Trong tam giác DEF có điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác. Vậy O là giao điểm của
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Vậy O là giao điểm của ba đường trung trực.
Cho tam giác ABC có 
là góc tù. Tia phân giác của cắt nhau tại O. Lấy điểm E trên cạnh AB. Từ E kẻ . Từ P kẻ . So sánh với ?
Hình vẽ minh họa
Giả sử tại M
Giả sử tại M
Có BO là tia phân giác (tính chất tia phân giác)
Có CO là tia phân giác (tính chất tia phân giác)
Xét tam giác EBM vuông tại M và tam giác PBM vuông tại M có:
BM cạnh chung
Suy ra BE = BP (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét tam giác FCN vuông tại N và tam giác PCN vuông tại N có:
CN chung
Suy ra FC = PC (cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Cho tam giác ABC vuông tại A, giao ba đường trung trực của tam giác nằm:
Giao ba đường trung trực của tam giác vuông tại A nằm trên trung điểm của cạnh BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH. Kẻ .
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
i.
ii. AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK.
iii. AD là tia phân giác của
Hình vẽ minh họa
Có AH là đường cao của tam giác ABC suy ra
Có
Xét tam giác AHD, vuông tại H và tam giác AKD vuông tại K có:
; AD là cạnh chung
Suy ra (hai cạnh tương ứng) mà AK = AH (gt)
Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK.
Có (hai góc tương ứng)
Suy ra AD là phân giác
Vậy cả 3 khẳng định đều đúng
Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ABD vuông tại D có
Xét tam giác ACE vuông tại E có
(1)
Lại có: (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Xét tam giác ABI và tam giác KCA có:
AB = AC
BI = AC
(hai cạnh tương ứng)
Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của AH và K là trung điểm AB. Biết AH = 6cm, BC = 8cm. Tính IK.
Hình vẽ minh họa
Gọi D là giao của AH và BC
Tam giác ABC có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H nên tại D (tính chất ba đường cao của tam giác)
Trên đoạn AH lấy điểm I’ sao cho suy ra tam giác AI’F cân tại I’
Suy ra I’A = I’F
vuông tại
nên
.
Mà cân tại
.
Lại có . Hay
là trung diểm của
.
Mà cũng là trung diểm của
nên
trùng với
'.
Do đó (vì
).
Chứng minh tương tự ta có:
vuông tại
nên
.
Từ (1), (2) và (3) suy ra .
Ta có:
Sử dụng kết quả câu 16 ta có: hay
vuông tại
.
I là trung diểm của AH nên .
Ta có .
Tương tự ta có: .
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ta có:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, O là giao điểm của hai đường trung trực AB và AC. Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB = OD. Biết . Khi đó số đo góc bằng:
Hình vẽ minh họa
Vì O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC nên OA = OB = OC
Mà OD = OB nên OD = OA và OD = OC
Suy ra O thuộc đường trung trực của AD và CD
Xét tam giác OAB cân tại O
Xét tam giác OAD cân tại O
Vậy
Suy ra tam giác ABD vuông tại A
Chứng minh tương tự ta có tam giác CBD vuông tại C
Cho tam giác ABC có , đường cao , D là trung điểm của AB. Hỏi có số đo bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác AHC vuông tại H,
Mà
suy ra tam giác ABC cân tại C, có CD là trung tuyến
Suy ra CD đồng thời là đường phâm giác
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Kẻ đường cao AM của tam giác ABC, đường cao AN của tam giác ACD. Tính số đo góc ?
Hình vẽ minh họa
Ta có AD = AC ⇒ tam giác ACD cân tại A
Trong tam giác BCD có
⇒ Tam giác BCD vuông tại C.
Vì AN ⊥ CD, BC ⊥ CD ⇒ AN // BC
Vì AM ⊥ BC, BC ⊥ CD ⇒ AM // CD
Ta có:
Cho tam giác cân tại A có , đường trung trực của AB cắt BC tại D. Tính ?
Hình vẽ minh họa
Có tam giác ABC cân tại A
(tính chất tam giác cân) mà
Có D thuộc đường trung trực của AB
Suy ra (tính chất trung trực)
Suy ra tam giác ABD cân tại D
mà
mà
Cho tam giác MNP có MP là đường cao đồng thời là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh M. Khi đó tam giác MNP là tam giác gì?
Tam giác MNP có MP là đường cao đồng thời là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh M
Khi đó tam giác MNP là tam giác cân theo tính chất tam giác cân.
Cho tam giác cân tại , có . Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Số đo là:
Hình vẽ minh họa
Theo đề bài ta có: tam giác ABC cân tại A nên
Trong tam giác ABC có (định lí tổng ba góc trong tam giác)
Vì O là giao điểm của các đường trung trực trong ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)
Do đó tam giác OAB, OBC, OAC là các tam giác cân tại O nên
Ta thấy
Cho tam giác ABC có hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Chọn phát biểu đúng?
Tam giác ABC có hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH vuông góc với AB.
Ba đường trung trực của tam giác DEF cùng đi qua điểm I. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì ba đường trung trực của tam giác DEF cùng đi qua điểm I nên DI = IE = IF (tính chất ba đường trung trực của tam giác).
Cho đoạn thẳng BA và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB. Tia AC cắt BD tại E. Tính số đo góc ?
Hình vẽ minh họa
Vì
Xét tam giác AMC có suy ra tam giác AMC vuông cân tại M.
(tính chất tam giác vuông cân)
Xét tam giác BMD có suy ra tam giác BMD vuông cân tại M.
(tính chất tam giác vuông cân)
Xét tam giác ABE có: (định lí tổng ba góc của tam giác).
Cho tam giác đều, gọi là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác . Khi đó ta có:
Hình vẽ minh họa
Trong tam giác đều đường cao cũng là đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác mà O là giao điểm của ba đường trung trực nên O là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm. Tính độ dài đường cao AH.
Hình vẽ minh họa
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC cân tại A.
Nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến
Áp dụng định lí Py-Ta-Go cho tam giác ABH vuông tại H ta có:
Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó tam giác MED là tam giác gì?
Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại I, suy ra tại M.
Tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao nên AM là đường trung tuyến của tam giác đó
Suy ra BM = MC (tính chất đường trung tuyến)
Tam giác ABC cân tại A hay
(tính chất tam giác cân)
Vì
Xét tam giác BEC và tam giác CDB có:
BC chung
(hai cạnh tương ứng)
Xét tam giác EBM và tam giác DCM có:
(hai cạnh tương ứng)
Suy ra tam giác EMD cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
Đường cao của tam giác đều cạnh có bình phương độ dài là:
Hình vẽ minh họa
Tam giác ABC đều nên AB = BC = AC = a
Có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay tại M
Ta có (AM là trung tuyến tam giác ABC)
Xét tam giác AMV vuông tại M, theo định lí Pythagre ta có:
Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là .
Gọi O là giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC. Khi đó O là:
Hình vẽ minh họa
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
