Luyện tập Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Cánh Diều

Áp dụng tính chất trọng tâm ta có

Vì là trọng tâm tam giác nên .

Hình vẽ minh họa

có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm của .

Do đo .

Khi đó .

Do đó

Hay

Đường trung tuyến của tam giác là đường nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.

Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác đó.

Nên một tam giác chỉ có một trọng tâm.

Hình vẽ minh họa

có đường trung tuyến nên là trumg điểm của

Do đó .

Xét và , có:

(chứng minh trên)

(hai góc đối đỉnh).

(hai góc so le trong của ).

Do đó (g.c.g).

Ta có (chứng minh trên).

Suy ra và .

có điểm G nằm trên đường trung tuyến AD.

Mà nên G là tọng tâm của tam giác ABC.

Lại có đường thẳng BM đi qua G

Suy ra BM là đường trung tuyến của tam giác ABC

Khi đó M là trung điểm của AC suy ra MA = MC

Vậy đáp án cần tìm là:

Vì trọng tâm cách mỗi đỉnh bằng độ dài đường trung tuyến nên đáp án sai là: 

Vì G là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Vậy

Hình vẽ minh họa

Kẻ vuông góc với tại suy ra

là tam giác nửa đều

Có .

Có vuông tại có trung tuyến

Suy ra (1) và đều

hay (*)

Vẽ đều ( và khác phía đối với )

hay (*)

Từ (*) và (**) có

Do suy ra vừa là phân giác vừa là trung trực của

Xét và có:

(cmt)

(cmt)

(cmt)

Suy ra (c.g.c) nên (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra vuông cân tại nên

Từ đó

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Suy ra

Ta có:

Mà AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

Do đó E là trọng tâm tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

Gọi M là trung điểm của BC

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

G là trọng tâm của tam giác ABC nên

Hình vẽ minh họa

Vẽ vuông góc , vuông góc vuông góc với .

Ta có

(cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra:

suy ra .

Từ đó ta có .

(ch-cgv)

Mà

Do đó:

Mặt khác:

Lấy trừ theo vế ta có:

(đpcm).

Quan sát hình vẽ, hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.

Do đó

Hình vẽ minh họa

Ta có: mà nên và không bằng nhau

Vì G là giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác MNP nên G là trọng tâm của tam giác MNP.

hay

Hình vẽ minh họa

Xét ∆AMB và ∆AMC có

AM là cạnh chung

AB = AC (giả thiết)

MA = MB (M là trung điểm của BC)

=> ∆AMB = ∆AMC

vì nên

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác AMB vuông tại M

Hình vẽ minh họa

Nhận định đúng là: .

Ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác đó.