Luyện tập Dấu của tam thức bậc hai (Dễ)

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) > 0 khi x < 2 ∨ x > 3 mà a > 3 nên f(a) > 0.

f(x) =  − x² − 1 = 0  vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.

Ta có:

Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án x ∈ (−∞;−1) ∪ (3;+∞).

Bảng xét dấu

Suy ra

.

Vậy nghiệm của bất phương trình có 3 khoảng.

Nhìn đồ thị, ta thấy đồ thị y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm x = 1, x = 4 nên Δ > 0, dựa vào hình dạng parabol nên suy a > 0

Yêu cầu bài toán

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

• Xét m² − 4 = 0 ⇔ m =  ± 2

Với m =  − 2, bất phương trình trở thành : không thỏa mãn.

Với m = 2, bất phương trình trở thành 1 < 0: vô nghiệm. Do đó m = 2 thỏa mãn.

• Xét m ≠  ± 2. Yêu cầu bài toán

 ⇔ (m²−4)x² + (m−2)x + 1 ≥ 0,  ∀x ∈ ℝ

Kết hợp hai trường hợp, ta được hoặc m ≥ 2.

Ta có: f(x) = x² − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2

Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án f(x) > 0,  ∀x ∈ ℝ.

Dựa vào bảng xét dấu, .

Mà x ∈ ℤ⇒ x ∈ {0;1;2;3;4} (5 giá trị).

Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án f(x) > 0với  2< x < 3 và f(x) < 0với x < 2 ∨ x > 3.

Với m = 4 thì g(x) =  − 1 < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m ≠ 4 thì g(x) = (m−4)x² + (2m−8)x + m − 5 là tam thức bậc hai.

Do đó

 ⇔ m < 4

Vậy với m ≤ 4 thì biểu thức g(x) luôn âm.

Tam thức đổi dấu 2 lần khi tam thức có 2 nghiệm pb

⇔ Δ > 0 ⇔ m² − 28m > 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 28.

Tam thức  − 4x² + 5x − 2 có a =  − 4 < 0,  Δ =  − 7 < 0

suy ra  − 4x² + 5x − 2 < 0  ∀x

Do đó h(x) luôn dương khi và chỉ khi h′(x) =  − x² + 4(m+1)x + 1 − 4m² luôn âm

Vậy với thì biểu thức h(x) luôn dương.

Xét

+) (không thỏa mãn yêu cầu bài toán)

+) (không thỏa mãn)

Xét

Nhìn đồ thị, ta thấy đồ thị y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm x = 1, x = 3 nên Δ > 0, dựa vào hình dạng parabol nên suy ra a < 0 và ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) < 0 khi x < 1 ∨ x > 3. Mà 2017 > 3 nên f(2017) < 0.

Tam thức bậc 2 là biểu thức f(x) có dạng  ax²+ bx + c (a≠0).

f(x) = 3x² − 5 là tam thức bậc 2 với a = 3, b = 0, c =  − 5.

Tam thức đổi dấu khi tam thức có 2 nghiệm phân biệt hay Δ > 0.Vậy chỉ có h(x) = 4 − 3x² có 2 nghiệm.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp ánx ∈ [1; 2] .

Ta có:

Bảng xét dấu

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞;−1) ∪ (0;1) ∪ (2;3) ∪ (4;+∞)