.
- C.
  Gọi x (km/h) là vận tốc ô tô lúc đầu và y (km) là quãng đường ô tô dự định đi từ A đến B. Điều kiện x > 10, y > 0.
- D.
  Gọi x (km) là vận tốc ô tô lúc đầu, điều kiện x > 0.
Hướng dẫn:
Vì hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}\left( m^{2} + 1 ight)x + y = 12 \\x + (m - 2)y = 3 \\\end{matrix} ight.$ có nghiệm $(1;2)$ nên
$\left\{ \begin{matrix}\left( m^{2} + 1 ight).1 + 2 = 12 \\1 + (m - 2).2 = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m^{2} + 1 = 10 \\m - 2 = 1 \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m^{2} = 9 \\m = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \pm 3 \\m = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow m = 3$
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Câu 15: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x^{3} = 3x + 8y \\ y^{3} = 3y + 8x \\ \end{matrix} ight.$ với $x eq 0;y eq 0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x^{3} = 3x + 8y\ \ (1) \\ y^{3} = 3y + 8x\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.$

Lấy (1) – (2) ta được:

$x^{3} - y^{3} = 3(x - y) - 8(x - y)$

$\Leftrightarrow (x - y)\left( x^{2} + xy + y^{2} ight) = 3(x - y) - 8(x - y)$

$\Leftrightarrow (x - y)\left( x^{2} + xy + y^{2} ight) = - 5(x - y)$

$\Leftrightarrow (x - y)\left( x^{2} + xy + y^{2} + 5 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x - y = 0 \\x^{2} + xy + y^{2} + 5 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = y \\\left( x + \dfrac{y}{2} ight)^{2} + \dfrac{3y^{2}}{4} + 5 = 0(*) \\\end{matrix} ight.$

Vì $\left\{ \begin{matrix}\left( x + \dfrac{y}{2} ight)^{2} \geq 0 \\\dfrac{3y^{2}}{4} \geq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left( x + \dfrac{y}{2} ight)^{2} +\dfrac{3y^{2}}{4} + 5 > 0$

Suy ra phương trình (*) vô nghiệm

Do đó $x = y$ thay vào phương trình (1) ta được:

$x^{3} = 3x + 8x \Leftrightarrow x^{3} - 11x = 0$

$\Leftrightarrow x\left( x^{2} - 11 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0(ktm) \\ x = \sqrt{11}(tm) \Rightarrow y = \sqrt{11} \\ x = - \sqrt{11}(tm) \Rightarrow y = - \sqrt{11} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Câu 16: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức S
Gọi $\left( x_{0};y_{0} ight)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 1 \\ x + y = 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Tính $S = x_{0}.y_{0}$ ?
- A.
  $S = - 7$
- B.
  $S = 10$
- C.
  $S = 3$
- D.
  $S = - 10$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 1 \\ x + y = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = - 2 \\ x = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x_{0};y_{0} ight) = (5; - 2)$

Khi đó $S = x_{0}.y_{0} = 5.( - 2) = - 10$
Câu 17: Vận dụng cao
Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Giá trị của tham số m để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} (m - 1)x - my = 3m - 1 \\ 2x - y = m + 5 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm duy nhất $(x;y)$ sao cho $S = x^{2} + y^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất?
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = - 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} (m - 1)x - my = 3m - 1 \\ 2x - y = m + 5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x - m - 5 \\ (m - 1)x - m(2x - m - 5) = 3m - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x - m - 5 \\ (m + 1)x = (m + 1)^{2}(*) \\ \end{matrix} ight.$

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì $m + 1 eq 0 \Rightarrow m eq - 1$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} x = m + 1 \\ y = m - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$S = x^{2} + y^{2} = (m + 1)^{2} + (m - 3)^{2}$

$= 2m^{2} - 4m + 10 = 2(m - 1)^{2} + 8 \geq 8$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1(tm)$

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 8 khi m = 1.
Câu 18: Nhận biết
Chọn khẳng định sai
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 6x - 5y = 7 \\ 8x + 5y = 21 \\ \end{matrix} ight.$ . Chọn khẳng định sai?
- A.
  Hệ có nghiệm $\left( x_{0};y_{0} ight)$ với $x_{0} = 2$ ; $y_{0} = 2x_{0}$ .
- B.
  Hệ có nghiệm $\left( x_{0};y_{0} ight)$ với $x_{0} = 2$ ; $y_{0}$ là số hữu tỉ.
- C.
  Hệ có nghiệm $\left( x_{0};y_{0} ight)$ với $x_{0} = 2$ ; $y_{0}$ là số tự nhiên.
- D.
  Hệ có nghiệm $\left( x_{0};y_{0} ight)$ với $x_{0} = 2$ ; $y_{0}$ là số thực.
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 6x - 5y = 7 \\ 8x + 5y = 21 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 14x = 28 \\ 8x + 5y = 21 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ 8x + 5y = 21 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ 8.2 + 5y = 21 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( x_{0};y_{0} ight) = (2;1)$

Do đó khẳng định sau là hệ có nghiệm $\left( x_{0};y_{0} ight)$ với $x_{0} = 2$ ; $y_{0} = 2x_{0}$ .
Câu 19: Nhận biết
Tính số sách trên mỗi giá
Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng $\frac{4}{5}$ số sách giá thứ nhất. Tính số sách trên mỗi giá.
- A.
  Giá thứ nhất có 450 cuốn, giá thứ hai có 300 cuốn.
- B.
  Giá thứ nhất có 300 cuốn, giá thứ hai có 150 cuốn.
- C.
  Giá thứ nhất có 300 cuốn, giá thứ hai có 450 cuốn.
- D.
  Giá thứ nhất có 150 cuốn, giá thứ hai có 300 cuốn.
Hướng dẫn:
Gọi số sách trên giá thứ nhất là x (cuốn) và số sách trên giá thứ hai là y (cuốn)
Điều kiện: x, y nguyên dương
Hai giá sách có 450 cuốn nên ta có: $x + y = 450$
Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai bằng $\frac{4}{5}$ số sách giá thứ nhất nên ta có phương trình: $y + 50 = \frac{4}{5}\left( {x - 50} ight)$
Ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{gathered} x + y = 450 \hfill \\ y + 50 = \frac{4}{5}\left( {x - 50} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 300\left( {tm} ight) \hfill \\ y = 150\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Vậy giá thứ nhất có 300 cuốn, giá thứ hai có 150 cuốn
Câu 20: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Biết hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 7 \\ x + y = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm duy nhất $\left( x_{0};y_{0} ight)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $4x_{0} + y_{0} = 1$
- B.
  $4x_{0} + y_{0} = 3$
- C.
  $4x_{0} + y_{0} = - 1$
- D.
  $4x_{0} + y_{0} = 5$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 7 \\ x + y = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2y = 7 \\ 3y = - 9 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2.( - 3) = 7 \\ y = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y) = (1; - 3)$ .

Khi đó $4x_{0} + y_{0} = 4.1 + ( - 3) = 1$