Lớp 12 Toán 12

Luyện tập Phép cộng, trừ và nhân số phức (Khó)

Hãy cùng Luyện tập củng cố các phép tính với số phức các em nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Giá trị của số phức z

    Cho số phức z = 1 + 2i, giá trị của số phức w = z + i\overline z là?

    Hướng dẫn:

    Ta có: w = z + i\overline z = \left( {1 + 2i} ight) + i\left( {1 - 2i} ight) = 3 + 3i

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tính mô đun của số phức w

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 3 - 4i} ight| = \sqrt 5. Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = {\left| {z + 2} ight|^2} - {\left| {z - i} ight|^2}. Khi đó mô đun của số phức {\text{w}} = M + mi

    Hướng dẫn:

     Giả sử z = x + yi\left( {x,y \in R} ight) ta có:

    \left| {z - 3 - 4i} ight| = \sqrt 5

    \Leftrightarrow {\left( {x - 3} ight)^2} + {\left( {y - 4} ight)^2} = 5

    Ta có

    P = 4x + 2y + 3 \Leftrightarrow 4\left( {x - 3} ight) + 2\left( {y - 4} ight) = P - 23

    Ta có

    {\left[ {4\left( {x - 3} ight) + 2\left( {y - 4} ight)} ight]^2} \leqslant 20\left[ {{{\left( {x - 3} ight)}^2} + {{\left( {y - 4} ight)}^2}} ight] = 100

    => - 10 \leqslant P - 23 \leqslant 10

    \Leftrightarrow 13 \leqslant P \leqslant 33

    => M = 33,m = 13

    Ta thu được kết quả: w = 33 + 13i

    => \left| {\text{w}} ight| = \sqrt {1258}

     

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Giá trị của biểu thức P = x + 2y

    Biết số phức z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \left| z ight| = \left| {\bar z + 4 - 3i} ight| và biểu thức P = \left| {z + 1 - i} ight| + \left| {z - 2 + 3i} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P = x + 2y?

    Hướng dẫn:

    Theo giả thiết

    \left| z ight| = \left| {\bar z + 4 - 3i} ight| \Leftrightarrow \left| {x + yi} ight| = \left| {\left( {x + 4} ight) - \left( {y + 3} ight)i} ight|

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 4} ight)}^2} + {{\left( {y + 3} ight)}^2}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {x^2} + 8x + 16 + {y^2} + 6y + 9 \hfill \\ \Leftrightarrow 8x + 6y + 25 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có P = \sqrt {{{\left( {x + 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} ight)}^2} + {{\left( {y + 3} ight)}^2}}

    Xét điểm E\left( { - 1;1} ight),F\left( {2; - 3} ight) và M\left( {x;y} ight). Khi đó P = ME + MF

    Bài toán trở thành tìm điểm M \in \Delta :8x + 6y + 25 = 0 sao cho ME + MF đạt giá trị nhỏ nhất.

    Vì \left( {8{x_E} + 8{y_E} + 25} ight).\left( {8{x_F} + 8{y_F} + 25} ight) > 0 nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng \Delta.

    Gọi E' là điểm đối xứng với E qua \Delta

    Đường thẳng EE' đi qua điểm E\left( {1; - 1} ight) và có VTPT {\vec n_{EE'}} = {\vec u_\Delta } = \left( {3; - 4} ight) nên có phương trình

    3\left( {x + 1} ight) - 4\left( {y - 1} ight) = 0

    \Leftrightarrow 3x - 4y + 7 = 0

    Gọi H là giao điểm của EE' và \Delta. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

    \left\{ \begin{gathered} 3x - 4y = - 7 \hfill \\ 8x + 6y = - 25 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{{71}}{{25}} \hfill \\ y = - \frac{{19}}{{50}} \hfill \\ \end{gathered} ight.suy ra H\left( { - \frac{{71}}{{25}}; - \frac{{19}}{{50}}} ight)

    E' đối xứng với E' qua H nên \left\{ \begin{gathered} {x_{E'}} = - \frac{{117}}{{25}} \hfill \\ {y_{E'}} = - \frac{{44}}{{25}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Ta có ME + MF = ME' + MF \geqslant E'F

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của E'F và đường thẳng \Delta

    Đường thẳng E'F đi qua điểm F\left( {2; - 3} ight) và có VTPT {\vec n_{EE'}} = \left( {31;167} ight) có phương trình

    31\left( {x - 2} ight) + 167\left( {y + 3} ight) = 0

    => 31x + 167y + 439 = 0

    Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{gathered} 31x + 167y = - 439 \hfill \\ 8x + 6y = - 25 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{{67}}{{50}} \hfill \\ y = - \frac{{119}}{{50}} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy P = x + 2y = - \frac{{61}}{{10}}.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm số phức z

    Số phức z = \frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} bằng:

    Hướng dẫn:

     Ta có: z = \frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} = \frac{{16}}{{17}} - \frac{{13}}{{17}}i

  • Câu 5: Nhận biết
    Xác định số phức z

    Cho hai số phức {z_1} = 5 - 7i và {z_2} = 2 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} + {z_2}

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} + {z_2} \hfill \\ = \left( {5 - 7i} ight) + \left( {2 + 3i} ight) \hfill \\ = (5 + 2) + ( - 7 + 3)i \hfill \\ = 7 - 4i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Thông hiểu
    Mô đun số phức

    Cho số phức z thỏa mãn \left( {1 - i} ight)z + 2i\overline z = 5 + 3i. Môđun của z là:

    Hướng dẫn:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight).

    \left( {1 - i} ight)\left( {x + yi} ight) + 2i\left( {x - yi} ight) = 5 + 3i

    \Leftrightarrow \left( {x + 3y} ight) + \left( {x + y} ight)i = 5 + 3i \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 3y = 5 \hfill \\ x + y = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left| z ight| = \sqrt 5

  • Câu 7: Thông hiểu
    Xác định số phức z

    Cho số phức z = 3 + 2i. Tìm số phức w = 2i - \left( {3 - i} ight)\overline z + 2iz - 1?

    Hướng dẫn:

     Ta có: w = 2i - \left( {3 - i} ight)\overline z + 2iz - 1

    = 2i - \left( {3 - i} ight)\left( {3 - 2i} ight) + 2i\left( {3 + 2i} ight) - 1

    = - 12 + 17i

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính mô đun số phức

    Cho hai số phức {z_1} = 2 + i,{z_2} = 3 - 4i. Môđun của số phức \left( {{z_1} - {z_2}} ight) là:

    Hướng dẫn:

     Ta có: \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {2 + i - 3 + 4i} ight| = \left| { - 1 + 5i} ight| = \sqrt {26}

  • Câu 9: Vận dụng
    Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện

    Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm {z_3} \in \mathbb{C} sao cho các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành tam giác đều.

    Hướng dẫn:

     Giả sử {z_3} = x + yi

    Để các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành một tam giác đều thì

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_1} - {z_3}} ight|} \\ {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_2} - {z_3}} ight|} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} } \\ {\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x + 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 1} ight)}^2}} } \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2} = 8} \\ {x + y = 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt 3 \Rightarrow x = \mp \sqrt 3

    Vậy có hai số phức thoả mãn là: {z_3} = {\text{\{ }}\sqrt 3 - \sqrt 3 i;\,\, - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\}

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Giá trị lớn nhất của biểu thức

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {i.z + 3} ight| = \sqrt {\frac{5}{2}}. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = \left| {2{\text{z}} + 1 - 4i} ight| + \left| {z - 1 - 5i} ight| là:

    Hướng dẫn:

    Ta gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z

    \left| {i.z + 3} ight| = \sqrt {\frac{5}{2}} \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 3} ight)^2} = \frac{5}{2}

    => M(x;y) \in C\left( {I(0;3);R = \sqrt {\frac{5}{2}} } ight)

    Khi đó:

    \begin{matrix} P = \left| {2{\text{z}} + 1 - 4i} ight| + \left| {z - 1 - 5i} ight| \hfill \\ = 2\left| {{\text{z}} + \frac{1}{2} - 2i} ight| + \left| {z - 1 - 5i} ight| \hfill \\ = 2\left| {\overrightarrow {MA} } ight| + \left| {\overrightarrow {MB} } ight| \hfill \\ \end{matrix}

    với A\left( { - \frac{1}{2};2} ight);B\left( {1;5} ight)

    Ta có: \overrightarrow {IA} = \left( { - \frac{1}{2}; - 1} ight),;\overrightarrow {IB} = \left( {1;2} ight) suy ra \overrightarrow {IB} = - 2.\overrightarrow {IA}.

    Theo định lý Stewart ta có:

    \sqrt 5 M{A^2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}M{B^2} = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\left( {M{I^2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\sqrt 5 } ight)

    \Rightarrow 2M{A^2} + M{B^2} = 15

    (Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ

    \overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MA} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} } ight) = \frac{2}{3}\overrightarrow {MA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MB}

    Suy ra:

    \begin{matrix} M{I^2} = \dfrac{4}{9}M{A^2} + \dfrac{1}{9}M{B^2} + \dfrac{4}{9}MA.MB.cos\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} } ight) \hfill \\ = \dfrac{4}{9}M{A^2} + \dfrac{1}{9}M{B^2} + \dfrac{4}{9}MA.MB.cos\widehat {AMB} \hfill \\ = \dfrac{4}{9}M{A^2} + \dfrac{1}{9}M{B^2} + \dfrac{4}{9}MA.MB\left( {\dfrac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}} ight) \hfill \\ = \dfrac{2}{3}M{A^2} + \dfrac{1}{3}M{B^2} - \dfrac{2}{9}A{B^2} \hfill \\ \Rightarrow 2M{A^2} + M{B^2} = 3M{I^2} + \dfrac{2}{3}A{B^2} = 15 \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó suy ra:

    P = 2\left| {\overrightarrow {MA} } ight| + \left| {\overrightarrow {MB} } ight|

    = \left( {\sqrt {2.} \sqrt 2 .MA + MB} ight) \leqslant \sqrt {\left( {{{\sqrt 2 }^2} + {1^2}} ight)\left( {2M{A^2} + M{B^2}} ight)} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 .

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho số phức w = x + yi;\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) thoả điều kiện \left| {{w^2} + 4} ight| = 2\left| w ight|.

    Đặt P = 8\left( {{x^2} - {y^2}} ight) + 12. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \left| {{w^2} + 4} ight| = 2\left| w ight| \Leftrightarrow \left| {{x^2} - {y^2} + 4 + 2xyi} ight| = 2\left| {x + yi} ight|

    \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - {y^2} + 4} ight)^2} + 4{x^2}{y^2} = 4\left( {{x^2} + {y^2}} ight)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + 16 + 2{x^2}{y^2} + 4{x^2} - 12{y^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} - 4{x^2} - 4{y^2} + 4 + 8\left( {{x^2} - {y^2}} ight) + 12 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 8\left( {{x^2} - {y^2}} ight) + 12 = - \left( {{x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} - 4{x^2} - 4{y^2} + 4} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow P = - {\left( {{x^2} + {y^2} - 2} ight)^2} = - {\left( {{{\left| {\text{w}} ight|}^2} - 2} ight)^2}. \hfill \\ \end{matrix}

    Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì \left| {\text{w}} ight| = \left| {\overline {\text{w}} } ight|.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Gọi {z_1},{z_2} là 2 nghiệm của phương trình \left| {z - 1 + 2i} ight| = \left| {z + 1 + 2i} ight| thỏa mãn \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \sqrt 2. Biết rằng w là số phức thỏa mãn \left| {{\text{w}} - 3 - 2i} ight| = 2. Tìm GTNN của biểu thức P = \left| {{\text{w}} - {z_1}} ight| + \left| {{\text{w}} - {z_2}} ight|.

    Hướng dẫn:

    Giả sử z = x yi\left( {x,y \in R} ight)

    Ta có: \left| {z - 1 + 2i} ight| = \left| {z + 1 + 2i} ight|

    => x = 0

    => Tập hợp điểm biểu diễn {z_1},{z_2} là trục tung.

    Giả sử A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho {z_1},{z_2}, ta có \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \sqrt 2 \Leftrightarrow AB = \sqrt 2

    Giả sử {\text{w}} = a + bi\left( {a,b \in R} ight) và M là điểm biểu diễn cho số phức w, ta có \left| {{\text{w}} - 3 - 2i} ight| = 2 \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b - 2)^2} = 4a suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I\left( {3;2} ight) bán kính R = 2

    Ta có P = MA + MB, gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra MA = MB = \frac{{\sqrt 6 }}{2}, vậy MinP = 2.\frac{{\sqrt 6 }}{2} = \sqrt 6

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tìm giá trị nhỏ nhất của P

    Cho hai số phức z, w thỏa mãn \left\{ \begin{gathered} \left| {z - 3 - 2i} ight| \leqslant 1 \hfill \\ \left| {w + 1 + 2i} ight| \leqslant \left| {w - 2 - i} ight| \hfill \\ \end{gathered} ight.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \left| {z - w} ight|

    Hướng dẫn:

     Cách 1 :

    Giả sử z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight);w = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    \left| {z - 3 - 2i} ight| \leqslant 1 \Leftrightarrow {\left( {a - 3} ight)^2} + {\left( {b - 2} ight)^2} \leqslant 1(1)

    \left| {w + 1 + 2i} ight| \leqslant \left| {w - 2 - i} ight| \Leftrightarrow {\left( {x + 1} ight)^2} + {\left( {y + 2} ight)^2} \leqslant {\left( {x - 2} ight)^2} + {\left( {y - 1} ight)^2}

    Suy ra x + y = 0

    P = \left| {z - w} ight| = \sqrt {{{\left( {a - x} ight)}^2} + {{\left( {b - y} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - x} ight)}^2} + {{\left( {b + x} ight)}^2}}

    Từ (1) ta có I(3; 2), bán kính r = 1. Gọi H là hình chiếu của I trên d:y = - x.

    Đường thẳng HI có PTTS: \left\{ \begin{gathered} x = 3 + t \hfill \\ y = 2 + t \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \begin{matrix} M \in HI \Rightarrow M\left( {3 + t;\,2 + t} ight) \hfill \\ M \in \left( C ight) \Leftrightarrow 2{t^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ t = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ t = 2 \Rightarrow M\left( {3 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\,2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} ight),MH = \dfrac{{5 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ t = 3 \Rightarrow M\left( {3 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\,2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} ight),MH = \dfrac{{5 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy {P_{\min }} = \frac{{5\sqrt 2 - 2}}{2}

    Cách 2 :

    \left| {z - 3 - 2i} ight| \leqslant 1 điều này cho thấy M(z) đang nằm trên hình tròn tâm I(3; 2) bán kính bằng 1.

    \left| {w + 1 + 2i} ight| \leqslant \left| {w - 2 - i} ight| điều này cho thấy N(w) đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng \Delta là trung trực của đoạn AB với A\left( { - 1; - 2} ight),B\left( {2;1} ight).

    \Delta :x + y = 0.

    (Minh hoạ như hình vẽ)

    Tìm giá trị nhỏ nhất của P

    P = \left| {z - w} ight| = MN.

    {P_{\min }} = d\left( {I,\Delta } ight) - R = \frac{{\left| {3 + 2} ight|}}{{\sqrt 2 }} - 1 = \frac{{5\sqrt 2 - 2}}{2}.

  • Câu 14: Nhận biết
    Mô đun số phức

    Cho số phức z thỏa mãn: \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i. Môđun của số phức w = \left( {2 - i} ight)z - 1 là?

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i \Rightarrow z\left( {1 - i} ight) = 2

    \Leftrightarrow z = 1 + i \Rightarrow w = \left( {2 - i} ight)\left( {1 + i} ight) - 1 = 2 + i

    \left| w ight| = \sqrt 5

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho số phức z = a + bi , \left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)thỏa mãn \left( {z + 1 + i} ight)\left( {\overline z - i} ight) + 3i = 9 và \left| {\overline z } ight| > 2.

    Tính P = a + b.

    Hướng dẫn:

     Ta áp dụng công thức z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi, có:

    \left( {z + 1 + i} ight)\left( {\overline z - i} ight) + 3i = 9

    \Leftrightarrow \left( {a + bi + 1 + i} ight)\left( {a - bi - i} ight) + 3i = 9

    \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2b + a + 1 - \left( {b + 1} ight)i = 9 - 3i

    Ta xét: \left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} + 2b + a + 1 = 9 \hfill \\ b + 1 = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 2 \hfill \\ {a^2} + a = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 2 \hfill \\ a = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \vee \left\{ \begin{gathered} b = 2 \hfill \\ a = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với {z_1} = 2i \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = 2 nên không thỏa yêu cầu bài toán.

    Với {z_2} = - 1 + 2i \Rightarrow \left| {{z_2}} ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 thỏa yêu cầu bài toán.

    Vậy P = a + b = 1

  • Câu 16: Nhận biết
    Tìm số phức z

    Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 - 3i = 3 - 2i

    Hướng dẫn:

     Ta có z + 2 - 3i = 3 - 2i \Leftrightarrow z = 3 - 2i - 2 + 3i = 1 + i

  • Câu 17: Vận dụng
    Xác định tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hai số phức z, w thỏa mãn \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|; w = z + m + i với m \in \mathbb{R} là tham số. Giá trị của m để ta luôn có \left| w ight| \geqslant 2\sqrt 5 là:

    Hướng dẫn:

     Đặt z = a + ib,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) có biểu diễn hình học là điểm M\left( {x;y} ight)

    Ta có:

    \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|

    \Leftrightarrow \left| {x - 1 + iy} ight| = \left| {x + 3 + \left( {y - 2} ight)i} ight|

    \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 3} ight)}^2} + {{\left( {y - 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow - 2x + 1 = 6x + 9 - 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - y + 3 = 0

    Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng \Delta :2x - y + 3 = 0

    Ta xét: \left| \omega ight| \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {z + m + i} ight| \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {x + m + + \left( {y + 1} ight)i} ight| \geqslant 2\sqrt 5

    với I\left( { - m; - 1} ight).

    Mà ta có MI \geqslant d\left( {I,\Delta } ight)

    Nên MI \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } ight) \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2m + 4} ight|}}{{\sqrt 5 }} \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| { - 2m + 4} ight| \geqslant 10

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - 2m + 4 \geqslant 10 \hfill \\ - 2m + 4 \leqslant - 10 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m \leqslant - 3 \hfill \\ m \geqslant 7 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 18: Nhận biết
    Tính giá trị biểu thức P

    Cho số phức z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) thỏa mãn \left( {1 + i} ight)z + 2\overline z = 3 + 2i. Tính P = a + b

    Hướng dẫn:

    Giả sử: z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)

    \left( {1 + i} ight)\left( {a + bi} ight) + 2\left( {a - bi} ight) = 3 + 2i

    \Leftrightarrow 3a - b + \left( {a - b} ight)i = 3 + 2i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a - b = 3 \hfill \\ a - b = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow P = a + b = - 1

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức P

    Cho hai số phức {z_1},{z_2} có điểm biểu diễn lần lượt là {M_1},{M_2} cùng thuộc đường tròn có phương trình {x^2} + {y^2} = 1 và \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1. Tính giá trị biểu thức P = \left| {{z_1} + {z_2}} ight|

    Hướng dẫn:

     Cách 1: Do {M_1},{M_2} cùng thuộc đường tròn có phương trình {x^2} + {y^2} = 1 nên \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    Lại có: 

    \begin{matrix} \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1 \Leftrightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{z_1} - {z_2}} ight)\overline {\left( {{z_1} - {z_2}} ight)} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{z_1} - {z_2}} ight)\left( {\overline {{z_1}} - \overline {{z_2}} } ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {z_1}.\overline {{z_1}} - \left( {{z_1}.\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} .{z_2}} ight) + {z_2}.\overline {{z_2}} = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} - \left( {{z_1}.\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} .{z_2}} ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow {z_1}.\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} .{z_2} = 1 \hfill \\ {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = \left( {{z_1} + {z_2}} ight)\overline {\left( {{z_1} + {z_2}} ight)} = \left( {{z_1} + {z_2}} ight)\left( {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} } ight) \hfill \\ = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + \left( {{z_1}.\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} .{z_2}} ight) = 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy P = \sqrt 3

    Cách 2: Do {M_1},{M_2}, cùng thuộc đường tròn (T) tâm O(0;0), bán kính R = 1 và \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1 nên {M_1}{M_2} =1.

    Suy ra \Delta O{M_1}{M_2} là tam giác đều cạnh bằng 1

    P = \left| {{z_1} + {z_2}} ight| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{M_2}} } ight| = \left| {2\overrightarrow {OH} } ight| = 2.OH = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ( Trong đó H là trung điểm {M_1}{M_2})

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tìm x, y thỏa mãn điều kiện

    Tìm các số thực x, y thoả mãn:

    3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    Hướng dẫn:

    Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    => (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

    =>\left\{ \begin{gathered} 3x + y = 2y - 1 \hfill \\ 5x = x - y \hfill \\ \end{gathered} ight.

    => \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{7} \hfill \\ y = \frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (25%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Vận dụng cao (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại

Nội dung cùng chủ đề

1 Bình luận
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
  • Phạm Như Nam
    Phạm Như Nam

    hay
    Thích Phản hồi 05/12/22

Toán 12

Đăng nhập