Luyện tập Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (Trung bình)

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ là số.

Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số xuất hiện ở hàng đơn vị là lần.

Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là .

Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần.

Vậy tổng các số thuộc tập là .

Sắp xếp nữ sinh vào ghế. cách.

Xem nữ sinh lập thành nhóm X, sắp xếp nhóm X cùng với nam sinh. có cách

vậy có cách sắp xếp.

Số cách chọn người trong người làm trưởng đoàn là. cách.

Số cách chọn người trong người còn lại làm phó đoàn là. cách.

Số cách chọn người trong người còn lại làm thư kí là. cách.

Số cách chọn người trong người còn lại làm ủy viên là. cách.

Vậy số cách chọn đoàn đại biểu là .

Xếp cố định 3 học sinh nữ vào hàng trước, có 3! cách xếp. Chọn 2 học sinh nam bất kì cho vào 2 khoảng trống nằm giữa 2 học sinh nữ, số cách chọn là . Xem nhóm 5 học sinh này là 1 học sinh, lúc này còn 3 học sinh nam vậy là ta đang có 4 học sinh. Số cách xếp 4 học sinh này thành hàng dọc là 4!. Vậy số cách xếp cần tìm là. .

Tổng số học sinh trong đội văn nghệ của nhà trường là học sinh.

Số cách chọn học sinh bất kì trong học sinh là. cách.

Số cách chọn học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12A là. cách.

Số cách chọn học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12B là. cách.

Số cách chọn học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12C là. cách.

Vậy có cách thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Số cách chọn 2 nam đứng ở đầu và cuối là. . Lúc này còn lại 5 nam và 5 nữ, để đưa 10 người này vào hàng thì trước tiên sẽ cho 5 nam đứng riêng thành hàng ngang, số cách đứng là 5!. Sau đó lần lượt “nhét” 5 nữ vào các khoảng trống ở giữa hoặc đầu, hoặc cuối của hàng 5 nam này, mỗi khoảng trống chỉ “nhét” 1 nữ hoặc không “nhét”, có tất cả 6 khoảng trống nên số cách xếp vào là . Số cách xếp 10 người này thành hàng ngang mà 2 nữ bất kì không đứng cạnh nhau là.

Đưa 10 người này vào giữa 2 nam đầu và cuối đã chọn, số cách xếp là. .

Số cách xếp con mèo vàng và con mèo đen ở cạnh nhau là .

Xem nhóm con mèo vàng và đen này là một phần tử, cùng với con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím, ta được phần tử. Xếp phần tử này là.

Vậy có .

Chữ số cuối cùng bằng 0; các cặp số có thể xảy ra là .

Trường hợp này có 2!.6 số.

Chữ số cuối bằng 2 ta có các bộ , hoán vị được số.

Chữ số cuối bằng 4 ta có các bộ , hoán vị được số.

Chữ số cuối bằng 8 ta có các bộ , hoán vị được số.

Kết hợp lại ta có 35 số.

Xếp 8 người thành hàng ngang có cách.

Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có cách.

Vậy số cách xếp cần tìm là. cách.

Giả sử số đó là

Trường hợp 1. xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.

Trường hợp 2. . Với chọn có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn. Với chọn có 5 cách chọn, và tất nhiên nên có 5 số thỏa mãn. Do đó có số thỏa mãn.

Gọi là số cần tìm

Ta có và

Với thì hoặc

Với thì hoặc

Với thì hoặc

Mỗi trường hợp có số thỏa mãn yêu cầu

Vậy có tất cả số cần tìm.

Mỗi cách xếp sinh viên vào vị trí thỏa đề là một hoán vị của phần tử.

Suy ra số cách xếp là cách.

Xếp 4 bạn nam vào một dãy có (cách xếp).

Xếp 4 bạn nữ vào một dãy có (cách xếp).

Với mỗi một số ghế có 2 cách đổi vị trí cho bạn nam và bạn nữ ngồi đối diện nhau.

Số cách xếp theo yêu cầu là. (cách xếp).

+TH1. Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn. Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là.

+TH2. Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn. Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. .

Vậy số cách lập cần tìm là. .

+) Xếp bạn vào chỗ ngồi có cách.

+) Xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau có cách. Xem An và Dũng là phần tử cùng với bạn còn lại là phần tử xếp vào chỗ. Suy ra số cách xếp bạn sao cho An và Dũng luôn ngồi cạnh nhau là. cách.

Vậy số cách xếp bạn vào ghế sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau là.

.

Xếp cố định 8 quả khác mít và bưởi vào hàng, có 8! cách xếp. Lúc này trên hàng có 9 khoảng trống, gồm khoảng trống giữa 2 quả khác bất kì và vị trí đầu, cuối hàng. Trong đó ta có 7 cặp khoảng trống mà khoảng cách giữa khoảng có đúng 2 quả khá

C. Mỗi cặp khoảng trống đó ta sẽ cho vào đó quả mít và quả bưởi, có cách xếp mít và bưởi tương ứng là. .

Vậy số cách xếp cần tìm. 8!.7.2! = 564480.

Trường hợp 1: 3 chữ số đều lẻ. Có số thỏa mãn.

Trường hợp 2: số đó gồm 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ

- Chọn 2 chữ số chẵn khác nhau có cách.

- Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.

- Từ 3 số đã chọn đó lập được số.

Do đó có dãy gồm 3 chữ số phân biệt, trong đó có 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ kể cả chữ số 0 đứng đầu.

Xét dãy số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0

- Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.

- Chọn 1 chữ số chẵn khác chữ số 0 có 4 cách.

Vậy có số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0.

Do đó có số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ.

Điều kiện. .

hoặc .

Vậy tổng số nguyên dương n bằng 11.

Chọn 4 Toán, 2 Văn, 2 Lí có cách.

Chọn 4 Toán, 1 Văn, 3 Lí có cách.

Chọn 5 Toán, 2 Văn, 1 Lí có cách.

Chọn 5 Toán, 1 Văn, 2 Lí có cách.

Chọn 6 Toán, 1 Văn, 1 Lí có cách.

Tổng lại ta được 181440 cách thỏa mãn.