Luyện tập Mặt cầu (Dễ)

Gọi M là trung điểm AC, suy ra

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

Ta có , suy ra tam giác SAC đều.

Gọi G là trọng tâm , suy ra .    (1)

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.

Mà G thuộc SM nên suy ra .

Từ (1) và (2), suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Bán kính mặt cầu .

Ta có hay

Gọi E là trung điểm AD.

Ta có nên ABCE là hình thoi.

Suy ra .

Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:

   hay    

Tương tự, ta cũng có hay

Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính .

Suy ra .

Vì I là hình chiếu của O trên nên  mà  nên I là tiếp điểm của và .

Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

Suy ra IN tiếp xúc với .

Tam giác OIN vuông tại I nên .

Gọi H là hình chiếu của O xuống .

Ta có nên cắt theo đường tròn .

Bán kính đường tròn là

Suy ra đường kính bằng .

Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh là một mặt cầu là trục quay phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên .

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

Suy ra tâm I có tọa độ là

(P) cắt (S) khi:

 Gọi H là hình chiếu của O lên BC.

Ta có , suy ra H là trung điểm của BC nên

Suy ra

 Theo đề bài, mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn .

Vậy .

Gọi , suy ra .

Ta có .

Trong , ta có .

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.

Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn B.

Gọi

Xét có     đều.

Do đó d cũng là đường trung tuyến của . Suy ra I là trọng tâm .

Bán kính mặt cầu .

Suy ra

Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên .

Suy ra

Gọi O là tâm , suy ra và

Trong SOA, ta có

Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:

• nên .
• nên

Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Gọi M là tung điểm SA, ta có nên

Vậy

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .

tiếp xúc (S) khi: 

   (loại)

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi I là trung điểm SC, suy ra nên .

Do đó IM là trục của , suy ra     (1)

Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên .  (2)

Từ (1) và (2) , ta có

hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .

Vậy bán kính .

Ta có .

Trong , ta có

Ta có .

Mặt khác, ta lại có .

Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

.

 Theo đề bài, mặt cầu (S) có tâm và vecto pháp tuyến của

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.

Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân giác trong của góc .

Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính .

Ta có:

Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có: