Luyện tập Hai mặt phẳng vuông góc CTST

Dễ thấy rằng BA⊥(ACD), AH⊥(BCD), suy ra góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng BA và AH, tức là bằng góc

Có một khi a không vuông góc với (P), có vô số khi a vuông góc với (P).

Hình vẽ minh họa:

Do SBC là tam giác đều có H là trung điểm BC => SH ⊥ BC.

Mà ta có (SBC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến BC

=> SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB.

Vì HI là đường trung bình của tam giác ABC => HI // AC => HI ⊥ AB.

Ta có:

Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SAB) ⊥ (SAC)” là sai.

Hình vẽ minh họa:

Mặt phẳng (ACC’A’) vuông góc với các mặt phẳng (BDD’B’), (ABCD), (A’B’C’D’).

Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.

Hình vẽ minh họa:

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a.

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Do SA = SB = SD nên suy ra H cách đều các đỉnh của tam giác ABD hay H là tâm của tam giác đều ABD.

Suy ra:

Vì ABCD là hình thoi nên HI ⊥ BD.

Tam giác SBD cân tại S nên SI ⊥ BD

=> ((SBD), (ABCD)) = (SI, AI) =

Trong tam vuông SHI ta có:

Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).”

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

Ta có: SA ⊥ (ABC) mà đường thẳng BC nằm trong (ABC)

=> SA ⊥ BC.

Ta có BC ⊥ AH tại H.

=>

Ta lại có:

Từ (1), (2), (3) =>

Mệnh đề “Cho hai đường thẳng song song a và b và đường thẳng c sao cho c ⊥ a, c ⊥ b. Mọi mặt phẳng (α) chứa c thì đều vuông góc với mặt phẳng (a, b)” là sai. Trong trường hợp a và b trùng nhau, sẽ tồn tại mặt phẳng chứa a và b không vuông góc với mặt phẳng (α) chứa c.

Mệnh đề “Cho a ⊥ b, mọi mặt phẳng chứa b đều vuông góc với a” là sai. Trong trường hợp a và b cắt nhau, mặt phẳng (a, b) chứa b nhưng không vuông góc với a.

Mệnh đề “Cho a ⊥ b, nếu a ⊂ (α) và b ⊂ (β) thì (α) ⊥ (β)” là sai. Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (α) ⊃ a, (α) // b và (β) ⊃ b, (β) // a thì (α) // (β).

Vậy mệnh đề đúng là mệnh đề: “Cho a ⊥ (α), mọi mặt phẳng (β) chứa a thì (β) ⊥ (α).”

Hình vẽ minh họa:

Đặt SA = a.

Kẻ AM ⊥ SD, m ∈ SD, AN ⊥ SB, N ∈ SB, ta có:

Suy ra:

Do ∆SAD = ∆SAB (c.g.c) => AM = AN

Do đó => ((SCD); (SBC)) = 60◦ => (AM; AN) = 60◦

Xét tam giác SAD, ta có:

Nếu thì ∆AMN đều => AM = MN => x = a

Nếu thì (Vô lý)

Vậy SA = a

Hình vẽ minh họa:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Ta có AN ⊥ CD mà (ACD) ⊥ (BCD) suy ra AN ⊥ (BCD) => AN ⊥ BN

Tam giác ABC cân tại C, có M là trung điểm của AB suy ra CM ⊥ AB

Giả sử (ABC) ⊥ (BCD) mà CM ⊥ AB suy ra CM ⊥ (ABD) => CM ⊥ DM

Khi đó, tam giác MCD vuông cân tại M

=>

Ta lại có

Mà

=>

Mỗi đường thẳng a nằm trong (P) đều có đường thẳng b nằm trong (Q) sao cho a vuông góc với b, khi đó (P) và (Q) có thể trùng nhau.

Gọi H là trung điểm của AC, suy ra SH ⊥ (ABC).

Gọi N là trung điểm của AB, suy ra AB ⊥ (SHN).

Lấy K là giao điểm của AM, SH. Do đó

Theo giả thiết, NK là phân giác của góc

Giả sử:

Mặt khác:

(tính chất phân giác).

Gọi E là trung điểm của CM, theo định lí Ta-lét thì:

Vậy

Do đó ((SBC),(ABCD)) = (SC, AC) =

Tam giác SAC vuông tại A =>