Luyện tập Đường trung trực của một đoạn thẳng Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Vì A nằm trên đường trung trực của đoạn CD nên AC = AD (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Vì B nằm trên đường trung trực của đoạn CD nên BC = BD (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Xét và có

AB là cạnh chung

BC = BD (cmt)

AC = AD (cmt)

Xét và có:

BC = BD

BM là cạnh chung

CM = DM (M là trung điểm của CD)

Xét và có:

AM là cạnh chung

CM = DM (M là trung điểm của CD)

AC = AD (cmt)

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng.

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.

Điểm I thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB thì IA = IB (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).

Hình vẽ minh họa

I thuộc đường trung trực BC suy ra IB = IC

Suy ra tam giác IBC cân tại I

Ta có:

Đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt AB tại I nên là I trung điểm của đoạn thẳng AB. Do đó IB = IA = 2 cm (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).

Hình vẽ minh họa

Tam giác ABC cân tại C suy ra CA = CB

Suy ra các điểm C phải tìm có tính chất CA = CB và A, B, C không thẳng hàng

Mà M thuộc AB (Vì M là trung điểm AB)

Vậy tập hợp các điểm C là đường trung trực của AB không lấy trung điểm M của AB.

Nếu thì:

- K là trung điểm của đoạn AB.

- K thuộc đường trung trực của đoạn AB.

- K thuộc trục đối xứng của đoạn AB.

Hình vẽ minh họa

Vì H thuộc đường trung trực của đoạn OA nên HA = HO

Suy ra tam giác AHO cân tại H

Vì H thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OB nên HB = HO

Suy ra tam giác BHO cân tại H

Do đó (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác BHO có:

(tính chất tổng ba góc trong một tam giác)

Tương tự

Ta có:

Suy ra rba điểm A, B, H thẳng hàng.

Ta có: HA = HB (= HO) và ba điểm A; B; H thẳng hàng

Suy ra H là trung điểm của AB.

Vậy cả 3 khẳng định đều đúng.

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.

Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi d ⊥ AB tại I và IA = IB.

Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Đường thẳng a là trung trực của đoạn thẳng PQ nếu đường thẳng a vuông góc với đoạn thẳng PQ tại trung điểm của đoạn thẳng PQ.

Hình vẽ minh họa

Vì trạm y tế C cách đều hai khu dân cư A và B nên C thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng AB nối hai khu dân cư.

Mà C nằm trên đường quốc lộ nên C là giao điểm của đường quốc lộ và đường trung trực của đoạn thẳng nối hai khu dân cư.

Do đó để xây dựng trạm y tế bên đường cách đều hai điểm dân cư thì trạm y tế đó là giao điểm giữa con đường quốc lộ và đường trung trực của đoạn AB nối hai khu dân cư.

Hình vẽ minh họa

Ta có: MQ = MP (giả thiết)

Suy ra M là trung điểm của PQ. (1)

Lại có tam giác MNP vuông tại M

Suy ra hay (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN là đường trung trực ủa PQ

Do đó NQ = NP (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Suy ra tam giác PQN cân tại N

Khi đó (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác PQN có:

(định lí tổng ba góc của tam giác)

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác DEK và tam giác DFK có:

DE = DF (do tam giác DEF cân tại D)

KE = KF (giả thiết)

DK là cạnh chung

Do đó

Suy ra (cặp góc tương ứng)

Xét tam giác DPK và tam giác DQK có:

DK là cạnh chung

Do đó

Suy ra KP = KQ (cạnh tương ứng)

Khi đó K thuộc đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

AD = AE (Do D; E thuộc đường tròn tâm A)

Suy ra A nằm trên đường trung trực của DE.

BD = BE (do B, E thuộc đường tròn tâm B).

Suy ra B nằm trên đường trung trực của DE

Do đó AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Vậy câu đúng nhất là: “AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE”.

Hình vẽ minh họa

M, P nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD

=> MC = MD; PC = PD

Xét tam giác CPM và tam giác DPM có:

MC = MD

PC = PD

M là cạnh chung

Trung trực của đoạn thẳng MN cắt MN tại H nên