Ôn tập chương 8 Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc

Ta có:

Thể tích khối trụ là:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC

=>

Gọi N là trung điểm của AC

=>

Kẻ

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB cân tại S nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

Vậy thể tích hình chóp là:

Hình vẽ minh họa

Kẻ , gọi

Ta có:

Lại có:

Do tam giác SAB cân tại S nên H là trung điểm của AB

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Ta có:

Nếu (Vô lí)

Nếu (Vô lí)

Nếu (Vô lí)

Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của CD. Khi đó

Lại có hay tam giác MNP vuông tại P

Theo định lí Pythagore ta có:

Hình vẽ minh họa:

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A’ vuông góc với AA’ ta được một thiết diện là tam giác có các cạnh:

Suy ra tam giác vuông tại A’ và trung tuyến A’H của tam giác đó bằng a

Gọi giao điểm của AM và A’H là T

Ta có:

Gọi M là trung điểm của AD.

Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a,

Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a

Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và

Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD

Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC

Ta có: mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.

Ta có:

Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

Xét tam giác SAC vuông tại A và nên SAC vuông cân tại A.

Suy ra H là trung điểm SC và

Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).

Ta có: suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC

Khi đó

Theo bài ra ta có:

Tam giác SBH vuông tại H có:

Có một khi (P) và (Q) cắt nhau, có vô số khi (P) // (Q).

Ta có: SA = SC => SAC là tam giác cân. Mặt khác O là trung điểm của AC

=> AC ⊥ SO

Ta có: AC ⊥ BD, AC ⊥ SO => AC ⊥ (SBD)

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SH ⊥ BC

=> SH ⊥ (ABC).

Gọi K là trung điểm AC=> HK // AB nên HK ⊥ AC.

Ta có:

=> ((SAC), (ABC)) = (SK, HK) =

Xét tam giác vuông ABC ta có:

Xét tam giác vuông SHK ta có:

Mệnh đề đúng là: Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c)

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.

Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC => BC ⊥ AM tại M.

Như vậy:

Lại có:

Từ (1), (2), (3) =>

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

SA ⊥ BC

AB ⊥ BC

=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

Hình vẽ minh họa:

Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)

=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))

Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI

Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H

Mà AI ⊥ A’H

=> (AB’C’) ⊥ A’H.

Khi đó:

Vậy khoảng cách cần tìm là

Gọi là số đo góc giữa MN và (BA’C’), K là hình chiếu vuông góc của N lên (B’A’C’).

Khi đó

Gọi E là trung điểm của A’C’, khi đó BMEB’ là hình chữ nhật. Gọi , ta có

Ta có

. Kẻ

Từ

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

Thể tích khối chóp là: