Luyện tập Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Hình vẽ minh họa

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Hình vẽ minh họa

Vì

Xét tam giác AMC có suy ra tam giác AMC vuông cân tại M.

(tính chất tam giác vuông cân)

Xét tam giác BMD có suy ra tam giác BMD vuông cân tại M.

(tính chất tam giác vuông cân)

Xét tam giác ABE có: (định lí tổng ba góc của tam giác).

Xét tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại I, suy ra tại M.

Tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao nên AM là đường trung tuyến của tam giác đó

Suy ra BM = MC (tính chất đường trung tuyến)

Tam giác ABC cân tại A hay (tính chất tam giác cân)

Vì

Xét tam giác BEC và tam giác CDB có:

BC chung

(hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác EBM và tam giác DCM có:

(hai cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác EMD cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Hình vẽ minh họa

Vì ba đường trung trực của tam giác DEF cùng đi qua điểm I nên DI = IE = IF (tính chất ba đường trung trực của tam giác).

Hình vẽ minh họa

Vì O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC nên OA = OB = OC

Mà OD = OB nên OD = OA và OD = OC

Suy ra O thuộc đường trung trực của AD và CD

Xét tam giác OAB cân tại O

Xét tam giác OAD cân tại O

Vậy

Suy ra tam giác ABD vuông tại A

Chứng minh tương tự ta có tam giác CBD vuông tại C

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABD vuông tại D có

Xét tam giác ACE vuông tại E có

(1)

Lại có: (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Xét tam giác ABI và tam giác KCA có:

AB = AC

BI = AC

(hai cạnh tương ứng)

Hình vẽ minh họa

Giả sử tại M

Giả sử tại M

Có BO là tia phân giác (tính chất tia phân giác)

Có CO là tia phân giác (tính chất tia phân giác)

Xét tam giác EBM vuông tại M và tam giác PBM vuông tại M có:

BM cạnh chung

Suy ra BE = BP (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác FCN vuông tại N và tam giác PCN vuông tại N có:

CN chung

Suy ra FC = PC (cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác đều đường cao cũng là đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác mà O là giao điểm của ba đường trung trực nên O là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác AHC vuông tại H,

Mà

suy ra tam giác ABC cân tại C, có CD là trung tuyến

Suy ra CD đồng thời là đường phâm giác

Hình vẽ minh họa

Ta có AD = AC ⇒ tam giác ACD cân tại A

Trong tam giác BCD có

⇒ Tam giác BCD vuông tại C.

Vì AN ⊥ CD, BC ⊥ CD ⇒ AN // BC

Vì AM ⊥ BC, BC ⊥ CD ⇒ AM // CD

Ta có:

Tam giác ABC có hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH vuông góc với AB.

Hình vẽ minh họa

Theo đề bài ta có: tam giác ABC cân tại A nên

Trong tam giác ABC có (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Vì O là giao điểm của các đường trung trực trong ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Do đó tam giác OAB, OBC, OAC là các tam giác cân tại O nên

Ta thấy

Hình vẽ minh họa

Có tam giác ABC cân tại A

(tính chất tam giác cân) mà

Có D thuộc đường trung trực của AB

Suy ra (tính chất trung trực)

Suy ra tam giác ABD cân tại D

mà

mà

Hình vẽ minh họa

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC cân tại A.

Nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến

Áp dụng định lí Py-Ta-Go cho tam giác ABH vuông tại H ta có:

Giao ba đường trung trực của tam giác vuông tại A nằm trên trung điểm của cạnh BC.

Hình vẽ minh họa

Có AH là đường cao của tam giác ABC suy ra

Có

Xét tam giác AHD, vuông tại H và tam giác AKD vuông tại K có:

; AD là cạnh chung

Suy ra (hai cạnh tương ứng) mà AK = AH (gt)

Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK.

Có (hai góc tương ứng)

Suy ra AD là phân giác

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng

Hình vẽ minh họa

Tam giác ABC đều nên AB = BC = AC = a

Có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay tại M

Ta có (AM là trung tuyến tam giác ABC)

Xét tam giác AMV vuông tại M, theo định lí Pythagre ta có:

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là .

Tam giác MNP có MP là đường cao đồng thời là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh M

Khi đó tam giác MNP là tam giác cân theo tính chất tam giác cân.

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Vậy O là giao điểm của ba đường trung trực.